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初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数5 二次函数与一元二次方程精品教学设计及反思
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这是一份初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数5 二次函数与一元二次方程精品教学设计及反思，共20页。教案主要包含了教师准备，学生准备，师生活动，学生活动，教师点评，基础巩固，能力提升，拓展探究等内容，欢迎下载使用。
5 二次函数与一元二次方程
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
2.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.
3.理解二次函数的图象和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.
4.理解一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=h(h是实数)交点的横坐标.
5.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
6.进一步发展估算能力.
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.
2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.
3.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
2.具有初步的创新精神和实践能力.
3.通过共同观察和讨论,培养学生的合作交流意识.
【重点】
1.掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法,进一步发展估算能力.
2.理解二次函数的图象和x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.
【难点】
1.掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法解决相关的问题.
2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.
第课时
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=h(h是实数)交点的横坐标.
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.
2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
2.具有初步的创新精神和实践能力.
【重点】 把握二次函数图象与x轴(或直线y=h)交点的个数与一元二次方程的根的关系.
【难点】 探索二次函数与一元二次方程的关系的过程;理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习一元二次方程的根的情况及二次函数图象的性质.
导入一:
小兰同学画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图所示,你能利用图象求出关于x的方程x2+ax+b=0的解吗?
学生分析:如图所示,∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点坐标分别是(-1,0),(4,0),∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4.
【问题】 二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间有什么关系?图象与x轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系?
[设计意图] 通过观察、分析、发现的过程,让学生初步感知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间的关系,为下面的探究打下了良好的基础.
导入二:
“神舟十号”是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱和附加段组成.“神舟十号”在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒,由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”成功发射.某科技实验小组也自行设计了火箭,经测试,该种火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-t2+10t-15表示,你能算出经过多长时间,火箭可以达到9 m的高度吗?
【问题】 当h=9时,二次函数h=-t2+10t-15的形式发生了怎样的变化?
学生分析:当h=9时,二次函数h=-t2+10t-15就转变成了一元二次方程-t2+10t-15=9.
[设计意图] 通过对火箭发射的探究,引导学生将函数表达式进行转变,逐步引出本节课的知识,即二次函数与一元二次方程的关系,激发了学生的探究欲望,提高了学生的学习积极性.
[过渡语] 我们知道二次函数表达式为y=ax2+bx+c.当y=0时,二次函数表达式y=ax2+bx+c就转变成了一元二次方程ax2+bx+c=0,两者之间存在着一些必然的联系.
一、二次函数与一元二次方程的关系
课件出示:
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40 m/s的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示.那么:
(1)h与t的关系式是什么?
(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
问题1
师引导学生仔细审题,回答下面的问题:
1.由图象可得h0= ,v0= .
2.由h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,可得h与t的关系式为 .
学生分析:生发言:h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40 m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0=40,h0=0代入上式即可求出h与t的关系式,所以h=-5t2+40t.
问题2
怎样求出小球落地所需要的时间?
思路一
【师生活动】 要求学生通过观察图象得出结论,学生观察、分析、讨论后,师生统一答案.
解:观察图象可得:小球经过8 s后落地.
思路二
师引导学生仔细审题,回答下面的问题:
1.小球落地时高度h为何值?
2.当h取值时,函数表达式发生了怎样的转变?
3.求出的一元二次方程的两个解是否都满足题意?
【师生活动】 要求学生思考后,与同伴交流,教师巡视并参与讨论,及时订正学生出现的错误.
【学生活动】 独立完成后,同伴交流,代表板演解题过程.
解:令h=0,得-5t2+40t=0,即t2-8t=0,
∴t(t-8)=0.
解得t1=0,t2=8.
∵t=0是小球没抛时的时间,
∴t=8是小球落地时的时间.
∴小球经过8 s后落地.
【教师点评】 两种方法运用了一“数”一“形”,再次体现了数形结合的数学思想方法.
[设计意图] 通过实际问题的解答,使学生进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系,同时利用两种不同的方法进行求解,体现了解题方法的灵活性,同时也使学生进一步感受到数形结合的解题思想,也可以体会两种解题方法的不同之处和内在联系.
[过渡语] 二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间有什么关系?图象与x轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系?
课件出示:
【议一议】 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象分别如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点?
(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程x2-2x+2=0有实数根吗?
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
【师生活动】 组织学生观察图象,对学生进行分组:共分六个组,两两合作,共同完成第(1)(2)(3)题.各组分别讨论,师巡回指导,参与各小组讨论,及时点拨指正.各组选出一个代表发言,阐述自己的结论.
第一组:二次函数y=x2+2x的图象与x轴有2个交点,分别为(0,0)和(-2,0);
第二组:一元二次方程x2+2x=0有两个根,分别为x1=0,x2=-2.
第一、二组同学得出共同的结论:
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根是一样的.
第三组:二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴只有一个交点,为(1,0);
第四组:一元二次方程x2-2x+1=0有两个相等的根,为x1=x2=1.
第三、四组同学得出共同的结论:
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
第五组:二次函数y=x2-2x+2的图象在x轴的上方,与x轴没有交点;
第六组:一元二次方程x2-2x+2=0没有实数根.
第五、六组同学得出共同的结论:
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴没有交点,对应的一元二次方程ax2+bx+c=0就没有实数根.
【教师点评】 二次函数与一元二次方程之间的关系:
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.
与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
让学生再次深刻理解.
[设计意图] 通过对三个函数图象与x轴交点的观察、对一元二次方程根的解答,让学生进一步掌握二次函数与一元二次方程之间的关系,提高发现问题、解决问题的能力.
[知识拓展] 二次函数与一元二次方程之间的关系:
当y=0时,二次函数的解析式y=ax2+bx+c就是一元二次方程ax2+bx+c=0,而一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,在二次函数与一元二次方程的关系中,判别式Δ=b2-4ac起着极为重要的作用.
Δ>0
Δ=0
Δ<0
一元二次方程ax2+bx+c=0
x1=
x2=
x1=x2=-
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c
图象与x轴有两个交点,分别为(x1,0),(x2,0)
图象与x轴只有一个交点,为
图象与x轴没有交点
[过渡语] 通过上面的探究,我们了解了当y=0时,二次函数与一元二次方程之间的关系,当y≠0时呢?又如何解答呢?
课件出示:
【想一想】 在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60 m?你是如何知道的?
思路一
由图象可知:当h=60 m时,直线h=60与函数h=-5t2+v0t+h0的图象有两个交点,分别为(2,60)和(6,60),因此,当小球离开地面2 s和6 s时,高度都是60 m.
思路二
解:在式子h=-5t2+v0t+h0中,当h0=0,v0=40,h=60时,
有-5t2+40t=60,
即t2-8t+12=0,
解得t1=2,t2=6.
因此,当小球离开地面2 s和6 s时,高度都是60 m.
[设计意图] 通过这两个实际问题使学生进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系,同时利用两种不同的方法进行求解,体现了解题方法的灵活性,同时也使学生进一步感受到数形结合的解题思想,也可以体会两种解题方法的不同之处和内在联系.
二次函数与一元二次方程之间的关系:
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
1.下列二次函数的图象与x轴有两个交点的是 ( )
A.y=-x2+2x-5 B.y=-2x2-8x-11
C.y=3x2-6x+1 D.y=4x2+24
解析:利用Δ进行判定,选项A,B,D的Δ都小于0,对于选项C,Δ=36-4×3=24>0,∴函数图象与x轴有两个交点,故C正确.故选C.
2.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是 ( )
A.-8 B.8
C.±8 D.6
解析:由图象可知,抛物线与x轴只有一个交点,∴Δ=m2-4×2×8=0,解得m=±8.∵对称轴为直线x=-<0,∴m>0,∴m的值为8.故选B.
3.二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示,根据图中信息可得到m的值是 .
解析:∵抛物线y=x2-mx+3过点(1,0),∴1-m+3=0,∴m=4.故填4.
4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,求关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解.
解:根据图象可知,二次函数y=-x2+2x+m的部分图象经过点(3,0),所以该点适合y=-x2+2x+m,代入,得-9+2×3+m=0,解得m=3.把m=3代入一元二次方程-x2+2x+m=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=-1.
第1课时
1.二次函数与一元二次方程之间的关系:
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第52页随堂练习.
2.教材第52页习题2.10第1,2题.
【选做题】
教材第53页习题2.10第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.抛物线y=-3x2-x+4与x轴的交点个数是 ( )
A.3 B.2
C.1 D.0
2.(苏州中考)若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为 ( )
A.x1=0,x2=4 B.x1=1,x2=5
C.x1=1,x2=-5 D.x1=-1,x2=5
3.抛物线y=x2-3x与x轴的交点坐标为 .
