专题07 函数与方程（客观题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题07 函数与方程（客观题）（新高考地区专用）（解析版），共52页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

专题07 函数与方程（客观题）
一、单选题
1．已知函数的零点位于区间，上，则
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高三上学期二模（文）
【答案】D
【解析】易知函数单调递减，因为，，
由零点存在定理可知，函数的零点在区间内，则．
所以．故选D．
2．已知函数恰有个零点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省保定市2021届高三上学期10月摸底考试
【答案】A
【解析】由题意，函数，的图象如图：

方程的解为，方程的解为或；
①当时，函数恰有两个零点，3；
②当时，函数有2个零点，5；
则实数m的取值范围是．故选A．
3．若函数的两个零点分别在区间和区间内，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】宁夏固原市五原中学补习部2021届高三上学期期中考试（理）
【答案】C
【解析】函数的两个零点，根据题意有，
，解得，故选C．
4．已知函数，且关于的方程有两个实根，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】山西省太原五中2021届高三上学期9月段考（理）
【答案】A
【解析】当时，，当时，．
所以由图象可知当要使方程有两个实根，
即函数与直线有两个交点，所以，由图象可知，故选A．

5．已知函数，且关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市第三十一中学2021届高三上学期数学期中试题
【答案】B
【解析】若要使方程即有且只有一个实数根，
则函数的图象与直线有且仅有一个交点，
在同一坐标系中作出函数及的图象，如图，

数形结合可得，若函数的图象与直线有且仅有一个交点，
则，所以实数的取值范围为．故选B．
【名师点睛】解决函数零点(方程有根)的问题常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
6．函数，直线：，若直线与函数的图象有且仅有三个交点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】百师联盟2021届一轮复习（二） 全国卷III理数试题
【答案】A
【解析】易知直线：是过定点斜率为的直线；，画出其图象，

其中，结合图形易知直线与函数的图象有且仅有三个交点时，必有，且直线分别经过点和点为两个临界状态，且．易得，而与曲线相切于点．设（），则有，解得，所以，故选A．
7．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省万载县第二中学2021届高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】B
【分析】求出函数的导数，解方程即可得解．
【解析】若是方程的解，则是“巧值点”，
选项A，，令，得无解．
选项B，，令，由图象知有一个根，
选项C，，令，即无解，
选项D，，令，即无解，故选B.
8．已知函数若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期中练习
【答案】D
【解析】设，则，的图象上存在两个点关于原点对称，
则在上有解，即在上有解，
由在上的值域为，则实数的取值范围是．故选D．
9．对于函数与，若存在，使，则称，是函数与图象的一对“隐对称点”．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省汕头市金山中学2021届高三上学期期中
【答案】A
【解析】由题意函数与的图象有两个交点，
令，则，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又恒过点，当时，，
在同一坐标系中作出函数、的图象，如图，

由图象可知，若函数与的图象有两个交点，则，
当直线为函数图象的切线时，由可得，
即．故选A．
10．设，又是一个常数，已知或时，只有一个实根，当时，有三个相异实根，给出下列命题：
①和有一个相同的实根；
②和有一个相同的实根；
③的任一实根大于的任一实根；
④的任一实根小于的任一实根．
其中正确命题的个数为
A．3 B．2
C．1 D．0
【试题来源】广东省汕头市金山中学四校2021届高三上学期10月联考
【答案】A
【解析】根据三次函数，满足对是一个常数，当或时，只有一个实根，当时，有三个相异实根这样的条件，满足画出函数的模拟图象如图：

，当时，只有一个实数根；
当时，有三个相异实根，故函数即有极大值，又有极小值，且极小值为0，极大值为4，
故 与有一个相同的实数根，即极大值点，故（1）正确．
与 有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；
有一实根且函数最小的零点，
有3个实根均大于函数的最小零点，故（3）错误；
有一实根且小于函数最小零点，
有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）正确；
所以A选项正确．
【名师点睛】三次函数图象时，要关注三次函数的极值点个数，三次函数的三次项系数为正，如果有两个极值点，那么函数为先再减最后增，满足对是一个常数，当或时，只有一个实根，当时，有三个相异实根这样的条件，说明有极小值为0，极大值为4，据此可画出函数的模拟图象，数形结合，逐一验证．
11．已知偶函数满足，且当时，有，则方程的解的个数为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省中山纪念中学2021届高三上学期10月月考
【答案】D
【解析】偶函数满足，
，则，故是周期为2的周期函数，
画出的函数图象，则的解的个数等价于与的交点个数，

