初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试精品教学设计

1.经历回顾与思考,建立本章的知识框架图.

2.利用计算器,发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系.

3.进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用.

1.体会数形之间的联系,逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题.

2.进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用,增强应用数学的意识.

1.在独立思考问题的基础上,积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,并尊重与理解他人的见解,在交流中获益.

2.认识到数学是解决现实问题的重要工具,提高学习数学的自信心.

【重点】　

1.建立本章的知识结构框架图.

2.应用三角函数解决现实生活中的问题,进一步理解三角函数的意义.

【难点】　应用三角函数解决相关的实际问题.

直角三角形的边角关系

一、锐角三角函数的意义

1.锐角三角函数的定义:

(1)正切:tan A=(tan A>0).

(2)正弦:sin A=(0<sin A<1).

(3)余弦:cos A=(0<cos A<1).

2.锐角三角函数之间的关系:

(1)tan A·tan B=1(∠A+∠B=90°).

(2)sin2A+cos2A=1.

(3)sin A=cos(90°-A).

(4)tan A=.

3.锐角三角函数的增减性:

(1)正切值随角度的增大而增大.

(2)正弦值随角度的增大而增大.

(3)余弦值随角度的增大而减小.

二、锐角三角函数的计算

(1)特殊角的三角函数值:

 (2)利用计算器求三角函数值或求角度.

三、解直角三角形

(1)已知两条边,解直角三角形.

(2)已知一条边和一个锐角,解直角三角形.

(3)构造法:通过作垂线构造出直角三角形.

四、利用三角函数解决实际问题

(1)航海(触礁)问题、坡度问题、仰角和俯角问题等.

(2)测量高度问题、方向角问题、方案设计问题等.

专题一　锐角三角函数的定义

【专题分析】

锐角三角函数是三角学的基础内容,掌握锐角三角函数的有关概念及性质是学习解直角三角形的关键.锐角三角函数的定义是有别于其他数学定义的,需要借助于直角三角形,且与图形的大小无关.

　如图所示,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是AB边的中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.

〔解析〕　先根据CD是AB边的中线,CD=5求出AB及AD的长,进而可得出△ADC是等腰三角形,故∠A=∠ACD,再根据勾股定理求出AC的长,由锐角三角函数的定义求解即可.

解:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是AB边的中线,CD=5,

∴AD=5,AB=2CD=10,

∴△ADC是等腰三角形,∴∠A=∠ACD.

∵在Rt△ABC中,BC=8,AB=10,

∴AC===6,

∴sin∠ACD=sin A===.

cos∠ACD=cos A===.

tan∠ACD=tan A===.

【针对训练1】　如图所示,∠ACB=90°,DE⊥AB,垂足为点E,AB=10,BC=6,求∠BDE的三个三角函数值.

〔解析〕　由题意得∠C=∠BED=90°,∠B=∠B,∴△ACB∽△DEB,则∠BDE=∠A,就可以转化为求∠A的三角函数值.

解:由题意知△ACB∽△DEB,

∴∠BDE=∠A,

∴sin∠BDE=sin A=,

cos∠BDE=cos A=,

tan∠BDE=tan A=.

　如图所示,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点(每个小正方形的边长为1),则cos∠ABC等于 (　　)

A.  B.

C. D.

〔解析〕　由题意可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边长分别为2,4,∴斜边长为=2,∴cos∠ABC==.故选B.

【针对训练2】　如图所示,△ABC的各个顶点都在正方形网格的格点上(每个小正方形的边长为1),则sin A的值为              (　　)

A.  B.

C. D.

〔解析〕　如图所示,延长AC交网格于点E,连接BE,∵AE=2,BE=,AB=5,∴AE2+BE2=AB2,∴△ABE是直角三角形,∴sin A==.故选A.

专题二　锐角三角函数之间的关系

【专题分析】

锐角三角函数之间的关系,是三角函数计算的基础,在中考中单独考查较少,主要应用于解直角三角形的计算之中,常与勾股定理综合考查.

　(汕尾中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,则cos B的值是 (　　)

A. B. 

C. D.

〔解析〕　在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴cos B=sin A.∵sin A=,∴cos B=.故选B.

