初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试优秀练习

第二十二章 二次函数综合检测试卷

(满分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是(　B　)

A．开口向下　 B．对称轴是y轴

C．都有最低点　 D．y随x的增大而减小

2．抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是(　B　)

A．直线x＝1　 B．直线x＝－1

C．直线x＝－2　 D．直线x＝2

3．一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、三象限，则二次函数y＝ax2＋bx的大致图象是(　B　)

4．抛物线y＝2x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是(　C　)

A．0　 B．1　

C．2　 D．3

5．当二次函数y＝(m＋1)x2－2x＋3有最大值时，实数m的取值范围为(　C　)

A．m≠－1　 B．m>－1

C．m<－1　 D．m≤－1

6．已知点A(a－2b,2－4ab)在抛物线y＝x2＋4x＋10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为(　D`　)

A．(－3,7)　 B．(－1,7)　

C．(－4,10)　 D．(0,10)

7．点P1(－1，y1)、P2(3，y2)、P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是(　D　)

A．y3＞y2＞y1　 B．y3＞y1＝y2

C．y1＞y2＞y3　 D．y1＝y2＞y3

8．如图为一座抛物线形的拱桥，AB、CD分别表示两个不同位置的水面宽度，O为拱桥顶部，水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，水面上升2.5米到达警戒水位CD位置时，水面宽为(　C　)

A．5米　 B．2米　

C．4米　 D．8米

9．如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1,3)，与x轴的交点A在点(－3,0)和(－2,0)之间．以下结论：

①b2－4ac＝0；　②a＋b＋c＞0；　③2a－b＝0；　④c－a＝3.

其中正确的有(　B　)

A．1个　 B．2个　

C．3个　 D．4个

10．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，已知⊙O的半径为5，则抛物线y＝－x2＋与该圆所围成的阴影部分(不包括边界)的整点个数是(　D　)

A．24　 B．23　

C．22　 D．21

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．二次函数y＝x2＋4x－3的最小值是__－7__.

12．已知抛物线y＝ax2－3x＋c(a≠0)经过点(－2,4)，则4a＋c－1＝__－3__.

13．将抛物线y＝(x－3)2＋1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__y＝(x－2)2＋3__.

14．抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)两点，则这条抛物线的解析式为__y＝x2－2x－3__.

15．对于2≤x≤5范围内的每一个值，不等式ax2＋2ax＋7a－3＞0总成立，则a的取值范围是__a>__.

16．已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0)．若2＜m＜3，则a的取值范围是__＜a＜或－3＜a＜－2__.

三、解答题(共72分)

17．(5分)已知二次函数y＝－0.5x2＋4x－3.5.

(1)用配方法把该函数解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；

(2)求函数图象与x轴的交点坐标．

解：(1)y＝－0.5x2＋4x－3.5＝－0.5(x－4)2＋4.5，对称轴是直线x＝4，顶点坐标为(4,4.5)．

(2)令－0.5x2＋4x－3.5＝0，解得x1＝7，x2＝1，∴函数图象与x轴的交点坐标是(7,0)，(1,0)．

18．(6分)已知函数y＝(a＋1)xa2＋1＋(a－2)x(a为常数)，按下列要求求a的值：

(1)函数为二次函数；

(2)函数为一次函数．

解：(1)当函数y＝(a＋1)xa2＋1＋(a－2)x(a为常数)为二次函数，则有解得a＝1.

(2)当时，函数为一次函数，解得a＝0；当即a＝－1时，函数也为一次函数．综上所述，当函数为一次函数时，a＝0或－1.

19．(8分)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB、BC两边)，设AB＝x m.

(1)若花园的面积为192 m2，求x的值；

(2)若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．

解：(1)∵AB＝x m，则BC＝(28－x)m，∴x(28－x)＝192，解得x1＝12，x2＝16.

(2)由题意，得S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196.∵在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15 m和6 m，∴x≥6且28－x≥15，即6≤x≤13，∴当x＝13时，S取得最大值，为S＝－(13－14)2＋196＝195 (m2)．

20．(8分)在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y＝x2＋(k－5)x－(k＋4) 的图象交 x轴于点A(x1,0)、B(x2,0)，且(x1＋1)(x2＋1)＝－8.

(1)求二次函数的解析式；

(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位长度，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积．

解：(1)由题意，得x1、x2是方程x2＋(k－5)x－(k＋4)＝0的两根，∴又∵(x1＋1)(x2＋1)＝－8，∴x1x2＋(x1＋x2)＋9＝0，即－(k＋4)－(k－5)＋9＝0，∴k＝5，∴y＝x2－9.

(2)平移后的函数解析式为y＝(x－2)2－9，∴P(2，－9)．当x＝0时，y＝－5，∴C(0，－5)，∴S△POC＝×5×2＝5.