可知每个周期内与有2个交点，则在区间内共有2020个交点，且与在和处相交，
所以与共有2022个交点，即方程有2022个解．故选D．
12．已知函数，则函数在上的所有零点的和为
A．6 B．8
C． D．
【试题来源】广东省2021届高三上学期10月联考
【答案】B
【解析】令，得，函数的零点就是函数与函数图象交点的横坐标．又函数的图象关于点对称，函数的周期为2，其图象也关于点对称，画出两函数图象如图：

共有8个交点，这8个点两两关于点对称，故其横坐标的和为8．故选B．
13．已知函数是定义在上的偶函数：对，有，且当时，．若方程在上至少有三个解，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省德宏州、迪庆州2018届高三上学期期末教学质量检测（文）
【答案】B
【解析】由于函数是定义在上的偶函数，且对，有，
令可得，解得，，
所以，函数是以为周期的偶函数，当时，，作出函数和在区间上的图象如下图所示：

由图象可知，当函数的图象过点时，函数与的图象恰有两个交点，从而方程在恰有两个解，
此时，，可得，所以，，
因此，当时，方程在至少有三个解．故选B．
14．若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】海南、山东等新高考地区2021届高三上学期期中备考金卷数学（A卷）试题
【答案】B
【解析】显然，不是函数的零点，令，得，
构造函数，，则，
令得到，令得到且，
即函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；
所以函数有极小值；画出函数的图象，如图所示，

由图象可知，当时，直线与的图象不可能有两个交点，
当，只需，的图象与直线即有两个不同的交点，
即函数恰有两个不同的零点，所以的取值范围为．故选B．
15．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期统练2
【答案】A
【解析】设，可得，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值为，
由方程可化为，
解得或，画出函数的图象，如图所示，
要使得关于的方程有5个不同的实数根，
则满足，解得，即实数的取值范围是．故选A．

16．已知函数，若有四个不同的解，，，且，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（理）
【答案】B
【解析】由题意，当时，；当时，；当时，．作出函数的图象，如下图所示，

易知与直线有四个交点，分别为，，，，
因为有四个不同的解，，，且，
所以，且，，
又，，
所以，即，则．
所以，且，
构造函数，且，
可知在上单调递减，且，，
所以，即．
所以的取值范围为．故选B．
17．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（理）
【答案】D
【解析】函数满足，图象的对称轴为，
为奇函数，，函数图象的对称中心为点，
故，为周期为的函数，
令，则，设，
则函数在区间上所有零点之和可转化为函数与在区间上的交点横坐标之和，
函数的图象关于点对称，当时，，
在同一直角坐标系中作出函数与在区间上的图象，如图，

数形结合可得函数图象共有个交点，即有4个零点，
由对称性可得其和为．故选D．
18．已知函数有两个零点，则的取值范围
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（文）
【答案】D
【解析】的定义域为，，
当时，，函数在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意；当时，由得，由得，
所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值，因为趋近于时，趋近于负无穷大，趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，所以要使有两个零点，只需，因为，所以，所以．故选D．
19．设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程至少有个不同的实数根，至多有个不同的实数根，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】山西省大同市大同一中2021届高三上学期期中质量检测（文）
【答案】A
【解析】对任意，都有，则函数是周期为的周期函数，
当时，，
作出函数和函数在区间上的图象如下图所示：
由于在区间内关于的方程至少有个不同的实数根，至多有个不同的实数根，则，解得．
因此，实数的取值范围是．故选A．

20．已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省安庆市怀宁中学2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】D
【解析】设，则，因为函数是定义在上的奇函数，且时，，所以，
当时，函数，
令，即，解得或；
当时，函数，
令，即，解得，
综上可得，函数的零点的集合为．故选D．
21．已知函数，关于x的方程有以下结论：①存在实数m，使方程有2个解；②当方程有3个解时，这3个解的和为0；③不存在实数m，使方程有4个解；④当方程有5个解时，实数m的取值范围是．其中正确结论的个数为
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】江西省赣州市十五县（市）十六校2021届高三上学期期中联考（理）
【答案】C
【解析】由题意，，
解得或，则方程解的个数即为函数的图象与直线和的交点总数，作出函数的图象，如图，