【针对训练3】　在△ABC中,∠C=90°,tan A=,则sin A等于 (　　)

A. B. C. D.

〔解析〕　∵tan A==,∴设a=4k,b=3k,由勾股定理得c=5k,∴sin A==.故选B.

[规律方法]　(1)同角三角函数之间的关系:①平方关系:sin2α+cos2α=1;②相除关系:tan α=.(2)互余两角三角函数之间的关系:sin α=cos (90°-α),cos α=sin (90°-α),tan α=.

专题三　特殊角的三角函数值

【专题分析】　

特殊角的三角函数值一般指30°,45°,60°角的正切、正弦、余弦值.这些角度的三角函数值是经常用到的.并且利用两角和与差的三角函数公式,可以求出一些其他角度的三角函数值.特殊角的三角函数值的运用是中考的重要考点,题型多样,选择、填空、解答题均有出现,常与实数运算综合考查.

　计算6tan230°-sin 60°-2sin 45°.

〔解析〕　分别把tan 30°=,sin 60°=,sin 45°=代入原式计算即可.

解:6tan230°-sin 60°-2sin 45°

=6×-×-2×

=-.

【针对训练4】　计算|-2|+-(3-2010)0-·tan 60°.

〔解析〕　本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.

解:原式=2+-1-×

=2+3-1-3

=1.

　在△ABC中,若+(1-tan B)2=0,则∠C的度数是 (　　)

A.45° B.60° C.75° D.105°

〔解析〕　在△ABC中,+(1-tan B)2=0,∴sin A=,tan B=1,∴∠A=60°,∠B=45°,∴∠C=180°-60°-45°=75°.故选C.

【针对训练5】　在△ABC中,若　+=0,则∠B=　　　　. 

〔解析〕　　+=0,∴sin A=,cos C=,∴∠A=45°,∠C=30°,∴∠B=105°.故填105°.

专题四　解直角三角形

【专题分析】　

在众多平面几何图形中,最基本的图形应该是三角形,而其中最特殊、最重要的三角形应该为直角三角形.因此直角三角形在初中数学中占有举足轻重的地位,解直角三角形的内容也受到越来越多的命题人的青睐,成为各地中考的必考内容、热点内容.转化法、构造法是解直角三角形的重要方法.

　(杭州中考)在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC等于 (　　)

A.3sin 40° B.3sin 50°

C.3tan 40° D.3tan 50°

〔解析〕　∠B=90°-∠A=90°-40°=50°.又∵tan B=,∴AC=BC·tan B=3tan 50°.故选D.

【针对训练6】　(新疆中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=37°,BC=32,则AC≈　　　　.(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) 

〔解析〕　在Rt△ABC中,∠C=90°,tan B=,即tan 37°=,所以AC=32·tan 37°≈32×0.75=24.故填24.

　(柳州中考)如图所示,在△ABC中,BD⊥AC,AB=6,AC=5,∠A=30°.

(1)求BD和AD的长;

(2)求tan C的值.

〔解析〕　(1)由BD⊥AC得到∠ADB=90°,在Rt△ADB中,根据含30度角的直角三角形三边的关系先得到BD=AB=3,再得到AD=BD=3.(2)先计算出CD=2,然后在Rt△BCD中,利用正切的定义求解.

解:(1)∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°.

在Rt△ADB中,AB=6,∠A=30°,

∴BD=AB=3,

∴AD=BD=3.

(2)CD=AC-AD=5-3=2.

在Rt△BCD中,tan C===.

【针对训练7】　如图(1)所示,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,求AB的长.

〔解析〕　如图(2)所示,过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案.

解:如图(2)所示,过C作CD⊥AB于D,

∴∠ADC=∠BDC=90°.

∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,

∴CD=BD.

∵∠A=30°,AC=2,

∴CD=,∴BD=CD=,

由勾股定理,得AD==3,

∴AB=AD+BD=3+.

专题五　三角函数的实际应用

【专题分析】　

锐角三角函数的知识有着广泛的应用,在解决实际问题中也有着广泛的应用.锐角三角函数的应用是解直角三角形的延续,重点解决坡度(坡比)、仰角、俯角、方向角以及测量物体的高度等问题,其中渗透着数形结合思想、方程思想、转化思想.是中考的重要考点,题型灵活多变.