【能力提升】
4.(东营中考)若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为 ( )
A.0 B.0或2
C.2或-2 D.0,2或-2
5.(陕西中考)下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是 ( )
A.没有交点
B.只有一个交点,且它位于y轴右侧
C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧
6.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为 ( )
A.-3 B.3
C.-6 D.9
7.(株洲中考)如果函数y=(a-1)x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是 .
8.已知二次函数y=2x2-mx-m2.
(1)求证:对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点;
(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且A点坐标为(1,0),求B点坐标.
9.(宁波中考)已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.
(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;
(2)若该抛物线的对称轴为直线x=.
①求该抛物线的函数解析式;
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
【拓展探究】
10.(荆州中考)已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.
(1)求证:无论k取任何实数,方程总有实数根;
(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数时,若P(a,y1),Q(1,y2)是此抛物线上的两点,且y1>y2,请结合函数图象确定实数a的取值范围;
(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,求出定点坐标.
【答案与解析】
1.B(解析:令y=0,得到-3x2-x+4=0,即3x2+x-4=0,∴Δ=1-4×3×(-4)=49>0,∴-3x2-x+4=0有两个不相等的实数根,即抛物线y=-3x2-x+4与x轴有两个交点.)
2.D(解析:∵对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,∴-=2,解得b=-4,解方程x2-4x=5,得x1=-1,x2=5.故选D.)
3.(3,0),(0,0)(解析:令y=0,则x2-3x=0,解得x=3或x=0.所以抛物线y=x2-3x与x轴的交点坐标是(3,0),(0,0).故填(3,0),(0,0).)
4.D(解析:分为两种情况:①当函数是二次函数时,∵函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,∴Δ=(m+2)2-4m·=0且m≠0,解得m=±2;②当函数为一次函数时,m=0,此时函数解析式是y=2x+1,其图象与x轴只有一个交点.故选D.)
5.D(解析:当y=0时,ax2-2ax+1=0,∵a>1,∴Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)>0,ax2-2ax+1=0有两个根,其对应的函数图象与x轴有两个交点,又x1+x2=-=2>0,x1x2=>0,∴这两个交点均位于y轴右侧.故选D.)
6.B(解析:∵抛物线的开口向上,顶点的纵坐标为-3,∴a>0,-=-3,即b2=12a,∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,∴Δ=b2-4am≥0,即12a-4am≥0,即12-4m≥0,解得m≤3,∴m的最大值为3.)
7.a<-5(解析:∵函数y=(a-1)x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限,∴此函数一定是二次函数,其图象与x轴有两个交点,且两个交点必在y轴两侧,∴解得a<-5.故填a<-5.)
8.(1)证明:当二次函数图象与x轴相交时,2x2-
mx-m2=0,Δ=(-m)2-4×2×(-m2)=9m2.∵m2≥0,∴9m2≥0,∴对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点. (2)解:把(1,0)代入二次函数关系式,得0=2-m-m2,∴m1=-2,m2=1,当m=-2时,二次函数关系式为y=2x2+2x-4,令y=0,得2x2+2x-4=0,解得x=1或x=-2,∴二次函数图象与x轴的两个公共点的坐标是(1,0),(-2,0).又∵A点坐标为(1,0),∴B(-2,0),当m=1时,同理可得B.
9.(1)证明:y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m,∵Δ=(2m+1)2-4(m2+m)=1>0,∴不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点. (2)解:①∵x=-=,∴m=2,∴抛物线解析式为y=x2-5x+6. ②设抛物线沿y轴向上平移k(k>0)个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点,则平移后抛物线解析式为y=x2-5x+6+k,∵抛物线y=x2-5x+6+k与x轴只有一个公共点,∴Δ=52-4(6+k)=0,∴k=,即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
10.(1)证明:①当k=0时,方程为x+2=0,∴x=-2,方程有实数根,②当k≠0时,∵Δ=(2k+1)2-4k×2=(2k-1)2≥0,∴无论k取任何实数,方程总有实数根. (2)解:令y=0,则kx2+(2k+1)x+2=0,解关于x的一元二次方程,得x1=-2,x2=-.∵二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,∴k=1,∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2,如图所示,由图象得到:当y1>y2时,a>1或a<-4. (3)依题意得kx2+(2k+1)x+2-y=0恒成立,即k(x2+2x)+x-y+2=0恒成立,则解得或∴该抛物线恒过定点(0,2),(-2,0).
通过本节课的学习,重点要让学生体会到函数与方程之间的内在联系,所以在教学中重点训练学生观察图象的能力,以便找出图象与x轴交点的个数,并判断一元二次方程根的情况,充分感受数形结合的数学思想.为了提高课堂效率,对于“议一议”采取了分组讨论、合作解决的方式,让学生在分组的同时,还能体会到合作的重要性.为加深学生对本节课知识的印象,围绕着教学目标精心挑选题目,由基础题到提高题,再到中考题,通过不断地训练,让学生在“做”中“思”,来加深理解,然后再将这种理解应用到解题中去,以此不断提高学生的解题技能.
由于时间有限,安排以找规律的方式引入交点式时,没有深入地进行说理,致使少数学生浮于表面,不能真正理解而对结论产生混淆.
本节课学生完全有能力探索出二次函数与一元二次方程之间的关系,所以再教时,要大胆放手让学生去观察,去发现,给他们更大的思考空间.
随堂练习(教材第52页)
解:(1)略. (2)当t=1时,h=-4.9×12+19.6×1=14.7(m);当t=2时,h=-4.9×22+19.6×2=19.6(m). (3)方程-4.9t2+19.6t=0的根的实际意义是踢出后经过多长时间足球距地面的高度为0 m.方程-4.9t2+19.6t=14.7的根的实际意义是踢出后经过多长时间足球距地面的高度为14.7 m.图象表示略.
习题2.10(教材第52页)
1.解:(1)令y=0,得x2-x+3=0,∵Δ=b2-4ac=(-1)2-4××3<0,∴此方程无实数根,即此二次函数的图象与x轴无交点.作图略. (2)令y=0,得-2x2+20x-49=0,∵Δ=b2-4ac=202-4×(-2)×(-49)=400-392=8>0,∴此方程有两个实数根,分别为x1=5+,x2=5-,∴图象与x轴的交点坐标为和.作图略.
2.解:因为Δ=b2+4>0,所以y=x2+bx-1的图象与x轴相交,有两个交点.
3.解:方程x2-6x+4=1的根是抛物线y=x2-6x+4与直线y=1的交点的横坐标,图略.
4.提示:设两个函数图象相交,则交点横坐标满足-x2+3x+4=2x-1.解得x1=,x2=,故交点坐标为,,,-.
1.本节课的重点是探究二次函数和一元二次方程两者之间的关系,所以复习二次函数的图象的性质和一元二次方程的解法是学生课前必做的功课.
2.数形结合思想是学好本节知识的关键,所以学生要进一步加强观察二次函数图象的能力,要多看、多察、多思.
3.要求学生在与其他同学的合作交流中逐步发现二次函数和一元二次方程之间的关系,养成及时归纳总结的好习惯,并要加强练习,对所学知识进行巩固拓展.
已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴都没有公共点;
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?
〔解析〕 (1)求出根的判别式,即可得出答案.(2)先化成顶点式,根据顶点坐标和平移的性质即可得出答案.
证明:(1)∵Δ=(-2m)2-4×1×(m2+3)=4m2-4m2-12=-12<0,
∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解,
即不论m为何值,该函数的图象与x轴都没有公共点.
解:(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,
把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),
此时这个函数的图象与x轴只有一个公共点,
∴把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
[解题策略] 本题考查了二次函数图象和x轴的交点问题,根的判别式,平移的性质,二次函数的图象与几何变换的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力,题目比较好,有一定的难度.
第课时
1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
2.进一步发展估算能力.
1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.
2.利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方法的思路,体验数形结合思想.
通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力.
【重点】 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
【难点】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习二次函数的图象和性质及一元二次方程的解.
导入一:
如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1.6,那么另外一个根是多少?
学生分析:由抛物线可知其对称轴为直线x=3,∵抛物线是轴对称图形,∴抛物线与x轴的两个交点关于直线x=3对称,设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1,x2,那么两根满足2×3=x1+x2,∵x1=1.6,∴x2=4.4.
【问题】 关于这个问题,我们是利用抛物线的对称轴估计一元二次方程的根,如果不知道对称轴又该如何估计一元二次方程的根呢?
[设计意图] 通过图象求一元二次方程根的过程,让学生初步感知一元二次方程的根与二次函数图象与x轴交点之间的关系,为新知的探究打下了良好的基础.