21．(8分)在一次羽毛球比赛中，甲运动员在离地面米的点P处发球，球的运动轨迹PAN可看作是一条抛物线的一部分，当球运动到最高点A处时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为原点建立平面直角坐标系．回答下列问题：

(1)求抛物线的解析式；(不要求写出自变量的取值范围)

(2)羽毛球场地底线距离球网BC的水平距离为6米，此次发球是否会出界？

(3)乙运动员在球场上M(m,0)处接球，乙原地起跳可接球的最大高度为2.5米，若乙因接球高度不够而失球，求m的取值范围．

解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋3，则有＝a(0－5)2＋3，解得a＝－.∴抛物线的解析式为y＝－(x－5)2＋3.

(2)当y＝0时，－(x－5)2＋3＝0，解得x1＝－(舍去)，x2＝，即ON＝米．∵OC＝6米，∴CN＝－6＝(米)＞6米，∴此次发球会出界．

(3)若乙刚好可接球，则有2.5＝－(m－5)2＋3，解得m1＝5＋，m2＝5－(舍去)．又∵m＞6，∴6＜m＜5＋.∴乙因接球高度不够而失球，则m的取值范围是6＜m＜5＋.

22．(8分)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A、B、C、D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：

(1)求y1关于x的函数解析式；

(2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用y2＝ x2－11x＋78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．

解：(1)设y1＝kx＋b.将(8,18)，(9,20)代入，得解得故y1关于x的函数解析式为y1＝2x＋2.

(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y＝y1＋y2＝2x＋2＋x2－11x＋78＝x2－9x＋80＝(x－9)2＋39.5，∴当x＝9时，y有最小值，ymin＝39.5.故李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．

23．(8分)某网店销售一种商品，其成本为每件30元．根据市场调查，当每件商品的售价为x元(x＞30)时，每周的销售量y(件)满足关系式：y＝－10x＋600.

(1)若每周的利润W为2000元，且让消费者得到最大的实惠，则售价应定为每件多少元？

(2)当35≤x≤52时，求每周获得利润W的取值范围．

解：(1)设售价应定为每件x元，则每件获利(x－30)元．由题意，得(x－30)(－10x＋600)＝2000.化简，得x2－90x＋2000＝0，解得x1＝40，x2＝50.因为要使顾客得到实惠，所以售价取x＝40.故售价应定为每件40元.

(2)∵W＝(x－30)(－10x＋600)＝－10x2＋900x－18 000＝－10(x－45)2＋2250，∴当x＝45时，W取得最大值，为2250.∵35≤x≤52，∴当x＝35时，W取得最小值，为1250.故当35≤x≤52时，每月销售新产品的利润W的取值范围为1250≤W≤2250.

24．(9分)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．

(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

(2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图象经过点A(1,1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的解析式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．

解：(1)答案不唯一，如y＝2(x－3)2＋4与y＝3(x－3)2＋4.

(2)∵y1的图象经过点A(1,1)，∴2×12－4m×1＋2m2＋1＝1，解得m1＝m2＝1，∴y1＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1，∴y1＋y2＝2x2－4x＋3＋ax2＋bx＋5＝(a＋2)x2＋(b－4)x＋8.∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，∴a＋2＞0，即a＞－2，且解得∴函数y2的解析式为y2＝5x2－10x＋5＝5(x－1)2，∴函数y2的图象的开口向上，对称轴为直线x＝1.当0≤x≤3时，y2在x＝3处取得最大值，为5×(3－1)2＝20.

25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(0,4)、B(1,0)、C(5,0)，其对称轴与x轴相交于点M.

(1)求抛物线的解析式和对称轴；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)．把(0,4)代入上式，得a＝，∴y＝(x－1)(x－5)＝x2－x＋4＝(x－3)2－，∴抛物线的对称轴是直线x＝3.　(2)存在．∵点A(0,4)，抛物线的对称轴是直线x＝3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6,4)．如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y＝kx＋b.把(6,4)，(1,0)代入，得解得∴y＝x－.当x＝3时，y＝×3－＝，∴P.

图1　　　　　　　　　　图2

(3)存在．设N(0＜t＜5)．如图2，过点N作NG∥y轴交AC于点G、交BC于点F，作AD⊥NG于点D．由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为y＝－x＋4，则G，此时NG＝－t＋4－＝－t2＋4t.∵AD＋CF＝CO＝5，∴S△ACN＝S△ANG＋S△CGN＝AD×NG＋NG×CF＝NG×OC＝××5＝－2t2＋10t＝－22＋，∴当t＝时，△ACN的面积最大，为.由t＝，得y＝t2－t＋4＝－3，∴N.