初中数学北师大版九年级下册5 确定圆的条件一等奖教学设计

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程.

2.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆,会用尺规过不在同一直线上的三个点作圆,了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,培养学生的探索能力.

2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题,进一步体会解决数学问题的策略.

1.形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神.

2.学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.

【重点】　掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

【难点】　经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,过不在同一条直线上的三个点作圆.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　

1.复习线段垂直平分线的尺规作法.

2.圆规,直尺.

导入一:

如右图所示,一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞,鼠洞只有三个出口A,B,C,要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞,这只花猫最好蹲守在什么位置?

学生分析:要想同时顾及三个出口,就要满足花猫所在的点到三个洞口A,B,C的距离相等.

【问题】　A,B,C可以看成△ABC的三个顶点,在三角形的内部有没有到三个顶点的距离相等的点呢?

[设计意图]　利用“猫捉老鼠”的游戏进行引入,极大地吸引了学生的注意力,激发了他们学习的欲望,为下面新知的探究奠定了良好的基础.

导入二:

长沙马王堆一号汉墓的发掘,在我国的考古界算得上惊人的发现,在世界考古学史上,也产生了深远的影响.一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时,发现一破损的圆形铜镜,如图所示,你能帮助这位考古学家将这个圆形铜镜复原,以便于进行深入的研究吗?

教师引导学生思考:要复原圆形铜镜,即画出和铜镜一样大小的圆,关键是什么呢?

【学生活动】　学生相互讨论后发言:关键是要找出圆形铜镜的圆心和半径.

【引入】　确定圆的两个要素就是圆心和半径.那么如何才能找出它的圆心和半径呢?通过本节课的学习,相信大家一定能找到解决问题的办法.

[设计意图]　通过创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣,并感受祖国历史文化的源远流长;通过问题的思考讨论,让学生回忆圆的定义及作圆的关键是确定圆心和半径,自然地引入课题.

　　[过渡语]　我们知道经过一点可以作无数条直线,经过两点可以确定一条直线,那么经过几点能确定一个圆呢?

一、确定圆的条件

课件出示:

活动1:作圆,使它经过已知点A,你能作出几个这样的圆?

【师生活动】　先由学生自己动手尝试画图,师巡视发现学生出现的问题.学生完成后,根据学生的画法,发现了以下两种情况,供学生判定对与错.

1.有的同学以点A为圆心画了很多同心圆.

2.经过点A画了很多圆.

学生分析:第二种作法正确,因为经过点A意味着点A在圆上,而不是圆心.

【教师点评】　以点A以外的任意一点为圆心,以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆.(教师利用多媒体动画演示画圆)

【学生小结】　经过已知一点的圆有无数个,如图所示.

活动2:作圆,使它经过已知点A,B. 你是如何做的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?

【师生活动】　先由学生自己动手尝试画图.师巡视发现学生出现的问题.待学生完成后,询问作出的圆的个数.

根据学生的回答,展示三种作法让学生进行对比.

1.有的同学取线段AB的中点为圆心,作出一个圆;

2.有的同学作线段AB的垂直平分线,作出两个圆.

3.有的同学作线段AB的垂直平分线,能作出无数多个圆.

【教师点评】　在线段AB的垂直平分线上任意取一点,都能满足到A,B两点的距离相等,所以在线段AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心,这点到A的距离即为半径.圆就确定下来了.因为有无数个圆心,所以作出的圆就有无数个.(教师多媒体动画演示画圆)

【学生小结】　经过已知两点的圆也有无数个,如图所示.

活动3:作圆,使它经过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上).你是如何做的?你能作出几个这样的圆?

【学生活动】　先由学生自己动手尝试画图,可能会有很多同学不知道如何下手.

【师生活动】　教师让学生说出自己利用尺规过不在同一条直线上的三点作圆的方法和步骤,教师同时利用多媒体展示作法,让没完成的同学跟着完成.

　　想一想:这样作出的圆符合要求吗?与同伴交流.

【学生活动】　学生分组讨论后,代表发言:

因为连接AB,作AB的垂直平分线ED,则ED上任意一点到A,B的距离相等,连接BC,作BC的垂直平分线FG,则FG上的任一点到B,C的距离相等.ED与FG的交点O满足OA=OB=OC,因此这样的画法满足条件.因为两条直线的交点只有一个,所以只有一个圆心,即只能作出一个满足条件的圆.

【教师点评】　不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

活动4:过同一直线上的三点能作圆吗?

学生动手操作后都感觉疑惑,然后继续分组讨论.代表发言:不能,找不到圆心.原因是:线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线平行,没有交点,如图所示.

【教师强调】　过同一直线上的三点是无法确定圆的,所以要注意“不在同一条直线上”这个条件的重要性.

[设计意图]　通过前两个问题的探究,不但使学生掌握了经过一个点和两个点都不能确定圆的事实,还进一步激发了学生的探究欲望,使其自然而然的想要探究经过三个点是否可以确定一个圆,为下面的探究打下了良好的基础.