由的图象可知，有两个非零解，由得至少有一个解0，故①错；当方程有3个解时，或或，由函数的对称性可得这3个解的和为0，故②对；不存在实数m，使方程有4个解，故③对；
当方程有5个解时，则函数的图象与直线和共有五个交点，
所以直线与函数的图象有三个交点，
数形结合可得，解得，故④对．
故正确结论有3个．故选C．
22．已知函数 给出下列三个结论：① 当时，函数的单调递减区间为；② 若函数无最小值，则的取值范围为；③ 若且，则，使得函数恰有3个零点，，，且． 其中，所有正确结论的个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
【试题来源】北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】C
【解析】①当时，，画出函数的图象，如下图，

由图象可知当时，函数单调递减，当时函数单调递减，但函数在时，函数并不单调递减，故①不正确；
②当时，时，函数单调递增，并且当时，，所以函数没有最小值；当时，，，函数的最小值是0；
当时，时，函数单调递减，函数的最小值是1，当时，，的最小值是0，综上可知函数的最小值是0，

综上，若函数没有最小值，只需满足，故②正确；
对于③，令，当时，，当时，，
不妨设，，，，
则，令，可得，
当时，，则三个零点，
当时，，则三个零点．综上可知③正确；故选C
23．已知函数，若函数有两个零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省鄂州高中2020-2021学年高三上学期10月质量检测
【答案】D
【解析】由函数与的图象关于直线对称，
可得的图象如图所示，

所以当时，直线与函数的图象有两个交点．故选D．
24．已知函数，则使得成立的的个数为
A．4 B．3
C．2 D．1
【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（文）
【答案】B
【解析】令，则的零点，转化为，
而，由，解得，由，解得，
所以，即时，，得，时，，得，
，即时，，得无解，时，，得，
所以有3个零点．故选B．
25．已知函数，则使得成立的的个数为
A．4 B．3
C．2 D．1
【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（理）
【答案】B
【解析】令，则的零点，转化为，
而，由，解得（正值舍），
由，解得，所以，即时，，得（正值舍），时，，得，
，即时，，得无解，时，，得，
所以有3个零点．故选B．
26．函数f（x）＝的零点个数是
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】甘肃省武威第一中学2020-2021学年高三上学期第二阶段考试（理）
【答案】C
【解析】对于函数的零点个数
转化为方程的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图．
由图象可得两个函数有两个交点．又一次函数的根的个数是1．
故函数的零点个数为3故选．

27．设是定义在上的偶函数，且，当时，，若关于的方程在区间内恰有5个不同的实数根，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）
【答案】C
【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，
又，所以，所以的周期为，
若关于的方程在区间内恰有5个不同的实数根，则函数与函数的图象在区间内恰有个不同的交点，作出两个函数在区间内的图象如图：

由图可知，，即，解得．故选C
28．和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则不可能是．
A． B．
C． D．
【试题来源】中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT2021届高三诊断性测试 （文）（一）
【答案】C
【分析】由已知得到，与是等价的，即判断四个选项都分别等于是否有解可得答案．
【解析】因为，所以，得，
得，所以与是等价的，
即有解也有解，也就是说有解的都是有可能的，
A． 当时，成立；B． 当时，结合图象有解；

C． 当时，即，当时，得，舍去；
当时，无解，故方程无解，C错误；D．当 时，得有解．故选C．
29．已知关于的方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】“皖赣联考”2021届高三第一学期第三次考试 （文）
【答案】B
【解析】问题等价于有三个不等的实根，令，，
当时，，当时，，
当时，，所以在和上为增函数，在上为减函数，又，且极小值为，的图象如图所示：

