专题11 几何概型（客观题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题11 几何概型（客观题）（新高考地区专用）（解析版），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题11 几何概型（客观题）
一、单选题
1．如图所示，若在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内（图中阴影部分）的概率为

A． B．
C． D．
【试题来源】云南省德宏州2020届高三上学期期末教学质量检测（文）
【答案】D
【分析】求出阴影部分的面积，大正方形的面积即可得概率．
【解析】由已知大正方形的边长为，面积为，
小正方形边长为1，面积为，
所以所求概率为．故选D．
2．在等腰直角三角形中，角为直角．在内部任意作一条射线，与线段交于点，则的概率
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南师大附中2020届高三下学期6月月考（文）
【答案】C
【分析】求出满足时所扫过的角度，利用角度比可得概率．
【解析】当时，，，
所以所求概率为．故选C．
3．在区间内随机取一个数a，则关于x的方程无实根的概率是
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三上学期期末（文）
【答案】B
【分析】由已知条件，得，结合，求出的范围，根据几何概型的概率公式，取值范围区间长度除以长度，即可求解．
【解析】关于x的方程无实根，
得，
所以所求的概率为．故选B．
4．五铢钱是一种中国古铜币，奠定了中国硬通货铸币圆形方孔的传统，这种钱币外圆内方，象征着天地乾坤．如图是一枚西汉五铢钱币，其直径为2.5厘米．现向该钱币上随机投掷一点，若该点落在方孔内的概率为，则该五铢钱的穿宽(即方孔边长)为

A．0.8厘米 B．1厘米
C．1.1厘米 D．1.2厘米
【试题来源】广西桂林市广西师范大学附属2021届高三年级上学期数学第三次月考试题
【答案】B
【分析】设该五铢钱的穿宽为厘米，根据几何概型的概率公式列式可解得结果．
【解析】圆的半径为厘米，圆的面积为，
设该五铢钱的穿宽为厘米，则方孔面积为厘米，
根据几何概型可得，解得厘米．故选B．
5．在区间上随机地取一个实数，则方程有实数根的概率为
A． B．
C． D．
【试题来源】2020届广西壮族自治区高三第一次教学质量诊断性联合（理）
【答案】D
【分析】根据求出的取值范围，结合几何概型的概念，可得结果．
【解析】因为方程有实数根，所以，
解得或，故方程有实数根的概率
．故选D．
6．宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔人，而钱不湿”，由此诠释出了“熟能生巧”的道理．已知铜钱是直径为的圆，正中间有一边长为0．5cm的正方形小孔，现随机向铜钱上滴--滴油(油滴的大小忽略不计)，若油滴落入孔中的概率为，则

A．4 B．3
C．2 D．
【试题来源】百师联盟2021届高三开学摸底联考（文）全国卷III试题
【答案】A
【分析】分别计算钱的圆面面积和钱空正方形的面积，由几何概型概率公式求出一滴油滴落入孔中的概率．
【解析】圆的面积为 ，正方形的面积为，
则一滴油滴落入孔中的概率，得，故选A．
7．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省合肥六中2019-2020学年高三上学期第一次段考（文）
【答案】C
【解析】设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12），矩形的面积S=x（12-x）＞20，
所以x2-12x+20＜0，所以2＜x＜10，
由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率．
8．古埃及、古印度、古巴比伦和中国是四大文明古国之一，金字塔（如图1）作为古埃及劳动人民的智慧结晶，是历史留给当下的宝贵遗产著名的胡夫金字塔的俯视图如图2所示，该金字塔的高146．5米，底面正方形边长230米．若小明在距离金字塔底而中心230米的圆周．上任取一点（圆周上所有点被选取的概率相等），从该点处观察金字塔，则小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为