导入二:
2015年6月6日第七届女足世界杯在加拿大开幕,在6月21日举行的决赛中,中国队以1∶0小胜喀麦隆队晋级8强,前锋9号王珊珊打入全场唯一进球,为中国队闯入8强立下了赫赫战功.张明同学研究了比赛中王珊珊的一次挑球过人时足球的运动轨迹,作出了如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象.
【师生活动】 引导学生观察图象,然后利用这个函数图象估算出对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根.
【学生活动】 学生观察后讨论,估计其中一个根是1.6或1.7,但是不知道另一个根大约是多少.
【引入】 上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系.有时在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.
[设计意图] 通过对足球运动轨迹的探索,让学生初步感知利用图象法估算一元二次方程的根的方法的同时,引出了本节课的课题,让学生做到有的放矢.
[过渡语] 在九年级上册,我们已经掌握了一元二次方程ax2+bx+c=0的各种解法,今天我们尝试另外的一种解法——图象法.
一、利用函数图象估算一元二次方程ax2+bx+c=0的根
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗?
课件出示:
如图所示的是函数y=x2+2x-10的图象.
【师生活动】 师引导学生观察并估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标.
确定出二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标的大致范围.
【学生活动】 生观察后得出:函数图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.
议一议:这只是大概范围,究竟更接近于哪一个数呢?请大家继续讨论.
生讨论后发言:既然一个根在-5与-4之间,那这个根一定是负4点几,所以个位数就确定下来了.
师继续设问:如何确定它的十分位呢?
生再讨论,代表发言:十分位上的数可以用试一试的方法确定,即分别把x=-4.1,-4.2,…,-4.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根).
师提示:这种方法是可行的,但是计算比较烦琐,所以同学们可以借助计算器进行计算.
完成下表:
x
…
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
…
y
…
…
学生合作,完成表格.
x
…
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
…
y
…
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
…
师课件出示图示,供学生参考.
想一想:现在你能确定十分位上的数了吗?
学生小组讨论后,组长发言:
从上表可知,当x取-4.3或-4.4时,对应y的值由负变正,可见在-4.4和-4.3之间一定有一个x值使y=0,即有方程x2+2x-10=0的一个根.由于当x=-4.3时,y=-0.11比y=0.56(x=-4.4)更接近0,所以x=-4.3更接近方程的根.
因此,方程x2+2x-10=0在-5和-4之间精确到0.1的根为x=-4.3.
【教师点评】 用图象法求一元二次方程的近似根时,结果只取到十分位.
师提示:有了上面的分析和结果,求另一个近似根就不困难了,请大家继续.
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
…
y
…
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
…
学生自行研究得出:方程的另一个近似根为x=2.3.
所以一元二次方程x2+2x-10=0的近似根为x1=-4.3,x2=2.3.
想一想:我们得出的结论是否正确?你能用我们学过的知识进行验证吗?
学生思考后得出:可以利用一元二次方程的求根公式进行验证.
学生独立完成验证过程.
师课件出示,供学生参考:
∵a=1,b=2,c=-10,∴x=,即x1=-1-≈-4.3,x2=-1+≈2.3.
[设计意图] 本环节是本节新课的重点内容,一是让学生巩固对二次函数图象的形成的认识,二是让他们运用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根的原理,经历一元二次方程根的近似值的探索过程,进一步体会二次函数与方程之间的联系.
[过渡语] 通过上面的探究,我们掌握了利用二次函数图象估计一元二次方程ax2+bx+c=0的根的方法,那么,能不能运用这种方法估计一元二次方程ax2+bx+c=k的根呢?
二、利用函数图象估算一元二次方程ax2+bx+c=k的根
【做一做】 利用函数图象估算一元二次方程x2+2x-10=3的根.
思路一
课件出示:
(1)请利用教材图2-17求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
【师生活动】 对比方程x2+2x-10=3和方程x2+2x-10=0的形式的不同之处,思考解决问题的方法.
【学生活动】 学生观察后得出:通过转化可以把原方程变形为x2+2x-13=0.然后,按照上面探究的方法进行求解.
学生分析:
由图可知,函数图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为x1=-4.7,x2=2.7.
思路二
课件出示:
(2)你还能利用教材图2-18求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根吗?
【师生活动】 对比方程x2+2x-10=3与方程x2+2x-10=0相应的函数解析式的y的值,讨论y=3时对应的x值的确定方法.
【学生活动】 学生分组讨论,得出结论:只需要找到抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标即可.学生在课本的图2-18上作出直线y=3,确定交点.
师课件出示:
通过图象,学生分析:
由图可知,函数图象与直线y=3有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为x1=-4.7,x2=2.7.
[设计意图] 通过探究,既巩固了所学知识,又让学生明白了一元二次方程ax2+bx+c=k的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=k(k是实数)交点的横坐标这一数学原理,培养学生观察图象、分析图象的能力.
[知识拓展] 当确定出一元二次方程的一个近似根时,可以利用对称性(对称轴为直线x=-)确定出另一个近似根.
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤:
(1)利用图象首先确定一元二次方程的两个根的大致范围(在哪两个整数之间).
(2)再利用计算器依次对x的值进行探索,当得到的y值最接近于0时,所对应的x的值即为方程的一个近似根,再利用同样的方法确定另一个近似根.
1.下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几组对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是 ( )
x
3.3
3.4
3.5
3.6
y
-0.06
-0.02
0.03
0.09
A.3.25 B.3.35 C.3.45 D.3.55
解析:结合表格可以得出y=0介于-0.02和0.03之间,对应的x的值介于3.4和3.5之间.故选C.
2.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,图象上有两点分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),则方程ax2+bx+c=0的一个近似解只可能是 ( )
A.2.18 B.2.68
C.-0.51 D.2.45
解析:根据二次函数与一元二次方程的关系,由图看出图象与x轴的交点的横坐标在2.18和2.68之间.故选D.
3.如图所示,已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0,-3),请你确定一个b的值,使该抛物线与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间.你所确定的值是 .
解析:由抛物线可知c=-3,当x=1时,y<0;当x=3时,y>0,从而可联立不等式,得到∴-2
第2课时
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤:(1)利用图象首先确定一元二次方程的两个根的大致范围(在哪两个整数之间).(2)再利用计算器依次对x的值进行探索,当得到的y值最接近于0时,所对应的x的值即为方程的一个近似根,再利用同样的方法确定另一个近似根.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第55页随堂练习.
2.教材第57页习题2.11第1,2题.
【选做题】
教材第57页习题2.11第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-1,-3.2)及部分图象(如图所示),由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是x1=1.3,另一个根是 ( )
A.x2=-1.3 B.x2=-2.3
C.x2=-0.3 D.x2=-3.3
2.下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据,x1是方程ax2+bx+c=0的一个解,则下列选项中正确的是 ( )
x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
-0.80
-0.54
-0.20
0.22
0.72
A.1.6
4.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根.
(1)x2-2x-1=0;
(2)x2+5=4x.
【能力提升】
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解为 ( )
A.x1=0.1,x2=-2.1
B.x1=0.5,x2=-2.5
C.x1=0.9,x2=-2.9
D.x1=1,x2=-3
6.观察下表:
x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
y=x2-2x-2
-1.79
-1.56
-1.31
-1.04
-0.75
-0.44
-0.11
0.24
0.61
则一元二次方程x2-2x-2=0在精确到0.1时的一个近似根是 ,利用抛物线的对称性,可推知该方程的另一个近似根是 .
【拓展探究】
7.(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象;
(2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2-2x=1的根在图上近似地表示出来(描点);
(3)观察图象,直接写出方程x2-2x=1的根.(精确到0.1)
【答案与解析】
1.D(解析:由题意可知对称轴为直线x=-1,则=-1,即=-1,解得x2=-3.3.)
2.C(解析:令y=0,其范围是-0.20<0<0.22,对应的x1的范围是2.0
4.解:(1)如图所示,从图象看抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标大概是2.4与-0.4,所以一元二次方程x2-2x-1=0的近似根是x1=2.4,x2=-0.4. (2)如图所示,抛物线y=x2-
4x+5与x轴没有交点,所以一元二次方程x2+5=4x无实数根.
5.B(解析:依题意得二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=-1,而对称轴右侧的图象与x轴交点与原点的距离约为0.5,∴方程ax2+bx+c=0的一个近似解为x1=0.5.又∵对称轴为直线x=-1,∴=-1,∴x2=2×(-1)-0.5=-2.5.)
6.2.7 -0.7(解析:∵x=2.7时,y=-0.11;x=2.8时,y=0.24,∴方程的一个根在2.7和2.8之间,又∵x=2.7时的y值比x=2.8时更接近0,∴方程的一个近似根为x=2.7.∵此函数图象的对称轴为直线x=1,设方程的另一根为x',∴=1,解得x'=-0.7.)
7.解:(1)画出y=x2-2x=(x-1)2-1的图象如图所示.