因此与的图象有三个不同的交点时，．故选B．
30．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省南阳市2020-2021学年高三期中质量评估（文）
【答案】A
【解析】由题意得有两个零点， ，
令 ， 则且，
所以，在上为增函数，可得，
当，在上单调递减，
可得，即要有两个零点有两个零点，实数的取值范围是．
故选A．
31．已知函数有两个零点，则实数取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省万载县第二中学2021届高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】C
【解析】令．
即有两个实数根，设，
即的图象与有两个交点．
则，令单调递减．
又，当时，，则，单调递增；
当时，，则，单调递减．．
又当时，，当时，，，故选C．
32．设，，是自然对数的底数，下列选项正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【试题来源】宁夏石嘴山市第一中学2021届高三上学期第三次月考（期中）
【答案】A
【解析】因为，，所以，
令，则，
所以在上单调递增，因而成立，所以A正确，B错误，
对于C，D，当时，，令，则，则，得，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
因为，
所以方程有两个不等的实根，且一根大于1，一根大于0小于1，所以无法判断大小，所以C，D错误，故选A
33．已知在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意，；③当时，；④函数，，若过点的直线与函数的图象在上恰有8个交点，在直线斜率的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省衡水中学2021届高三上学期期中（理）
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数，由得，即，所以函数是周期为的周期函数；若，则；因为当时，，
所以时，，因为函数是偶函数，所以，
即，，则函数在一个周期上的表达式为，因为，，
所以函数，，故的周期为，其图象可由的图象压缩为原来的得到，作出的图象如图：

易知过的直线斜率存在，设过点的直线的方程为，
则要使直线与的图象在上恰有8个交点，则，
因为，所以，故．故选A．
34．已知函数，若，，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省眉山市仁寿一中南校区2021届高三上学期第二次调考数学（理）
【答案】B
【解析】设，根据图象有两个交点，，

，即，则，
在上单调递减，
当时，；当时，；所以．故选B．
35．已知关于的方程在有四个不同的实数解，则非零实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省江淮十校2020-2021学年高三上学期第二次质量检测（文）
【答案】D
【解析】当时，方程可化为，显然不成立；
令，其在内图象如下：
由图象可得，当时，有四个根；

当时，有两个根；当时，没有根；
当时，有三个根；原方程可化为，即，
记，当时，是开口向下，对称轴为的二次函数，因为，为使原方程有四个不同的实根，需要函数在上有一个零点，因此只需，即，显然与矛盾，舍去；当时，是开口向上，对称轴为的二次函数，因为，，则存在，使得有四个根，为使原方程有四个不同的实根，则只需，解得，
所以．综上，非零实数的取值范围为．故选D．
二、多选题
1．已知函数，若函数恰有个零点，则实数可以是
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省尚义县第一中学2021届高三上学期期中
【答案】ABC
【解析】令，则，在同一直角坐标系中作出与的图象，因为函数恰有个零点，所以只需与有两个交点．由图可知，为使与有两个交点，只需或即可，
故当时，两函数均有两个交点，即ABC正确；当时，两函数有三个交点，不满足题意，故D错；故选ABC．

2．已知函数，则下列区间中含零点的是
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市南开中学2021届高三上学期第一次质量检测
【答案】AD
【解析】，，
，，，
根据零点的存在性定理可知和存在零点．故选AD．
3．若函数的图象在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是
A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
【试题来源】江苏省淮安市高中校协作体2020-2021学年高三上学期期中
【答案】ABD
【解析】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．故选．
4．设函数，若实数，，满足，且则下列结论恒成立的是
A． B．
C． D．
【试题来源】扬州市高邮市第一中学2020-2021学年高三上学期10月第二次学情检测
【答案】ABC
【解析】由题意，实数，，满足，且，
结合图象，可得，即，且，
可得和恒成立，即A、B恒成立；
又由，所以，所以C恒成立；
又由，当时，的符号不能确定，
所以D不恒成立，故选ABC．

5．已知定义在R上的奇函数满足以下条件：①，②在区间内单调递增，③，则以下判断正确的是
A．是周期函数，最小正周期是8 B．的图象关于直线对称
C．在区间上有9个零点 D．当时
【试题来源】广东省湛江市第二十一中学2021届高三上学期9月月考
【答案】AB
【解析】由知函数关于直线对称，B正确．
定义在R上的奇函数有，有对称中心，且．
由于满足
，
所以是周期为的周期函数，A正确．
画函数大致图象如下图所示，由图可知在区间零点有7个，C错；当时，D错．故选AB

6．记函数的零点为，则关于的结论正确的为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省东莞市翰林实验学校2021届高三上学期期中
【答案】BC
【解析】由于函数在上单调递增，且，，，由于是函数的零点，则，即，，即，则，
故A、D选项错误，B、C选项正确．故选BC．
7．已知函数，且实数，，满足．若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省深圳高级中学2021届高三上学期10月月考
【答案】ABC
【解析】由题意，函数，可知函数在区间上单调递增，因为实数满足，
则可能或，
又由实数是函数的一个零点，即，综上可得，只有成立，
结合选项，可得不等式中可能成立的是，和．故选ABC．
8．若函数存在零点个数可能为
A．0 B．1
C．2 D．3
【试题来源】福建省莆田第七中学2021届高三上学期第一次月考
【答案】ABC
【解析】函数的零点个数可看作函数与图象交点的个数，作出图象如下，所以存在零点个数可能为0个，1个，2个，故答案为ABC．