A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省宿迁中学2020-2021学年高三上学期期中巩固测试
【答案】A
【分析】根据题意，利用长度比的几何概型求得只能看到金字塔的一个侧面的概率，进而求得看到两个侧面的概率．
【解析】如图所示，中间正方形的边长为米，可得米，
其中在处的任意一点，只能看到金字塔的一个侧面，
又由圆的半径为米，其中米，
所以为等边三角形，即，
其中由四个这的区域，只能看到金字塔的一个侧面，
所以只能看到一个侧面的概率为，
所以小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为．故选A．

9．在区间上随机取一个实数，则方程有实数根的概率为
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第三次双基检测（文）
【答案】B
【分析】由可得或，然后根据几何概型的概率计算公式可得答案．
【解析】由，得，即或，
它与的公共元素为，所以，故选B．
10．已知、满足，则事件“”的概率为
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三第一次联考（文）
【答案】B
【分析】作出区域与区域，并计算出两个区域的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率．
【解析】区域是由、、、为四个顶点的正方形及其内部，
区域是以原点为圆心，半径为的圆及其内部，如下图所示：

区域是边长为的正方形及其内部，区域的面积为，
区域的面积为，因此，所求概率为．故选B．
11．如图，随机向大圆内投一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为

A． B．
C． D．
【试题来源】江西省鹰潭市2021届高三第二次模拟考（理）
【答案】C
【分析】设小圆的半径为，则大圆的半径为，计算出阴影部分区域的面积和大圆的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率．
【解析】设小圆的半径为，则大圆的半径为，
则空白区域可看作是边长为的正方形与半径为的四个半圆组合而成，
所以，空白区域的面积为，
所以，阴影部分区域的面积为，
因此，所求概率为．故选C．
12．在平面区域内随机取一点，在所取的点恰好满足的概率为
A． B．
C． D．
【试题来源】广西南宁三中2020届高三数学（理）考试二试题
【答案】C
【解析】由题意可知所取的点应在图中阴影部分．从而其概率为．故本题正确答案为C．

13．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是

A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省安康市2020届高三下学期第三次联考（理）
【答案】B
【分析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得，得解．
【解析】由图可知黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，
设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件，
由几何概型中的面积型可得，故选B．
14．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为

A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省四校2020-2021学年高三上学期适应性测试（文）
【答案】C
【分析】由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果．
【解析】设阴影部分的面积为S，结合几何概型公式可得，解得S＝3．故选C．
15．如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是

A． B．
C． D．
【试题来源】河南省名校联考2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】D
【分析】分别求出各自对应的面积即可求解结论．
【解析】因为大正方形的面积为；而小正方的面积为；
故在大正方形内随机取一点，大正方形内部有6个小正方形，此点取自图形中小正方形内的概率是．故选．
16．如图，边长为的正方形，射线从出发，绕着点B顺时针方向旋转至，点E为线段上的点，且，则在旋转的过程中，与线段有交点的概率为

A． B．
C． D．
【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（（理））联考试题
【答案】A
【分析】首先求出，再根据角度型几何概型概率公式计算可得；
【解析】，，
与线段有交点的概率为．故选A．
17．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图，为的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是

A． B．
C． D．
【试题来源】江西省南昌二中2020届高三高考数学（（理））校测试卷题（三）
【答案】D
【解析】设扇形的圆心角为，大扇形的半径长为，小扇形的半径长为，
则，，．
根据几何概型，可得此点取自扇面（扇环）部分的概率为
．故选D．
18．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”所谓“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．已知半径为的圆内接正二十四边形，现随机向圆内投放粒豆子，其中有粒豆子落在正二十四边形内，则圆周率的近似值为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省2020届高三（6月份）高考数学（（理））质检试题
【答案】C
【分析】本题首先可计算出正二十四边形的面积，然后计算出半径为的圆的面积，最后根据几何概型的概率计算公式即可得出结果．
【解析】因为正二十四边形的面积，半径为的圆的面积，所以，解得，故选C．
【名师点睛】本题考查几何概型的概率计算公式，能否求出正二十四边形的面积以及圆的面积是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题．
19．在正方形中，弧是以为直径的半圆，若在正方形中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为