(2)如图所示,点M,N的横坐标即为方程x2-2x=1的根. (3)观察图象可知,点M的坐标约为(-0.4,0),点N的坐标约为(2.4,0),故方程x2-2x=1的根为x1=-0.4,x2=2.4.
通过两节课的学习,学生普遍认同了研究函数问题时,应该用数形结合思想从两方面来考虑问题,说明数形结合思想在他们的数学思维中逐渐形成.但有一部分学生习惯了从“数”的一面进行研究,甚至认为只要会用一元二次方程的求根公式就可以了.所以在教学中加强了学生的识图能力的强化训练,让他们进一步感知有时从“形”的一面研究问题会更简捷些的道理.此外,在学生进行探究活动的过程中,为学生提供了充分展示自己的机会,让学生更加感受到学习数学的快乐,让他们再次体会成功的喜悦.
课堂时间安排不太合理,影响了后面新知识的充分展开,课堂小结时,时间略显仓促.
加强学生独立解决问题的能力,老师应该再大胆放手让学生去探索,去交流,只有这样他们对新知的理解才能更深刻.
随堂练习(教材第55页)
提示:由图象可得:x1=2.2,x2=-0.2.
习题2.11(教材第57页)
1.提示:(1)由图象可得:x1=2.5,x2=-3. (2)由图象可得:x1=0.8,x2=-0.4.
2.解:OA=1.75 m,水池的半径至少为m,才能使喷出的水流不至于落在池外.
3.x1=1.3,x2=-0.8[提示:画出函数y=2x2和y=x+2的图象,在图象上找到交点,交点的横坐标就是方程2x2=x+2的近似根.]
复习题(教材第58页)
1.解:设两数分别为x,s,两数的积为y,根据题意列方程组得整理得y=x(6-x)=-x2+6x,配方得y=-(x-3)2+9,可见,y的最大值为9.画出函数图象如图所示,当x<3时,y随x的增大而增大;当x=3时,y达到最大值9;当x>3时,y随x的增大而减小.
2.解:(1)对称轴为y轴,顶点坐标为(0,2). (2)对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,5). (3)对称轴为直线x=-3,顶点坐标为(-3,-1). (4)y=x(5-x)=-(x2-5x)=-+,对称轴为直线x=,顶点坐标为. (5)y=1+2x-x2=-(x-1)2+2,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2). (6)y=2x2-7x+12=2+,对称轴为直线x=,顶点坐标为.
3.解:(1)令y=0,得x2+6x+9=0,解得x1=x2=-3,∴抛物线与x轴只有一个交点,为(-3,0).作图略. (2)令y=0,得9-4x2=0,解得x=±,∴抛物线与x轴交于和.作图略. (3)令y=0,得(x+1)2-9=0,解得x1=-4,x2=2,∴抛物线与x轴的交点为(-4,0)和(2,0).作图略.
4.解:设将铁丝分成x cm和(120-x)cm两部分,面积和为y cm2,列方程得y=+=(x-60)2+450,∴它们的面积和最小为450 cm2.
5.解:(1)取方便计算的几个值,如下表所示.(答案不唯一)
v(km/min)
1
2
3
4
5
6
7
I
2
8
18
32
50
72
98
(2)当汽车的速度增加到原来的2倍时,撞击影响扩大为原来的4倍.
6.解:(1)图象略.(2)当t=4 s时,h地=4.9t2=4.9×42=78.4(m),h月=0.8t2=0.8×42=12.8(m).
(3)当h=10 m时,10=4.9,解得t地≈1.4 s;10=0.8,解得t月≈3.5 s.
7.解:交点坐标为(4,7),(-1,-3).
8.解:一元二次方程-x2+2x+=0的根就是二次函数y=-x2+2x+的图象与x轴的交点的横坐标.
9.解: (1) 由图象可得x1=0.8,x2=-11.8. (2)由图象可得x1=3.2,x2=-6.2. (3) 由图象可得x1=2.2,x2=-4.2. (4)无实数根.(图略)
10.解:如图所示,作AD⊥BC于D,∵AB=a,∴BD=a,AD==a,S=BC·AD=a·a=a2(a>0).当a=1时,S=;当a=时,S=;当a=2时,S=.
11.解:(1)A=x2,l=4x. (2) 图略,x2增大的速度要比4x快得多. (3)A=x2和y=x2的图象不同,因为它们的自变量的取值范围不同.
12.解:∵h∶a=2∶5,∴h=a,∴S=ah=a2(a>0),当a逐渐增大时,S也随着逐渐增大.
13.解:(1)y=4x-x2=-(x2-8x)=-(x-4)2+8,∴小球到达的最高点的坐标为(4,8). (2)依题意得解得(舍),∴点A的坐标为.
14.解:设AB的长度为x m,矩形的面积为y m2,则BC的长为(15-x)m,所以y=x(15-x)=-(x2-15x)=-+,当x=时,y最大=,即当AB=BC= m,即围成正方形时,面积最大.
15.解:(1)如图所示,由题意知CE=2x m,△CEF的面积为y m2,∵∠FCE=90°,∠CEF=45°,∴CF=CE=2x m,∴y=CE·CF=2x2(0≤x≤5). (2)当x=2时,y=8;当x=3.5时,y=24.5. (3)正方形的面积为100 m2,当y=×100=50=2x2时,解得x=5(负值舍去).
16.解:(1)略. (2)h与t是二次函数关系. (3)由对称性可得(15,1135)是顶点坐标,所以可以设表达式为h=a(t-15)2+1135,把(1,155)代入可得表达式为h=-5(t-15)2+1135. (4)可以得出最高射程为1135米.由h关于t的表达式解出来的.
17.解:答案不唯一.如可以以水面所在的直线为x轴,以喷水口所在的竖直的直线为y轴建立平面直角坐标系,设右面水柱的表达式为y=a(x-h)2+.把(0,0.5),(1,0)代入可得y=-+(0≤x≤1).易得左面水柱的表达式为y=-+(-1≤x≤0).
18.解:设把数a拆成两数之和时,其中一个数为x,这两个数的积为y,则y=x(a-x)=-(x2-ax)=-+,∴当x=时,y最大值=.结论:把一个数拆成两个相等的数时,这两个数的积最大,最大值为这个数的平方的.
19.解:(1)依题意得y=(26-2x)(22-2x)=4(13-x)(11-x)=4x2-96x+572. (2)略. (3)当x=1时,y=480,当x=1.5时,y=437,当x=2时,y=396.
20.解:h=-5t2+v0t=-5=-5+,当t=时,h最大值==15,∴=300,∴v0≈17.32 m/s.
21.解:(1)y=-x2+8(-8≤x≤8). (2)由于设双向行车道,汽车只能走一个车道,所以将x=±4代入函数表达式,得y=7>7,因此货车能通过这个隧道.
22.解:建立如图所示的平面直角坐标系,AB=4 m,OC=2 m,∴点C的坐标为(0,2),点B的坐标为(2,0).设抛物线的解析式为y=ax2+k(a≠0),则y=ax2+2.∵x=2时,y=0,∴22a+2=0,解得a=-,∴解析式为y=-x2+2.当y=-x2+2=-1,即x2=3时,解得x=±,此时水面宽为2≈4.9(m).
23.解:表达式为y=-x2+8x,表格及图象略.(1)0
25.解:(1)第n个图中共有1+3+5+7+…+(2n-1)=[1+(2n-1)]·n=n2个小正方形. (2)1+3=22=4,1+3+5=32=9,1+3+5+7=42=16,1+3+5+7+9=52=25,…,1+3+5+7+9+…+(2n-1)=n2.
26.解:(1)从左往右依次为:1,3,6,10,15.第6个有21个小圆圈. (2)从左往右依次填:1,3,6,10,15. (3)m=n(n+1)=n2+n.
27.解:(1)从左往右依次为:1,7,19,37.第五个有61个小圆圈. (2)从左往右依次填:1,7,19,37,61. (3)m=6×+1=3n2-3n+1.
28.解:共有121个.
由于学生已经掌握了利用图象法求一元二次方程解的步骤和方法,所以本节课学生可以利用类比的方法探究利用图象法求一元二次方程的近似根,数形结合思想仍然是学生探究学习的重点,而计算器是学生本节课学习的必不可少的学习工具;小组的合作交流是学生解决重点、突破难点的重要方法;注重一题多解则是对所学知识的巩固、拓展和提高的展示形式.
下表是用计算器探索函数y=x2-2x-10所得的数值,则方程x2-2x-10=0的一个近似解为 ( )
x
-2.1
-2.2
-2.3
-2.4
y
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
A.x=-2.1 B.x=-2.2
C.x=-2.3 D.x=-2.4
【错解】 D
【错解分析】 当y=0时,自变量x的取值范围是-2.4
【正解分析】 当x=-2.3时,y=-0.11,当x=-2.4时,y=0.56,则方程的根满足-2.4
5 二次函数与一元二次方程
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
2.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.