　　[过渡语]　 我们知道三角形的三个内角的平分线会交于一点,并且这一点到三角形三边的距离相等,那存不存在到三角形三个顶点的距离相等的点呢?

二、三角形的外心

【想一想】　三角形的三个顶点可以确定一个圆吗?

学生分析:因为三角形的三个顶点一定不会在同一直线上,所以经过三角形的三个顶点肯定能作一个圆.

【教师点评】　这个三角形和圆之间有如下的特殊关系.

三角形外接圆和外心的概念:

三角形的三个顶点可以确定一个圆,这个圆就叫做三角形的外接圆.

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.

师出示示意图,如图所示,供学生加深印象.

【议一议】　三角形的外心具有什么样的特征?

【学生小结】　三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点的距离相等.

[设计意图]　学生亲自动手画图,体会不在同一直线上的三个点确定一个圆的事实.在其参与知识的探索过程中,享受发现知识的快乐.

[知识拓展]　三角形外心的位置:

(1)锐角三角形的外心在三角形的内部,如图(1)所示;

(2)直角三角形的外心在斜边中点上,如图(2)所示;

(3)钝角三角形的外心在三角形的外部,如图(3)所示.

　　[过渡语]　我们已经掌握了确定圆的条件,你能运用这些知识解决下面的问题吗?相信自己,一定行!

课件出示:

【做一做】　你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗?你有哪些方法?与同伴进行交流.

【学生活动】　学生根据所学到的知识动手操作,然后与同伴交流做法.

方法1:把圆形纸片对折两次,两次折痕的交点即是圆形纸片的圆心.

方法2:在圆形纸片上任取两条不平行的线段,作出这两条线段的垂直平分线,其交点即是圆形纸片的圆心.

[设计意图]　通过此问题,让学生体会数学在生活中的应用,用数学知识可以解决一些实际问题,培养学生“用数学”的意识.

1.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

2.三角形外接圆和外心的概念.

3.三角形外心的位置和性质.

1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是              (　　)

A.第①块

B.第②块

C.第③块

D.第④块

解析:第②块出现一段完整的弧,可在这段弧上任作两条不平行的弦,作出这两条弦的垂直平分线,交点就是圆心,进而可得到半径的长.故选B.

2.如图(1)所示,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是 (　　)

A.点P　　　　　　B.点M

　　C.点R　　　　　　D.点Q

解析:如图(2)所示,连接BC,根据垂径定理的推论,作弦AB和BC的垂直平分线,交点Q即为圆心.故选D.

3.(抚州中考)如图所示,△ABC内接于☉O,∠OAB=20°,则∠C的度数为　　　　. 

解析:∵∠OAB=20°,OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=20°,∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=140°,∴∠ACB=∠AOB=70°.故填70°.

4.如图所示,破残的圆形纸片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知AB=24 cm,CD=8 cm.

(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹);

(2)求(1)中所作圆的半径.

解:(1)如图(1)所示的圆O.

(2)如图(2)所示,连接OA,设OA=x cm,

由题知AD=12 cm,OD=(x-8)cm,

则根据勾股定理列方程为:

x2=144+(x-8)2,解得x=13.

所以圆的半径为13 cm.

5　确定圆的条件

1.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

2.三角形外接圆和外心的概念:

三角形的三个顶点可以确定一个圆,这个圆就叫做三角形的外接圆.

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.

一、教材作业

【必做题】

1.教材第86页随堂练习.

2.教材第87页习题3.6第1,2题.

【选做题】

教材第88页习题3.6第3,4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列关于确定一个圆的说法中,正确的是 (　　)

A.三个点一定能确定一个圆

B.以已知线段为半径能确定一个圆

C.以已知线段为直径能确定一个圆

D.菱形的四个顶点能确定一个圆

2.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,已知∠B=60°,则∠CAO的度数是 (　　)

A.15° B.30° C.45° D.60°

3.(龙岩中考)如图所示,A,B,C是半径为6的☉O上三个点,若∠BAC=45°,则弦BC=　　　　. 

4.(宁夏中考)如图所示,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是　　　　. 

【能力提升】

5.在Rt△ABC中,AB=12,BC=16,那么这个三角形的外接圆的直径是 (　　)

A.10 B.20

C.10或8 D.20或16

6.如图所示,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-2,-2),C(4,-2),则△ABC外接圆半径的长度为　　　　. 

7.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,且半径为10,∠A=60°,求弦BC的长.

8.如图所示,△ABC内接于☉O,AD为边BC上的高.

(1)若AB=6,AC=4,AD=3,求☉O的直径AE的长度;

(2)若AB+AC=10,AD=4,求☉O的直径AE的长的最大值,并指出此时边AB的长.