A． B．
C． D．
【试题来源】四川省德阳市2020届高三高考数学（（文））三诊试题
【答案】D
【分析】设正方形的边长为，计算出阴影部分区域和正方形的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率．
【解析】设正方形的边长为，将图中阴影部分中的弓形区域沿着图中的虚线对称，如下图所示：

所以，阴影部分区域的面积为，正方形的面积为，
因此，所求概率为．故选D．
20．在区间[-2，2]上随机抽取一个数x，则事件“-1≤ln（x＋1）≤1”发生的概率为
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省红河州第一中学2021届高三年级（理）第一次联考试题
【答案】B
【分析】先解不等式，然后利用几何概型的长度类型求解．
【解析】由不等式，得，
所以事件“-1≤ln（x＋1）≤1”发生的概率为．故选B．
【名师点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题．
21．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是

A． B．
C． D．
【试题来源】山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研（文）
【答案】A
【分析】设大正方形的边长为2，求出阴影部分的面积后，由几何概型概率公式即可得解．
【解析】设大正方形的边长为2，则大正方形的面积，易知阴影部分图形为正方形，
因为直角三角形中较小的锐角，所以小正方形的边长为，
所以阴影部分的面积为，
故所求概率．故选A．
22．为了求得椭圆的面积，把该椭圆放入一个矩形当中，恰好与矩形相切，向矩形内随机投入共n个不同的点，其中在椭圆内的点恰好有个．若矩形的面积是2，则可以估计椭圆的面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】吉林省通化市梅河口五中2020届高三数学（（文））五模试题
【答案】B
【解析】依题意，根据几何概型的概率公式，所以椭圆的面积为，故选B．
23．刘徽是魏晋期间伟大的数学家，他是中国古典数学理论的奠基者之一．他全面证明了《九章算术》中的方法和公式，指出并纠正了其中的错误，更是擅长用代数方法解决几何问题．如下图在圆的直径上任取一点E，过点E的弦和垂直，则的长不超过半径的概率是

A． B．
C． D．
【试题来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三数学（（理））第三次质检试题
【答案】A
【分析】设圆的半径为1，由得的范围，从而确定点满足的条件，再由几何概型公式算出概率．
【解析】设圆的半径为1，则有，解得，
又在直径上，所以所求的概率为．故选A．
24．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的一个锐角为，且．若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为．

A． B．
C． D．
【试题来源】山西省运城市2021届高三上学期9月调研（理）
【答案】B
【分析】根据，可以求得，，求出小正方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率公式求解即可．
【解析】由可得，
即，即，且，所以，
所以直角三角形较大的锐角为，较小的锐角为，
如图，设小正方形的边长为，直角三角形较大的锐角为、较大的锐角为为，
较小的直角的边长，则直角三角形较大的直角边长为，

因为，所以，所以大正方形的边长为，
由几何概型概率公式可得，所求概率为．故选B．
【名师点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体的体积），最后根据公式计算即可．
25．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”其中“解”字的意思是用一个平面对某几何体进行切割．已知正方体，随机在线段上取一点，过该点作垂直于的平面，则平面“解”正方体所得的大、小两部分体积之比大于5的概率为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省2020-2021学年上学期高中毕业班阶段性测试（一）（文）
【答案】D
【分析】如图所示，由正方体的性质可知，垂直于平面和平面，设和分别是平面和平面与线段的交点， 当平面取平面或平面时，切割得到的大、小两部分体积之比恰好为5，即可得答案；
【解析】如图所示，由正方体的性质可知，垂直于平面和平面，
设和分别是平面和平面与线段的交点，
，
当平面取平面或平面时，切割得到的大、小两部分体积之比恰好为5，
要满足条件，应在线段或上取点，而，
所以所求的概率为．故选D．

【名师点睛】本题考查正方体截面的性质与几何概型的交会，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
26．“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是