9．设函数若函数有三个零点，则实数可取的值可能是
A．0 B．
C． D．1
【试题来源】山东省实验中学2020-2021学年高三第一次诊断考试（10月）
【答案】BCD
【解析】函数有三个零点等价于与有三个不同的交点
当时，，则
所以在上单调递减，在上单调递增
且，，，从而可得图象如下图所示：

通过图象可知，若与有三个不同的交点，则，故选BCD．
10．已知函数，若方程有6个不等实根，则实数的可能取值是
A． B．0
C． D．
【试题来源】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】AD
【分析】作出函数的图象，结合选项逐一判断即可．
【解析】作出函数的图象：

直接验算法：当时，，所以，
所以方程有6个不等实根；
当时，，所以，
所以，所以方程有3个不等实根；
当时，，所以，
所以，且方程有3根，
所以方程有7个不等实根；
当时，，所以，
所以方程有6个不等实根；故选AD．
11．设三个函数，和的零点分别为，，，则有
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省2021届高三上学期新高考适应性测试（一）
【答案】AC
【解析】因为，所以，所以在上是增函数，又当时，所以，作出，，三个函数的图象如图所示：

其中，分别是两个函数与的图象与直线的交点，因为指数函数与的图象关于直线对称，且也关于对称，所以交点，关于直线对称，所以，即，所以，再由基本不等式得．故选AC．
12．已知函数有唯一零点，则的值可能为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学2020-2021学年高三上学期联考
【答案】BC
【解析】因为
，
令，则，定义域为，
，故函数为偶函数，
所以函数的图象关于对称，要使得函数有唯一零点，则，
即，解得或，故选BC．
13．已知函数，方程在区间()上的所有根的和为，则
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省佛山市顺德区2021届高三上学期第二次教学质量检测
【答案】BC
【解析】因为当时，，所以当时，，
则，故，
即时，，
同理当时，，；
当时，，则；
………
故当时，，
当时，．
所以，故B正确；
作出与的图象如图所示，则当且时，的值分别为

则，故C正确．
故选BC．

14．已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是
A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点
C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点
【试题来源】湖北省六校2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】CD
【解析】令，得，设f（x）＝t，则方程等价为f（t）＝﹣1，①若k＞0，作出函数f（x）的图象如图：因为f（t）＝﹣1，
所以此时方程f（t）＝﹣1有两个根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f（x）＝t2＜0，此时x有两解，
由f（x）＝t1∈（0，1）知此时x有两解，此时共有4个解，
即函数y＝f[f（x）]+1有4个零点．
②若k＜0，作出函数f（x）的图象如图：因为f（t）＝﹣1，所以此时方程f（t）＝﹣1有一个根t1，其中0＜t1＜1，
由f（x）＝t1∈（0，1），此时x只有1个解，即函数y＝f[f（x）]+1有1个零点．故选CD．

15．设，若满足关于x的方程恰有三个不同的实数解则下列选项中，一定正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市西南大学附属中学校2021届高三上学期第三次月考
【答案】CD
【解析】设，则函数为偶函数，所以，
所以，其中必有一解为0，则，
①当时，当且仅当时取等号；
②当时，在上递增，，，
又在上递增，，即，
．故选CD．
三、填空题
1．函数．若关于的方程 有且只有两个不相等的实根，，则的值是_________．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第二次双基检测（文）
【答案】
【解析】画出的图象如下，

因为有且只有两个不等实根，即函数与有两个不同交点，
由图象可得，，所以，，关于直线对称，
则．故答案为．
2．记函数，其中表示不大于的最大整数，若方程在区间上有7个不同的实数根，则实数的取值范围为_________．
【试题来源】河北省衡水中学2021届高三上学期二调
【答案】
【解析】在同一直角坐标系内，作出函数，的图象，如图所示，