3.理解二次函数的图象和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.
4.理解一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=h(h是实数)交点的横坐标.
5.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
6.进一步发展估算能力.
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.
2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.
3.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
2.具有初步的创新精神和实践能力.
3.通过共同观察和讨论,培养学生的合作交流意识.
【重点】
1.掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法,进一步发展估算能力.
2.理解二次函数的图象和x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.
【难点】
1.掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法解决相关的问题.
2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.
第课时
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=h(h是实数)交点的横坐标.
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.
2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
2.具有初步的创新精神和实践能力.
【重点】 把握二次函数图象与x轴(或直线y=h)交点的个数与一元二次方程的根的关系.
【难点】 探索二次函数与一元二次方程的关系的过程;理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习一元二次方程的根的情况及二次函数图象的性质.
导入一:
小兰同学画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图所示,你能利用图象求出关于x的方程x2+ax+b=0的解吗?
学生分析:如图所示,∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点坐标分别是(-1,0),(4,0),∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4.
【问题】 二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间有什么关系?图象与x轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系?
[设计意图] 通过观察、分析、发现的过程,让学生初步感知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间的关系,为下面的探究打下了良好的基础.
导入二:
“神舟十号”是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱和附加段组成.“神舟十号”在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒,由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”成功发射.某科技实验小组也自行设计了火箭,经测试,该种火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-t2+10t-15表示,你能算出经过多长时间,火箭可以达到9 m的高度吗?
【问题】 当h=9时,二次函数h=-t2+10t-15的形式发生了怎样的变化?
学生分析:当h=9时,二次函数h=-t2+10t-15就转变成了一元二次方程-t2+10t-15=9.
[设计意图] 通过对火箭发射的探究,引导学生将函数表达式进行转变,逐步引出本节课的知识,即二次函数与一元二次方程的关系,激发了学生的探究欲望,提高了学生的学习积极性.
[过渡语] 我们知道二次函数表达式为y=ax2+bx+c.当y=0时,二次函数表达式y=ax2+bx+c就转变成了一元二次方程ax2+bx+c=0,两者之间存在着一些必然的联系.
一、二次函数与一元二次方程的关系
课件出示:
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40 m/s的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示.那么:
(1)h与t的关系式是什么?
(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
问题1
师引导学生仔细审题,回答下面的问题:
1.由图象可得h0= ,v0= .
2.由h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,可得h与t的关系式为 .
学生分析:生发言:h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40 m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0=40,h0=0代入上式即可求出h与t的关系式,所以h=-5t2+40t.
问题2
怎样求出小球落地所需要的时间?
思路一
【师生活动】 要求学生通过观察图象得出结论,学生观察、分析、讨论后,师生统一答案.
解:观察图象可得:小球经过8 s后落地.
思路二
师引导学生仔细审题,回答下面的问题:
1.小球落地时高度h为何值?
2.当h取值时,函数表达式发生了怎样的转变?
3.求出的一元二次方程的两个解是否都满足题意?
【师生活动】 要求学生思考后,与同伴交流,教师巡视并参与讨论,及时订正学生出现的错误.
【学生活动】 独立完成后,同伴交流,代表板演解题过程.
解:令h=0,得-5t2+40t=0,即t2-8t=0,
∴t(t-8)=0.
解得t1=0,t2=8.
∵t=0是小球没抛时的时间,
∴t=8是小球落地时的时间.
∴小球经过8 s后落地.
【教师点评】 两种方法运用了一“数”一“形”,再次体现了数形结合的数学思想方法.
[设计意图] 通过实际问题的解答,使学生进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系,同时利用两种不同的方法进行求解,体现了解题方法的灵活性,同时也使学生进一步感受到数形结合的解题思想,也可以体会两种解题方法的不同之处和内在联系.
[过渡语] 二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间有什么关系?图象与x轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系?
课件出示:
【议一议】 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象分别如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点?
(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程x2-2x+2=0有实数根吗?
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
【师生活动】 组织学生观察图象,对学生进行分组:共分六个组,两两合作,共同完成第(1)(2)(3)题.各组分别讨论,师巡回指导,参与各小组讨论,及时点拨指正.各组选出一个代表发言,阐述自己的结论.
第一组:二次函数y=x2+2x的图象与x轴有2个交点,分别为(0,0)和(-2,0);
第二组:一元二次方程x2+2x=0有两个根,分别为x1=0,x2=-2.
第一、二组同学得出共同的结论:
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根是一样的.
第三组:二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴只有一个交点,为(1,0);
第四组:一元二次方程x2-2x+1=0有两个相等的根,为x1=x2=1.
第三、四组同学得出共同的结论:
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
第五组:二次函数y=x2-2x+2的图象在x轴的上方,与x轴没有交点;
第六组:一元二次方程x2-2x+2=0没有实数根.
第五、六组同学得出共同的结论:
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴没有交点,对应的一元二次方程ax2+bx+c=0就没有实数根.
【教师点评】 二次函数与一元二次方程之间的关系:
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.
与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
让学生再次深刻理解.
[设计意图] 通过对三个函数图象与x轴交点的观察、对一元二次方程根的解答,让学生进一步掌握二次函数与一元二次方程之间的关系,提高发现问题、解决问题的能力.
[知识拓展] 二次函数与一元二次方程之间的关系:
当y=0时,二次函数的解析式y=ax2+bx+c就是一元二次方程ax2+bx+c=0,而一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,在二次函数与一元二次方程的关系中,判别式Δ=b2-4ac起着极为重要的作用.
Δ>0
Δ=0
Δ<0
一元二次方程ax2+bx+c=0
x1=
x2=
x1=x2=-
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c
图象与x轴有两个交点,分别为(x1,0),(x2,0)
图象与x轴只有一个交点,为
图象与x轴没有交点
[过渡语] 通过上面的探究,我们了解了当y=0时,二次函数与一元二次方程之间的关系,当y≠0时呢?又如何解答呢?
课件出示:
【想一想】 在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60 m?你是如何知道的?
思路一
由图象可知:当h=60 m时,直线h=60与函数h=-5t2+v0t+h0的图象有两个交点,分别为(2,60)和(6,60),因此,当小球离开地面2 s和6 s时,高度都是60 m.
思路二
解:在式子h=-5t2+v0t+h0中,当h0=0,v0=40,h=60时,
有-5t2+40t=60,
即t2-8t+12=0,
解得t1=2,t2=6.
因此,当小球离开地面2 s和6 s时,高度都是60 m.
[设计意图] 通过这两个实际问题使学生进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系,同时利用两种不同的方法进行求解,体现了解题方法的灵活性,同时也使学生进一步感受到数形结合的解题思想,也可以体会两种解题方法的不同之处和内在联系.
二次函数与一元二次方程之间的关系:
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
1.下列二次函数的图象与x轴有两个交点的是 ( )
A.y=-x2+2x-5 B.y=-2x2-8x-11
C.y=3x2-6x+1 D.y=4x2+24
解析:利用Δ进行判定,选项A,B,D的Δ都小于0,对于选项C,Δ=36-4×3=24>0,∴函数图象与x轴有两个交点,故C正确.故选C.
2.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是 ( )
A.-8 B.8
C.±8 D.6
解析:由图象可知,抛物线与x轴只有一个交点,∴Δ=m2-4×2×8=0,解得m=±8.∵对称轴为直线x=-<0,∴m>0,∴m的值为8.故选B.
3.二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示,根据图中信息可得到m的值是 .
解析:∵抛物线y=x2-mx+3过点(1,0),∴1-m+3=0,∴m=4.故填4.
4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,求关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解.
解:根据图象可知,二次函数y=-x2+2x+m的部分图象经过点(3,0),所以该点适合y=-x2+2x+m,代入,得-9+2×3+m=0,解得m=3.把m=3代入一元二次方程-x2+2x+m=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=-1.
第1课时
1.二次函数与一元二次方程之间的关系:
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第52页随堂练习.
2.教材第52页习题2.10第1,2题.
【选做题】
教材第53页习题2.10第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.抛物线y=-3x2-x+4与x轴的交点个数是 ( )
A.3 B.2
C.1 D.0
2.(苏州中考)若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为 ( )
A.x1=0,x2=4 B.x1=1,x2=5
C.x1=1,x2=-5 D.x1=-1,x2=5
3.抛物线y=x2-3x与x轴的交点坐标为 .
【能力提升】
4.(东营中考)若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为 ( )
A.0 B.0或2
C.2或-2 D.0,2或-2
5.(陕西中考)下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是 ( )
A.没有交点
B.只有一个交点,且它位于y轴右侧
C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧
6.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为 ( )
A.-3 B.3
C.-6 D.9
7.(株洲中考)如果函数y=(a-1)x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是 .