A． B．
C． D．
【试题来源】江西省新余市第四中学2021届高三上学期第一次段考（理）
【答案】A
【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域(含边线)的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解析】观察这个图可知大正方形的边长为2，总面积为4，
由直角三角形中较小的锐角，可知直角三角两直角边长为1，，
所以阴影区域的边长为，面积为，
故飞镖落在阴影区域的概率为．故选A
【名师点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)﹔然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A）发生的概率；关键是得到两个正方形的边长．
27．已知，则命题，为假命题的概率
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
【试题来源】陕西省西安中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（理）
【答案】D
【分析】求出使命题，为假命题时的取值范围，再利用几何概型即可求解．
【解析】因为命题，为假命题，即，为真命题，①当时，原式显然成立；
②当时，对称轴大于0，只需，解得，
故当时，命题，为假命题．
故所求概率为．故选D．
28．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为

A． B．
C． D．
【试题来源】山西省太原五中2020届高三高考数学（理）二模试题
【答案】C
【分析】设黑色小圆的半径为，则黑色大圆的半径为，由题意求得，进一步求出黑色区域的面积，由测度比是面积比得答案．
【解析】设黑色小圆的半径为，则黑色大圆的半径为，由题意可知，，即．
图中黑色区域的面积为，又正方形的面积为64．
在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为．故选．
【名师点睛】本题考查几何概型的概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
29．如图，点在以为直径的圆上，且满足，圆内的弧线是以为圆心，为半径的圆的一部分．记三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ．在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为，，则

A． B．
C． D．
【试题来源】江西省南昌二中2020届高三（6月份）高考数学（（理））校测试题（一）
【答案】A
【分析】本题首先可以设出圆的半径，然后计算出区域Ⅰ的面积以及区域Ⅱ的面积，再然后计算出圆的面积并通过几何概型的概率计算公式即可得出结果．
【解析】设圆的半径为，则区域Ⅰ的面积为；
区域Ⅱ的面积1．
圆的面积为π×12＝π．所以．故选A．
【名师点睛】本题考查几何概型的相关性质以及平面图形的面积求法，考查数形结合思想，考查推理能力，考查几何概型的概率计算公式，是中档题．
30．魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：4．在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为

A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（理）
【答案】C
【分析】根据题意，可求出正方体的体积和正方体的内切球的体积，再由已知体积比即可求“牟合方盖”的体积，最后根据体积型几何概型的求法，即可求得正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率．
【解析】正方体的棱长为2，则其内切球的半径为1，
设正方体的体积为，正方体的内切球的体积为，“牟合方盖”的体积为，
正方体的体积为，正方体的内切球的体积为，
由题意得，则“牟合方盖”的体积为，
所以在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为
．故选C．
【名师点睛】本题考查数学文化及正方体内切球、球的体积公式的应用，以及体积型几何概型的求法，考查运算求解能力．
二、填空题
1．在区间中任取一个数x．则能使2，3，x是某个三角形三边长的概率是__________．
【试题来源】江苏省南通市如皋一中2020届高三下学期原创押题卷
【答案】．
【分析】根据构成三角形的条件列式，解得，再根据几何概型可得结果．
【解析】要使2，3，能构成一个三角形，则，即，
故其概率为．故答案为．
2．在区间内任取一个实数，则此数大于2的概率为__________．
【试题来源】陕西省西安市2020届高三下学期第二次质量检测（文）
【答案】
【分析】区间的长度为4，此区间内大于2的数所在区间长度为3，由几何概型概率公式可得概率．
【解析】根据几何概型可知，所求概率为．故答案为．
3．如图，已知正方形的边长为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为__________．