由图象可得，函数与在区间内有个交点，
即方程在区间上有个实根，
故方程在区间上有个不同实根，即只需与在区间内有个交点，当直线经过点时，，经过点时，．
若在区间上有4个根，则．故答案为．
3．已知函数（e为自然对数的底数），若有三个零点，则实数 的取值范围为_________．
【试题来源】云南省文山州2021届高三年级10月教学质量检测（理）
【答案】
【解析】设，
当时， ，单调减，当时， ，单调增，所以当时， ；
又当时， ；而令 ，
综上： ．故答案为 .
4．已知函数有唯一零点，则_________．
【试题来源】云南师范大学附属中学2021届高考适应性月考卷（三）（文）
【答案】
【解析】因为，
且为偶函数，也有唯一零点，
所以，解得．故答案为．
5．若函数有4个零点，实数m的取值范围为_________．
【试题来源】天津市第四十一中学2020-2021学年高三上学期10月质检
【答案】
【解析】有4个零点，方程有4个根，
得到，则函数与直线 有4个交点，
作出函数的图象如下：

由图象可知，当，即时，函数与直线 有4个交点．故答案为．
6．定义在上的函数满足，且时，，时，，则函数的零点个数为_________．
【试题来源】山西省大同市大同一中2021届高三上学期期中质量检测（理）
【答案】
【解析】由题意可得（1），时，，
即，结合绘制函数图象如图所示：

由图可得，函数图象与横轴交点有9个，所以函数的零点个数为9．故答案为9．
7．函数在区间上有两个零点，则m的取值范围是_________．
【试题来源】江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）
【答案】
【解析】由题意方程（）有两个实根，即在上有两个实根，设，则，当时，，递减，时，，递增，，又，而时，，
所以当时，的图象与直线在上有两个交点，即原函数有两个零点．故答案为.
8．函数，若a，b，c，d互不相同，且，则abcd的取值范围是_________．
【试题来源】安徽省亳州市涡阳县第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（理）
【答案】．
【解析】由的解析式知在和上递减，在和上递增，作函数的图象，再作一直线与的图象有四个交点，横坐标从小到大依次为，由图知，，，，，
所以，此函数在上递增，
所以，即．故答案为

9．已知函数，若函数 （且）在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是_________．
【试题来源】山东省德州市2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】
【解析】，所以为偶函数，
设，则，
因为所以，即，
因为，所以，所以，所以，
所以，即，所以在上递增，
因为为偶函数，所以在上递减，
所以当时，取得最小值，
因为函数 （且）在区间上有4个不同的零点，所以函数与函数的图象在区间上有4个不同的交点，
作出两个函数的图象如图：

由图可知，，即，解得．故答案为．
10．已知函数，则函数的零点个数是_________．
【试题来源】江西省万载县第二中学2021届高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】7
【解析】当时，
当时，
当时，
函数的实数根的个数； 即方程的实数根的个数．
在同一坐标系中作出与的图象，
由，如图，函数的图象与的图象有7个交点．所以函数的零点个数是7，故答案为7.

11．已知函数，若 互不相等），且的取值范围为 ，则实数的值为_________．
【试题来源】山西省稷山县稷山中学2020届高三上学期第二次月考（文）
【答案】1
【解析】作出的图象，如图所示，令，

则由图可知，关于直线对称，所以，
又，所以，由于（、、互不相等），
结合图象可知点的坐标为，代入函数解析式，得，解得，
故答案为1．
12．定义在上的函数满足且．当时，．则函数在区间上所有的零点之和为_________．
【试题来源】河北省保定市2021届高三上学期10月摸底考试
【答案】
【解析】得，是偶函数，，是周期为4的周期函数，因此可得的图象也关于直线对称．
是奇函数，它关于直线对称，也关于对称，
函数在区间上所有的零点，即为方程的解，在同一坐标系中作出和的大致图象，如图，它们在上有6个交点，横坐标从小到大依次为，
其中，，由对称性知，
所以，所以题中零点和为．故答案为．

13．已知，，函数与有两个零点，则a的取值范围是_________．
【试题来源】福建省福州第一中学2021届高三上学期开学检测
【答案】且．
【解析】函数与有两个零点有两个零点
有两个零点，令，则有两个交点，
，所以在区间上，，单调递增，
在区间上，，单调递减且，
，有两个交点，，
且．故答案为且．
14．已知定义在上的函数对任意的都满足，当时，．若函数恰有6个不同零点，则的取值范围是_________．
【试题来源】江西省九江市同文中学2021届高三上学期期中考试（理）
【答案】
【解析】由题意有6个解，即函数和的图象有6个交点，是周期为2的周期函数，是偶函数，作出和的图象，如图，它们有6个交点时，若，则，解得，
若，则，解得．故答案为