8.已知二次函数y=2x2-mx-m2.
(1)求证:对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点;
(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且A点坐标为(1,0),求B点坐标.
9.(宁波中考)已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.
(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;
(2)若该抛物线的对称轴为直线x=.
①求该抛物线的函数解析式;
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
【拓展探究】
10.(荆州中考)已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.
(1)求证:无论k取任何实数,方程总有实数根;
(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数时,若P(a,y1),Q(1,y2)是此抛物线上的两点,且y1>y2,请结合函数图象确定实数a的取值范围;
(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,求出定点坐标.
【答案与解析】
1.B(解析:令y=0,得到-3x2-x+4=0,即3x2+x-4=0,∴Δ=1-4×3×(-4)=49>0,∴-3x2-x+4=0有两个不相等的实数根,即抛物线y=-3x2-x+4与x轴有两个交点.)
2.D(解析:∵对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,∴-=2,解得b=-4,解方程x2-4x=5,得x1=-1,x2=5.故选D.)
3.(3,0),(0,0)(解析:令y=0,则x2-3x=0,解得x=3或x=0.所以抛物线y=x2-3x与x轴的交点坐标是(3,0),(0,0).故填(3,0),(0,0).)
4.D(解析:分为两种情况:①当函数是二次函数时,∵函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,∴Δ=(m+2)2-4m·=0且m≠0,解得m=±2;②当函数为一次函数时,m=0,此时函数解析式是y=2x+1,其图象与x轴只有一个交点.故选D.)
5.D(解析:当y=0时,ax2-2ax+1=0,∵a>1,∴Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)>0,ax2-2ax+1=0有两个根,其对应的函数图象与x轴有两个交点,又x1+x2=-=2>0,x1x2=>0,∴这两个交点均位于y轴右侧.故选D.)
6.B(解析:∵抛物线的开口向上,顶点的纵坐标为-3,∴a>0,-=-3,即b2=12a,∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,∴Δ=b2-4am≥0,即12a-4am≥0,即12-4m≥0,解得m≤3,∴m的最大值为3.)
7.a<-5(解析:∵函数y=(a-1)x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限,∴此函数一定是二次函数,其图象与x轴有两个交点,且两个交点必在y轴两侧,∴解得a<-5.故填a<-5.)
8.(1)证明:当二次函数图象与x轴相交时,2x2-
mx-m2=0,Δ=(-m)2-4×2×(-m2)=9m2.∵m2≥0,∴9m2≥0,∴对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点. (2)解:把(1,0)代入二次函数关系式,得0=2-m-m2,∴m1=-2,m2=1,当m=-2时,二次函数关系式为y=2x2+2x-4,令y=0,得2x2+2x-4=0,解得x=1或x=-2,∴二次函数图象与x轴的两个公共点的坐标是(1,0),(-2,0).又∵A点坐标为(1,0),∴B(-2,0),当m=1时,同理可得B.
9.(1)证明:y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m,∵Δ=(2m+1)2-4(m2+m)=1>0,∴不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点. (2)解:①∵x=-=,∴m=2,∴抛物线解析式为y=x2-5x+6. ②设抛物线沿y轴向上平移k(k>0)个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点,则平移后抛物线解析式为y=x2-5x+6+k,∵抛物线y=x2-5x+6+k与x轴只有一个公共点,∴Δ=52-4(6+k)=0,∴k=,即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
10.(1)证明:①当k=0时,方程为x+2=0,∴x=-2,方程有实数根,②当k≠0时,∵Δ=(2k+1)2-4k×2=(2k-1)2≥0,∴无论k取任何实数,方程总有实数根. (2)解:令y=0,则kx2+(2k+1)x+2=0,解关于x的一元二次方程,得x1=-2,x2=-.∵二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,∴k=1,∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2,如图所示,由图象得到:当y1>y2时,a>1或a<-4. (3)依题意得kx2+(2k+1)x+2-y=0恒成立,即k(x2+2x)+x-y+2=0恒成立,则解得或∴该抛物线恒过定点(0,2),(-2,0).
通过本节课的学习,重点要让学生体会到函数与方程之间的内在联系,所以在教学中重点训练学生观察图象的能力,以便找出图象与x轴交点的个数,并判断一元二次方程根的情况,充分感受数形结合的数学思想.为了提高课堂效率,对于“议一议”采取了分组讨论、合作解决的方式,让学生在分组的同时,还能体会到合作的重要性.为加深学生对本节课知识的印象,围绕着教学目标精心挑选题目,由基础题到提高题,再到中考题,通过不断地训练,让学生在“做”中“思”,来加深理解,然后再将这种理解应用到解题中去,以此不断提高学生的解题技能.
由于时间有限,安排以找规律的方式引入交点式时,没有深入地进行说理,致使少数学生浮于表面,不能真正理解而对结论产生混淆.
本节课学生完全有能力探索出二次函数与一元二次方程之间的关系,所以再教时,要大胆放手让学生去观察,去发现,给他们更大的思考空间.
随堂练习(教材第52页)
解:(1)略. (2)当t=1时,h=-4.9×12+19.6×1=14.7(m);当t=2时,h=-4.9×22+19.6×2=19.6(m). (3)方程-4.9t2+19.6t=0的根的实际意义是踢出后经过多长时间足球距地面的高度为0 m.方程-4.9t2+19.6t=14.7的根的实际意义是踢出后经过多长时间足球距地面的高度为14.7 m.图象表示略.
习题2.10(教材第52页)
1.解:(1)令y=0,得x2-x+3=0,∵Δ=b2-4ac=(-1)2-4××3<0,∴此方程无实数根,即此二次函数的图象与x轴无交点.作图略. (2)令y=0,得-2x2+20x-49=0,∵Δ=b2-4ac=202-4×(-2)×(-49)=400-392=8>0,∴此方程有两个实数根,分别为x1=5+,x2=5-,∴图象与x轴的交点坐标为和.作图略.
2.解:因为Δ=b2+4>0,所以y=x2+bx-1的图象与x轴相交,有两个交点.
3.解:方程x2-6x+4=1的根是抛物线y=x2-6x+4与直线y=1的交点的横坐标,图略.
4.提示:设两个函数图象相交,则交点横坐标满足-x2+3x+4=2x-1.解得x1=,x2=,故交点坐标为,,,-.
1.本节课的重点是探究二次函数和一元二次方程两者之间的关系,所以复习二次函数的图象的性质和一元二次方程的解法是学生课前必做的功课.
2.数形结合思想是学好本节知识的关键,所以学生要进一步加强观察二次函数图象的能力,要多看、多察、多思.
3.要求学生在与其他同学的合作交流中逐步发现二次函数和一元二次方程之间的关系,养成及时归纳总结的好习惯,并要加强练习,对所学知识进行巩固拓展.
已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴都没有公共点;
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?
〔解析〕 (1)求出根的判别式,即可得出答案.(2)先化成顶点式,根据顶点坐标和平移的性质即可得出答案.
证明:(1)∵Δ=(-2m)2-4×1×(m2+3)=4m2-4m2-12=-12<0,
∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解,
即不论m为何值,该函数的图象与x轴都没有公共点.
解:(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,
把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),
此时这个函数的图象与x轴只有一个公共点,
∴把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
[解题策略] 本题考查了二次函数图象和x轴的交点问题,根的判别式,平移的性质,二次函数的图象与几何变换的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力,题目比较好,有一定的难度.
第课时
1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
2.进一步发展估算能力.
1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.
2.利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方法的思路,体验数形结合思想.
通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力.
【重点】 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
【难点】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习二次函数的图象和性质及一元二次方程的解.
导入一:
如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1.6,那么另外一个根是多少?
学生分析:由抛物线可知其对称轴为直线x=3,∵抛物线是轴对称图形,∴抛物线与x轴的两个交点关于直线x=3对称,设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1,x2,那么两根满足2×3=x1+x2,∵x1=1.6,∴x2=4.4.
【问题】 关于这个问题,我们是利用抛物线的对称轴估计一元二次方程的根,如果不知道对称轴又该如何估计一元二次方程的根呢?
[设计意图] 通过图象求一元二次方程根的过程,让学生初步感知一元二次方程的根与二次函数图象与x轴交点之间的关系,为新知的探究打下了良好的基础.
导入二:
2015年6月6日第七届女足世界杯在加拿大开幕,在6月21日举行的决赛中,中国队以1∶0小胜喀麦隆队晋级8强,前锋9号王珊珊打入全场唯一进球,为中国队闯入8强立下了赫赫战功.张明同学研究了比赛中王珊珊的一次挑球过人时足球的运动轨迹,作出了如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象.