【试题来源】四川省内江市第六中学2020届高三强化训练（一）（文）
【答案】43
【分析】由于是向正方形内随机地撒200颗黄豆，其落在阴影外的概率是阴影外的面积与整个正方形的面积之比，从而可列式求得阴影部分的面积．
【解析】设阴影外部分的面积为，则由几何概型的概率公式得
，解得，可以估计出阴影部分的面积约为．
【名师点睛】本题主要考查了几何概型，以及利用几何意义求面积，属于基础题．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．本题利用几何概型求解．
4．如图所示，在中，，，在内过点任作一射线与相交于点，使得的概率为__________．

【试题来源】甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试（文）
【答案】
【解析】因为在中，，，所以，
所以的概率为，故答案为．
5．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05-20：50时间段通过班级群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过分钟的概率是__________．
【试题来源】百校联盟2020届高三5月教育教学质量监测考试（全国Ⅰ卷）（文）
【答案】
【分析】根据长度型几何概型概率计算公式，计算出所求概率．
【解析】由题意可知，该学生在19：00至20：30之间的加入群聊，其时间长度为分钟．该学生等待直播的时间不超过分钟，则应该在19：35至20：30分之间的任意时刻加入，区间长度为．由测度比为长度比，可知他等待直播的时间不超过分钟的概率是．故答案为．
6．勾股定理又称商高定理，三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的，如图，记，若，在正方形内随机取一点，则该点取自阴影正方形的概率为__________．

【试题来源】2020届云南师范大学附属中学高三上学期第三次月考（理）
【答案】
【分析】根据，得到的值，得到和的关系，然后得到大正方形的面积，和阴影小正方形的面积，根据几何概型的公式，求出答案．
【解析】因为，所以，
不妨设，，则，所以大正方形的面积为，
阴影小正方形的面积为，所以概率为．故答案为．
7．七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以活《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形､一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是__________．

【试题来源】云南省2020届高三适应性考试（理）（A卷）
【答案】
【分析】设大正方形边长为1，求出大正方形面积和阴影部分的面积，由概率公式计算可得．
【解析】设大正方形边长为1，大正方形面积为，
阴影部分是两个等腰直角三角形和一个正方形，由图可知阴影部分正方形的边长为，阴影部分大的等腰直角三角形的直角边长为，小的等腰直角三角形的直角边长为，
阴影部分的面积为，
所以所求概率为．故答案为．
8．在区间上随机取一个实数，则“”的概率为__________．
【试题来源】江苏省南京市秦淮中学2020届高三下学期最后一练
【答案】
【解析】满足“”的范围在“”上，由几何概型概率公式可得，在区间上随机取一个实数，则“”的概率为，故答案为．
9．点P是内部任意一点，则的面积小于面积一半的概率为__________．
【试题来源】新疆2020届高考数学（（文））二模试题
【答案】
【分析】根据的面积小于面积一半，则点P在中位线与底边和其他两边所围成的部分，然后求得面积，代入几何概型的概率公式求解．
【解析】如图所示：DE为三角形的中为线，

因为的面积小于面积一半，所以点P的区域是图中阴影部分，
由面积之比是相似比的平方得图中阴影部分是整个三角形面积的，
所以的面积小于面积一半的概率为．故答案为．
10．记函数的定义域为D，若在区间上随机取一个数x，则的概率为__________．
【试题来源】江苏省南通市2020届高三下学期高考考前模拟卷（五）
【答案】
【分析】先由题意求出函数的定义域，再由与长度有关的几何概型，即可求出结果．
【解析】由得，解得，
即函数的定义域为；
所以，在区间上随机取一个数x，则的概率为．
【名师点睛】本题主要考查求与长度有关的几何概型的概率，涉及求具体函数的定义域，以及一元二次不等式的解法，属于常考题型．
11．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请160名同学，每人随机写下开一个都小于4的正实数对；再统计两数能与4构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数来估计的值．假如统计结果是，那么据此估计的值为__________．
【试题来源】2020年普通高等学校招生伯乐马模拟考试（六）（理）
【答案】
【分析】根据题意，由分析实数对对应的平面区域，进而分析两数能与4构成钝角三角形三边的数对对应的区域面积，由几何概型公式分析可得．
【解析】两数都小于4的正实数对构成的区域是，区域面积为16，其中两数能与4构成钝角三角形三边的数对还需满足，区域面积为，故，即．故答案为．
12．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如上图．现在图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为__________．