　(巴中中考)如图所示,某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度,在大厦前的平地上选择一点C,测得大厦顶端A的仰角为30°,再向大厦方向前进80 m,到达点D处(C,D,B三点在同一直线上),又测得大厦顶端A的仰角为45°,请你计算该大厦的高度.(精确到0.1 m,参考数据:≈1.414,≈1.732)

〔解析〕　先设AB=x m,根据题意分析图形:本题涉及两个直角三角形,即Rt△ACB和Rt△ADB,应利用其公共边BA构造等量关系,解三角形可求得DB,CB的值,再根据CD=BC-BD=80(m),进而可求出答案.

解:设AB=x m,在Rt△ACB和Rt△ADB中,

∵∠C=30°,∠ADB=45°,CD=80 m,

∴DB=x m,AC=2x m,BC==x(m).

∵CD=BC-BD=80(m),

∴x-x=80,∴x=40(+1)≈109.3.

答:该大厦的高度是109.3 m.

【针对训练8】　(莱芜中考)如图所示,一堤坝的坡角∠ABC=62°,坡面长度AB=25 m(图为横截面),为了使堤坝更加牢固,一施工队欲改变堤坝的坡面,使得坡面的坡角∠ADB=50°,则此时应将坝底向外拓宽多少米?(结果精确到0.01 m,参考数据:sin 62°≈0.88,cos 62°≈0.47,tan 50°≈1.19)

〔解析〕　过A点作AE⊥CD于E.在Rt△ABE中,根据三角函数可得AE,BE的长,在Rt△ADE中,根据三角函数可得DE的长,再根据DB=DE-BE即可求解.

解:如图所示,过A点作AE⊥CD于E.

在Rt△ABE中,∠ABE=62°,

∴AE=AB·sin 62°≈25×0.88=22(m),

BE=AB·cos 62°≈25×0.47=11.75(m).

在Rt△ADE中,∠ADB=50°,

∴DE=≈18.49(m),

∴DB=DE-BE≈6.74(m),

故此时应将坝底向外拓宽大约6.74 m.

　(哈尔滨中考)如图所示,AB,CD为两个建筑物,建筑物AB的高度为60 m,从建筑物AB的顶点A测得建筑物CD的顶点C的俯角∠EAC为30°,测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°.

(1)求两建筑物底部之间水平距离BD的长度;

(2)求建筑物CD的高度(结果保留根号).

〔解析〕　(1)根据题意得BD∥AE,从而得到∠BAD=∠ADB=45°,利用BD=AB=60 m,求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60 m.(2)延长AE,DC交于点F,根据题意得四边形ABDF为正方形,根据AF=BD=DF=60 m,在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF的长,然后即可求得CD的长.

解:(1)根据题意,得BD∥AE,∴∠ADB=∠EAD=45°.

∵∠ABD=90°,∴∠BAD=∠ADB=45°,

∴BD=AB=60 m,

∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60 m.

(2)如图所示,延长AE,DC交于点F,根据题意得四边形ABDF为正方形,

∴AF=BD=DF=60 m.

在Rt△AFC中,∠FAC=30°,

∴CF=AF·tan∠FAC=60×=20(m).

又∵FD=60 m,∴CD=60-20(m),

∴建筑物CD的高度为(60-20)m.

【针对训练9】　(淮安中考)为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护,需测量其长度.如图所示,在地面上选取一点C,测得∠ACB=45°,AC=24 m,∠BAC=66.5°,求这棵古杉树AB的高度.(结果取整数米,参考数据:≈1.41,sin 66.5°≈0.92,cos 66.5°≈0.40,tan 66.5°≈2.30)

〔解析〕　过B点作BD⊥AC于D.分别在Rt△ADB和Rt△CDB中,用BD表示出AD和CD,再根据AC=AD+CD=24 m,列出方程求解即可.

解:过B点作BD⊥AC于D.

∵∠ACB=45°,∠BAC=66.5°,

∴在Rt△ADB中,AD=,

在Rt△CDB中,CD=BD.

∵AC=AD+CD=24 m,

∴+BD=24,解得BD≈16.73 m,

∴AB=≈18 m.

故这棵古杉树AB的高度大约为18 m.