【师生活动】 引导学生观察图象,然后利用这个函数图象估算出对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根.
【学生活动】 学生观察后讨论,估计其中一个根是1.6或1.7,但是不知道另一个根大约是多少.
【引入】 上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系.有时在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.
[设计意图] 通过对足球运动轨迹的探索,让学生初步感知利用图象法估算一元二次方程的根的方法的同时,引出了本节课的课题,让学生做到有的放矢.
[过渡语] 在九年级上册,我们已经掌握了一元二次方程ax2+bx+c=0的各种解法,今天我们尝试另外的一种解法——图象法.
一、利用函数图象估算一元二次方程ax2+bx+c=0的根
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗?
课件出示:
如图所示的是函数y=x2+2x-10的图象.
【师生活动】 师引导学生观察并估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标.
确定出二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标的大致范围.
【学生活动】 生观察后得出:函数图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.
议一议:这只是大概范围,究竟更接近于哪一个数呢?请大家继续讨论.
生讨论后发言:既然一个根在-5与-4之间,那这个根一定是负4点几,所以个位数就确定下来了.
师继续设问:如何确定它的十分位呢?
生再讨论,代表发言:十分位上的数可以用试一试的方法确定,即分别把x=-4.1,-4.2,…,-4.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根).
师提示:这种方法是可行的,但是计算比较烦琐,所以同学们可以借助计算器进行计算.
完成下表:
x
…
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
…
y
…
…
学生合作,完成表格.
x
…
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
…
y
…
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
…
师课件出示图示,供学生参考.
想一想:现在你能确定十分位上的数了吗?
学生小组讨论后,组长发言:
从上表可知,当x取-4.3或-4.4时,对应y的值由负变正,可见在-4.4和-4.3之间一定有一个x值使y=0,即有方程x2+2x-10=0的一个根.由于当x=-4.3时,y=-0.11比y=0.56(x=-4.4)更接近0,所以x=-4.3更接近方程的根.
因此,方程x2+2x-10=0在-5和-4之间精确到0.1的根为x=-4.3.
【教师点评】 用图象法求一元二次方程的近似根时,结果只取到十分位.
师提示:有了上面的分析和结果,求另一个近似根就不困难了,请大家继续.
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
…
y
…
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
…
学生自行研究得出:方程的另一个近似根为x=2.3.
所以一元二次方程x2+2x-10=0的近似根为x1=-4.3,x2=2.3.
想一想:我们得出的结论是否正确?你能用我们学过的知识进行验证吗?
学生思考后得出:可以利用一元二次方程的求根公式进行验证.
学生独立完成验证过程.
师课件出示,供学生参考:
∵a=1,b=2,c=-10,∴x=,即x1=-1-≈-4.3,x2=-1+≈2.3.
[设计意图] 本环节是本节新课的重点内容,一是让学生巩固对二次函数图象的形成的认识,二是让他们运用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根的原理,经历一元二次方程根的近似值的探索过程,进一步体会二次函数与方程之间的联系.
[过渡语] 通过上面的探究,我们掌握了利用二次函数图象估计一元二次方程ax2+bx+c=0的根的方法,那么,能不能运用这种方法估计一元二次方程ax2+bx+c=k的根呢?
二、利用函数图象估算一元二次方程ax2+bx+c=k的根
【做一做】 利用函数图象估算一元二次方程x2+2x-10=3的根.
思路一
课件出示:
(1)请利用教材图2-17求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
【师生活动】 对比方程x2+2x-10=3和方程x2+2x-10=0的形式的不同之处,思考解决问题的方法.
【学生活动】 学生观察后得出:通过转化可以把原方程变形为x2+2x-13=0.然后,按照上面探究的方法进行求解.
学生分析:
由图可知,函数图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为x1=-4.7,x2=2.7.
思路二
课件出示:
(2)你还能利用教材图2-18求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根吗?
【师生活动】 对比方程x2+2x-10=3与方程x2+2x-10=0相应的函数解析式的y的值,讨论y=3时对应的x值的确定方法.
【学生活动】 学生分组讨论,得出结论:只需要找到抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标即可.学生在课本的图2-18上作出直线y=3,确定交点.
师课件出示:
通过图象,学生分析:
由图可知,函数图象与直线y=3有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为x1=-4.7,x2=2.7.
[设计意图] 通过探究,既巩固了所学知识,又让学生明白了一元二次方程ax2+bx+c=k的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=k(k是实数)交点的横坐标这一数学原理,培养学生观察图象、分析图象的能力.
[知识拓展] 当确定出一元二次方程的一个近似根时,可以利用对称性(对称轴为直线x=-)确定出另一个近似根.
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤:
(1)利用图象首先确定一元二次方程的两个根的大致范围(在哪两个整数之间).
(2)再利用计算器依次对x的值进行探索,当得到的y值最接近于0时,所对应的x的值即为方程的一个近似根,再利用同样的方法确定另一个近似根.
1.下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几组对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是 ( )
x
3.3
3.4
3.5
3.6
y
-0.06
-0.02
0.03
0.09
A.3.25 B.3.35 C.3.45 D.3.55
解析:结合表格可以得出y=0介于-0.02和0.03之间,对应的x的值介于3.4和3.5之间.故选C.
2.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,图象上有两点分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),则方程ax2+bx+c=0的一个近似解只可能是 ( )
A.2.18 B.2.68
C.-0.51 D.2.45
解析:根据二次函数与一元二次方程的关系,由图看出图象与x轴的交点的横坐标在2.18和2.68之间.故选D.
3.如图所示,已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0,-3),请你确定一个b的值,使该抛物线与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间.你所确定的值是 .
解析:由抛物线可知c=-3,当x=1时,y<0;当x=3时,y>0,从而可联立不等式,得到∴-2
第2课时
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤:(1)利用图象首先确定一元二次方程的两个根的大致范围(在哪两个整数之间).(2)再利用计算器依次对x的值进行探索,当得到的y值最接近于0时,所对应的x的值即为方程的一个近似根,再利用同样的方法确定另一个近似根.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第55页随堂练习.
2.教材第57页习题2.11第1,2题.
【选做题】
教材第57页习题2.11第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-1,-3.2)及部分图象(如图所示),由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是x1=1.3,另一个根是 ( )
A.x2=-1.3 B.x2=-2.3
C.x2=-0.3 D.x2=-3.3
2.下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据,x1是方程ax2+bx+c=0的一个解,则下列选项中正确的是 ( )
x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
-0.80
-0.54
-0.20
0.22
0.72
A.1.6
4.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根.
(1)x2-2x-1=0;
(2)x2+5=4x.
【能力提升】
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解为 ( )
A.x1=0.1,x2=-2.1
B.x1=0.5,x2=-2.5
C.x1=0.9,x2=-2.9
D.x1=1,x2=-3
6.观察下表:
x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
y=x2-2x-2
-1.79
-1.56
-1.31
-1.04
-0.75
-0.44
-0.11
0.24
0.61
则一元二次方程x2-2x-2=0在精确到0.1时的一个近似根是 ,利用抛物线的对称性,可推知该方程的另一个近似根是 .
【拓展探究】
7.(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象;
(2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2-2x=1的根在图上近似地表示出来(描点);
(3)观察图象,直接写出方程x2-2x=1的根.(精确到0.1)
【答案与解析】
1.D(解析:由题意可知对称轴为直线x=-1,则=-1,即=-1,解得x2=-3.3.)
2.C(解析:令y=0,其范围是-0.20<0<0.22,对应的x1的范围是2.0
4.解:(1)如图所示,从图象看抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标大概是2.4与-0.4,所以一元二次方程x2-2x-1=0的近似根是x1=2.4,x2=-0.4. (2)如图所示,抛物线y=x2-
4x+5与x轴没有交点,所以一元二次方程x2+5=4x无实数根.
5.B(解析:依题意得二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=-1,而对称轴右侧的图象与x轴交点与原点的距离约为0.5,∴方程ax2+bx+c=0的一个近似解为x1=0.5.又∵对称轴为直线x=-1,∴=-1,∴x2=2×(-1)-0.5=-2.5.)
6.2.7 -0.7(解析:∵x=2.7时,y=-0.11;x=2.8时,y=0.24,∴方程的一个根在2.7和2.8之间,又∵x=2.7时的y值比x=2.8时更接近0,∴方程的一个近似根为x=2.7.∵此函数图象的对称轴为直线x=1,设方程的另一根为x',∴=1,解得x'=-0.7.)
7.解:(1)画出y=x2-2x=(x-1)2-1的图象如图所示.
(2)如图所示,点M,N的横坐标即为方程x2-2x=1的根. (3)观察图象可知,点M的坐标约为(-0.4,0),点N的坐标约为(2.4,0),故方程x2-2x=1的根为x1=-0.4,x2=2.4.