【试题来源】辽宁省大连市普兰店市第三十八中学2020-2021学年高三上学期开学考试
【答案】
【分析】由归纳推理得设图（3）中1个小阴影三角形的面积为，则图（3）中阴影部分的面积为，又图（3）中大三角形的面积为，由几何概型的概率公式计算可得；
【解析】设图（3）中1个小阴影三角形的面积为，则图（3）中阴影部分的面积为，
又图（3）中大三角形的面积为，由几何概型中的面积型可得
此点取自阴影部分的概率为，故答案为．
13．如图，是圆O的直径，，假设向该圆随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为__________．

【试题来源】四川省凉山州2020届高三第三次诊断性检测（理）
【答案】
【分析】求出三角形ABC的面积和圆的面积根据几何概型公式求解．
【解析】如图，是圆O的直径，，设圆的半径为r，
所以，圆O的面积为，
所以向该圆随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．
14．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成．如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为__________．

【试题来源】四川省乐山市2020届高三第三次调查研究考试（理）
【答案】
【分析】设拼成的正方形的面积为1，计算出阴影部分的面积，再根据几何概型的概率公式计算可得；
【解析】设拼成的正方形的面积为1，
由图知，最大的三角形面积为，最小的三角形面积为，
平行四边形的面积是最小三角形面积的2倍，
由此可得阴影部分的面积为，则所求的概率为．
15．如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心，以边长的一半为半径在正方形内作圆弧得到的．现等可能地在该正方形内任取一点，则该点落在图中阴影部分的概率为__________．

【试题来源】2020届安徽省安庆市高三下学期第三次模拟（文）
【答案】
【分析】根据题意，设正方形的边长为，计算阴影部分的面积，与正方形面积作比，即为几何概型的概率．
【解析】设正方形的边长为，则空白部分的面积为，
因此所求概率为．故答案为．
16．已知直线与曲线，在曲线上随机取一点，则点到直线的距离不大于的概率为__________．
【试题来源】2020届河北省衡水中学高三卫冕联考（文）
【答案】
【分析】画出示意图，根据图形分析可知点在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型可求出．
【解析】作出示意图：

曲线是圆心为原点，半径为2的一个半圆．
圆心到直线的距离，
而点到直线的距离为，故若点到直线的距离不大于，
则点在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为．
17．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示)．其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为__________．

【试题来源】四川省眉山市仁寿一中南校区2020-2021学年高三上学期第二次调考数学（理）
【答案】
【分析】根据三角函数周期求得大圆直径，然后根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率．
【解析】依题意，大圆的直径为y＝3sinx的最小正周期，
所以大圆的面积S＝．又一个小圆的面积．
故所求事件的概率P＝＝．
18．若在不等式所表示的平面区域内随机投一点，则该点落在不等式组所表示的平面区域内的概率为__________．
【试题来源】四川省宜宾市叙州区第二中学2020-2021学年高三上学期阶段二考试（理）
【答案】
【分析】画出不等式和不等式组所表示的平面区域，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率．
【解析】不等式表示单位圆的圆上和圆内；不等式组等价于．画出不等式和不等式组所表示的平面区域如下图所示，
阴影部分为正方形，边长为，所以面积为．
所以所求的概率为．故答案为．

19．如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月形的一种，此图是以，，为直径的三个半圆组成，，点在弧上，若在整个图形中随机取一点，点取自阴影部分的概率是，则的最大值是__________．