【拓展探究】

9.如图所示,将△AOB置于直角坐标系中,O为原点,A(3,0),∠ABO=60°.若△AOB的外接圆与y轴交于点D.

(1)直接写出∠ADO的度数;

(2)求△AOB的外接圆半径r.

【答案与解析】

1.C(解析:不在同一直线上的三点可确定一个圆,没有强调不在同一直线上,故本选项错误;B.以已知线段为半径能确定2个圆,分别以线段的两个端点为圆心,故本选项错误;C.以已知线段为直径能确定一个圆,此时圆心为线段的中点,半径为线段长度的一半,故本选项正确;D.菱形的四个顶点不一定能确定一个圆,故本选项错误.故选C.)

2.B(解析:如图所示,连接OC,由圆周角定理知∠AOC=2∠B=120°,在△OAC中,∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO=30°.故选B.)

3.6 (解析:如图所示,连接OB,OC,∵∠BAC=45°,∴∠BOC=2∠BAC=90°,∵OB=OC=6,∴BC==6.)

4.(解析:如图所示,点O为△ABC外接圆圆心,则AO为外接圆半径,故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是.)

5.D (解析:根据题意得:(1)斜边是BC,即外接圆直径是16;(2 )斜边是AC,即外接圆直径是=20.故选D.)

6.(解析:设△ABC的外心为M.∵B(-2,-2),C(4,-2),∴M必在直线x=1上,由图知AC的垂直平分线过(1,0),故M(1,0).过M作MD⊥BC于D,连接MB,Rt△MBD中,MD=2,BD=3,由勾股定理得MB==,即△ABC的外接圆半径为.)

7.解:如图所示,过O作OD⊥BC于D.∵∠BOC=2∠BAC,且∠BOD=∠COD=∠BOC,∴∠BOD=∠BAC=60°.在Rt△BOD中,OB=10,∠BOD=60°,∴BD=OB=5,∴BC=2BD=10.

8.解:(1)如图所示,连接BE.∵AE是直径,AD⊥BC,∴∠ABE=90°=∠ADC.又∵∠E=∠C(同弧所对的圆周角相等),∴△ABE∽△ADC.∴=,∴AE===8.　(2)∵AB+AC=10,∴AC=10-AB,∵AD=4,由(1)中=,得AE==-+AB=-(AB-5)2+,∴☉O的直径AE的长的最大值为,此时边AB的长为5.

9.解:(1)∠ADO=60°.　(2)设三角形AOB外接圆的圆心为M,如图所示,连接OM,过M作MN⊥OA于N,那么∠OMN=∠OBA=60°,ON=OA=.直角三角形OMN中,OM=ON÷sin 60°=÷=,因此三角形AOB外接圆的半径r=.

由实际背景的问题引出学习主题,有助于激发学生的探究热情.通过四个探究活动,逐步使学生亲身感受结论的形成过程和结论的确定性.在教学中大胆放手让学生探究,在动手实践中去经历、体验、观察、类比、讨论、合作、归纳.通过充分的过程探究,最后总结归纳出相关知识要点.这有助于学生经历真正的“学数学”和“用数学”的过程,逐步发展学生的应用意识和推理能力.

(1)线段中垂线的性质与找三角形的外心的相互关系有少数学生理解得还不是很透彻.

(2)学生的探究活动时间不够充分,应让学生真正成为学习的主人.

关于“内接”与“外接”这两个术语,学生容易混淆,教学中应重点强调.

随堂练习(教材第86页)

解:作图略.锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心在斜边中点上;钝角三角形的外心在三角形的外部.

习题3.6(教材第87页)

1.解:连接放牧点1和放牧点2,并作其垂直平分线;连接放牧点2和放牧点3,并作其垂直平分线.这两条垂直平分线的交点为P,则点P即为定居点位置.

2.解:这样的圆能作两个,圆心在线段AB的垂直平分线上,且到线段AB的距离为 cm.

3.解:不能.例如:四点中有三个点共线时,同时过四点就不能作圆.

4.解:最少用2次.第一次作A1B1的垂直平分线M1N1,第二次作A2B2(A1B1与A2B2不平行)的垂直平分线M2N2,两条直线的交点就是圆形工件的圆心.理由如下:圆心到A1,B1两点的距离相等,因此圆心一定在A1B1的垂直平分线上.同理,圆心一定在A2B2的垂直平分线上.直线M1N1与M2N2的交点到点A1,B1 ,A2,B2的距离相等,所以它是圆心.

1.本节课的主要任务是通过动手操作逐步探究确定圆的条件,所以尺规作图的能力是本节课探究学习的保障,特别是关于线段的垂直平分线的作法,学生在课前一定要及时复习,要达到非常熟练地程度.

2.在动手实践中要让学生积极地去经历、体验、观察,并结合类比、讨论、合作、归纳等思想,亲身感受结论的形成过程和结论的确定性,逐步发展自己的应用意识和推理能力.