通过两节课的学习,学生普遍认同了研究函数问题时,应该用数形结合思想从两方面来考虑问题,说明数形结合思想在他们的数学思维中逐渐形成.但有一部分学生习惯了从“数”的一面进行研究,甚至认为只要会用一元二次方程的求根公式就可以了.所以在教学中加强了学生的识图能力的强化训练,让他们进一步感知有时从“形”的一面研究问题会更简捷些的道理.此外,在学生进行探究活动的过程中,为学生提供了充分展示自己的机会,让学生更加感受到学习数学的快乐,让他们再次体会成功的喜悦.
课堂时间安排不太合理,影响了后面新知识的充分展开,课堂小结时,时间略显仓促.
加强学生独立解决问题的能力,老师应该再大胆放手让学生去探索,去交流,只有这样他们对新知的理解才能更深刻.
随堂练习(教材第55页)
提示:由图象可得:x1=2.2,x2=-0.2.
习题2.11(教材第57页)
1.提示:(1)由图象可得:x1=2.5,x2=-3. (2)由图象可得:x1=0.8,x2=-0.4.
2.解:OA=1.75 m,水池的半径至少为m,才能使喷出的水流不至于落在池外.
3.x1=1.3,x2=-0.8[提示:画出函数y=2x2和y=x+2的图象,在图象上找到交点,交点的横坐标就是方程2x2=x+2的近似根.]
复习题(教材第58页)
1.解:设两数分别为x,s,两数的积为y,根据题意列方程组得整理得y=x(6-x)=-x2+6x,配方得y=-(x-3)2+9,可见,y的最大值为9.画出函数图象如图所示,当x<3时,y随x的增大而增大;当x=3时,y达到最大值9;当x>3时,y随x的增大而减小.
2.解:(1)对称轴为y轴,顶点坐标为(0,2). (2)对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,5). (3)对称轴为直线x=-3,顶点坐标为(-3,-1). (4)y=x(5-x)=-(x2-5x)=-+,对称轴为直线x=,顶点坐标为. (5)y=1+2x-x2=-(x-1)2+2,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2). (6)y=2x2-7x+12=2+,对称轴为直线x=,顶点坐标为.
3.解:(1)令y=0,得x2+6x+9=0,解得x1=x2=-3,∴抛物线与x轴只有一个交点,为(-3,0).作图略. (2)令y=0,得9-4x2=0,解得x=±,∴抛物线与x轴交于和.作图略. (3)令y=0,得(x+1)2-9=0,解得x1=-4,x2=2,∴抛物线与x轴的交点为(-4,0)和(2,0).作图略.
4.解:设将铁丝分成x cm和(120-x)cm两部分,面积和为y cm2,列方程得y=+=(x-60)2+450,∴它们的面积和最小为450 cm2.
5.解:(1)取方便计算的几个值,如下表所示.(答案不唯一)
v(km/min)
1
2
3
4
5
6
7
I
2
8
18
32
50
72
98
(2)当汽车的速度增加到原来的2倍时,撞击影响扩大为原来的4倍.
6.解:(1)图象略.(2)当t=4 s时,h地=4.9t2=4.9×42=78.4(m),h月=0.8t2=0.8×42=12.8(m).
(3)当h=10 m时,10=4.9,解得t地≈1.4 s;10=0.8,解得t月≈3.5 s.
7.解:交点坐标为(4,7),(-1,-3).
8.解:一元二次方程-x2+2x+=0的根就是二次函数y=-x2+2x+的图象与x轴的交点的横坐标.
9.解: (1) 由图象可得x1=0.8,x2=-11.8. (2)由图象可得x1=3.2,x2=-6.2. (3) 由图象可得x1=2.2,x2=-4.2. (4)无实数根.(图略)
10.解:如图所示,作AD⊥BC于D,∵AB=a,∴BD=a,AD==a,S=BC·AD=a·a=a2(a>0).当a=1时,S=;当a=时,S=;当a=2时,S=.
11.解:(1)A=x2,l=4x. (2) 图略,x2增大的速度要比4x快得多. (3)A=x2和y=x2的图象不同,因为它们的自变量的取值范围不同.
12.解:∵h∶a=2∶5,∴h=a,∴S=ah=a2(a>0),当a逐渐增大时,S也随着逐渐增大.
13.解:(1)y=4x-x2=-(x2-8x)=-(x-4)2+8,∴小球到达的最高点的坐标为(4,8). (2)依题意得解得(舍),∴点A的坐标为.
14.解:设AB的长度为x m,矩形的面积为y m2,则BC的长为(15-x)m,所以y=x(15-x)=-(x2-15x)=-+,当x=时,y最大=,即当AB=BC= m,即围成正方形时,面积最大.
15.解:(1)如图所示,由题意知CE=2x m,△CEF的面积为y m2,∵∠FCE=90°,∠CEF=45°,∴CF=CE=2x m,∴y=CE·CF=2x2(0≤x≤5). (2)当x=2时,y=8;当x=3.5时,y=24.5. (3)正方形的面积为100 m2,当y=×100=50=2x2时,解得x=5(负值舍去).
16.解:(1)略. (2)h与t是二次函数关系. (3)由对称性可得(15,1135)是顶点坐标,所以可以设表达式为h=a(t-15)2+1135,把(1,155)代入可得表达式为h=-5(t-15)2+1135. (4)可以得出最高射程为1135米.由h关于t的表达式解出来的.
17.解:答案不唯一.如可以以水面所在的直线为x轴,以喷水口所在的竖直的直线为y轴建立平面直角坐标系,设右面水柱的表达式为y=a(x-h)2+.把(0,0.5),(1,0)代入可得y=-+(0≤x≤1).易得左面水柱的表达式为y=-+(-1≤x≤0).
18.解:设把数a拆成两数之和时,其中一个数为x,这两个数的积为y,则y=x(a-x)=-(x2-ax)=-+,∴当x=时,y最大值=.结论:把一个数拆成两个相等的数时,这两个数的积最大,最大值为这个数的平方的.
19.解:(1)依题意得y=(26-2x)(22-2x)=4(13-x)(11-x)=4x2-96x+572. (2)略. (3)当x=1时,y=480,当x=1.5时,y=437,当x=2时,y=396.
20.解:h=-5t2+v0t=-5=-5+,当t=时,h最大值==15,∴=300,∴v0≈17.32 m/s.
21.解:(1)y=-x2+8(-8≤x≤8). (2)由于设双向行车道,汽车只能走一个车道,所以将x=±4代入函数表达式,得y=7>7,因此货车能通过这个隧道.
22.解:建立如图所示的平面直角坐标系,AB=4 m,OC=2 m,∴点C的坐标为(0,2),点B的坐标为(2,0).设抛物线的解析式为y=ax2+k(a≠0),则y=ax2+2.∵x=2时,y=0,∴22a+2=0,解得a=-,∴解析式为y=-x2+2.当y=-x2+2=-1,即x2=3时,解得x=±,此时水面宽为2≈4.9(m).
23.解:表达式为y=-x2+8x,表格及图象略.(1)0
25.解:(1)第n个图中共有1+3+5+7+…+(2n-1)=[1+(2n-1)]·n=n2个小正方形. (2)1+3=22=4,1+3+5=32=9,1+3+5+7=42=16,1+3+5+7+9=52=25,…,1+3+5+7+9+…+(2n-1)=n2.
26.解:(1)从左往右依次为:1,3,6,10,15.第6个有21个小圆圈. (2)从左往右依次填:1,3,6,10,15. (3)m=n(n+1)=n2+n.
27.解:(1)从左往右依次为:1,7,19,37.第五个有61个小圆圈. (2)从左往右依次填:1,7,19,37,61. (3)m=6×+1=3n2-3n+1.
28.解:共有121个.
由于学生已经掌握了利用图象法求一元二次方程解的步骤和方法,所以本节课学生可以利用类比的方法探究利用图象法求一元二次方程的近似根,数形结合思想仍然是学生探究学习的重点,而计算器是学生本节课学习的必不可少的学习工具;小组的合作交流是学生解决重点、突破难点的重要方法;注重一题多解则是对所学知识的巩固、拓展和提高的展示形式.
下表是用计算器探索函数y=x2-2x-10所得的数值,则方程x2-2x-10=0的一个近似解为 ( )
x
-2.1
-2.2
-2.3
-2.4
y
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
A.x=-2.1 B.x=-2.2
C.x=-2.3 D.x=-2.4
【错解】 D
【错解分析】 当y=0时,自变量x的取值范围是-2.4
【正解分析】 当x=-2.3时,y=-0.11,当x=-2.4时,y=0.56,则方程的根满足-2.4
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