【试题来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三6月复课线下考查（理）
【答案】
【分析】设两个小半圆的半径分别为，，大半圆半径为，根据几何概型公式结合均值不等式计算得到答案．
【解析】设两个小半圆的半径分别为，，大半圆半径为，则，
即，根据几何概型：
，
当时等号成立．故答案为．
20．在区间上随机取一个数k，则能够使直线与圆相交的概率为______．
【试题来源】河南省部分重点中学2020届高考质量监测（文）
【答案】
【分析】根据直线和圆的位置关系得到，根据几何概型公式计算得到答案．
【解析】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以，解得，故相交的概率．故答案为．
21．如图所示，是一正方形苗圃图案，中间黑色的大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机地取一点，则该点取自黑色区域的概率为__________．

【试题来源】山西省太原市第五中学2020届高三下学期6月月考（文）
【答案】
【分析】设黑色小圆的半径为，则黑色大圆的半径为，由题意求得，进一步求出黑色区域的面积，由测度比是面积比得答案．
【解析】设黑色小圆的半径为，正方形的边长为 8，
则黑色大圆的半径为，由题意可知，，即．
图中黑色区域的面积为，
又正方形的面积为64．在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为．故答案为．
22．如图是一种圆内接六边形，其中且．则在圆内随机取一点，则此点取自六边形内的概率是__________．

【试题来源】2020届广东省汕头市金山中学高三下学期第三次模拟（6月） （文）
【答案】
【分析】半径为，利用三角形面积公式得出六边形，最后由几何概型概率公式计算即可．
【解析】连接，显然，中点为的外接圆圆心，设半径为，
连接，由于，为直径，
则，，
该六边形的面积为
，
则此点取自六边形内的概率为，故答案为.
23．在区间上随机取一个数，则的概率为__________．
【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高三下学期4月月考
【答案】
【分析】利用余弦函数的性质和与长度有关的几何概型概率计算公式即可求解．
【解析】因为，，所以，
由与长度有关的几何概型概率计算公式可得，．
【名师点睛】本题考查余弦函数的性质和与长度有关的几何概型概率计算公式；考查运算求解能力；熟练掌握余弦函数的性质和几何概型概率计算公式是求解本题个关键；属于中档题．
24．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108°的黄金三角形组成，如图所示，在黄金三角形中，．根据这些信息，若在正五边形内任取一点，则该点取自正五边形内的概率是__________．

【试题来源】河南省2020届高三考前6月份适应性考试理数试题
【答案】
【分析】如图，过点作，垂足为，设，利用余弦定理及锐角三角函数求得，再根据多边形相似面积比等于相似比的平方，从而计算出几何概型的概率；
【解析】如图，过点作，垂足为，设，由题意可得，，则，
在中，，则，因为，所以，所以，记正五边形与的面积分别为和，因为正五边形与相似，所以，故所求概率.

25．已知P，E，F都在球面C上，且P在所在平面外，，，，，在球C内任取一点，则该点落在三棱锥P﹣EFG内的概率为__________．
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（二）（理）
【答案】
【分析】由题意画出图形，求出三棱锥外接球的半径，再分别求出三棱锥及其外接球的体积，由测度比为体积比得答案．
【解析】如图，在中，由已知可得，，

可得，设的外接圆的半径为r，由，可得，
再设的外心为，过作底面EGF的垂线，且使，
连接OE，则，OE为三棱锥的外接球的半径，
则；，
由测度比为体积比，可得在球C内任取一点，则该点落在三棱锥P﹣EFG内的概率为．故答案为．
26．在曲线上及其内部随机取一点，则该点取自圆上及其内部的概率为__________．
【试题来源】2020届山西省临汾市高三高考考前适应性训练（三）（理）
【答案】
【解析】由得．
①当时，，表示以为圆心，为半径的圆的一部分；
②当时，，表示以为圆心，为半径的圆的一部分；
③当时，，表示以为圆心，为半径的圆的一部分；
④当时，，表示以为圆心，为半径的圆的一部分；即由以上四部分组成；
在同一坐标系内画出与的图象如下：

由图象易得曲线表示的平面区域面积为，单位圆的面积为，
因此，所求的概率为．故答案为．