15．已知函数若函数恰有8个零点，则的最小值是_________．
【试题来源】河南省部分重点高中2020-2021学年高三阶段性考试（四）（文）
【答案】2
【解析】画出函数的图象如图所示，

设，由，得．
因为有8个零点，所以方程有4个不同的实根，结合的图象可得在内有4个不同的实根．所以方程必有两个不等的实数根，即在内有2个不同的实根，结合图象

由图可知，，故，即的最小值是2．故答案为2.
四、双空题
1．已知函数． 若函数有3个零点，则实数的取值范围是_________；若有2个零点，则_________．
【试题来源】山东菏泽市东明县实验中学2020-2021学年高三第一次月考
【答案】 或
【解析】由题意，函数有3个零点，转化为的根有3个，
转化为和的交点有3个，
画出函数的图象，如图所示，则直线与其有3个公共点，
又抛物线的顶点为，由图可知实数的取值范围是．
若有2个零点，则或．故答案为；或．

2．设函数其中．
①若，则_________；
②若函数有两个零点，则的取值范围是_________．
【试题来源】西藏自治区拉萨市拉萨中学2021届高三第二次月考（文）
【答案】
【分析】①代值计算即可；
②分别画出与y＝2的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．
【解析】①当时，则，
所以；②分别画出与y＝2的图象，如图所示，

函数有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是．
故答案为；．
3．对于实数和，定义运算“”： ，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是_________；的取值范围是_________．
【试题来源】天津市南开区南大奥宇培训学校2019-2020学年高三上学期第二次月考
【答案】
【解析】当时，，当时，，
所以，即，
图象如图所示：

方程为恰有三个互不相等的实数根，等价于的图象与的图象有三个交点，
当时，，，由图象可得，
令，解得，所以，
令，解得根为，由图象可得，当最高时，解得最小，此时，
所以，解得或（舍），所以，
所以，故答案为；．

4．设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为_________；若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为_________．
【试题来源】湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期11月第三次月考
【答案】6
【解析】作出图象如下：可知当时，与函数有三个不同的交点，，且；因为时，，

所以在与上的图象关于对称，不妨令，
可得，，所以．所以，，，所以
，，令，
则原式化为，，
其对称轴，开口向上，故在递增，所以，
所以的取值范围是．
故答案为（1）6；（2）．
5．已知函数 =_________；若存在2个零点，则a取值范围是_________．
【试题来源】浙江省杭州市桐庐分水高级中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【解析】因为，所以；
因为有个零点，所以的图象有两个交点，
作出的图象如下图所示：

当有两个交点时，可知，所以，即，
故答案为①；②．
6．已知定义在上的函数和都是奇函数．
①周期_________；
②当时，，若函数在区间上有且仅有10个零点，则实数的取值范围是_________．
【试题来源】云南省玉溪第一中学2021届高三上学期第二次月考（文）
【答案】2
【解析】由题意，函数为定义域上的奇函数，可得，
又由都是奇函数，可得函数关于点对称，即，
联立可得，即函数是以为周期的周期函数，即；
因为函数在区间上有且仅有10个零点，
即函数在区间上有且仅有10个根，
即函数与的图象在区间上有且仅有10个不同的交点，
又由当时，，
当时，则，所以，且，
所以，在同一坐标系内画出与图象，如图所示，又由当时，令，即，解得，
结合图象，可，即实数的取值范围是．故答案为，．

7．已知，函数．当函数的值域为时，的值为_________；若函数恰有5个零点，则的取值范围为_________．
【试题来源】江苏省扬州市江都区大桥高级中学2020-2021学年高三上学期期初调研
【答案】2
【解析】当时，，当且仅当时取得等号．所以，
又函数的值域为，所以当时，的值域为．
由，其对称轴方程为，由，则在上单调递增，其值域为不满足条件．所以，且，即，解得，
设，由，由上可知当时，，显然无解．
当时，，解得或．
所以和共有5个实数根．
又当时，，
当 时， ，当 时， ，
所以在单调递减，在单调递增，
所以当时，且时，有，
当时，，，且，则，
则当时，，则的大致图象如下：

因为，若有两个实数根，即与轴相切， ，则有3个实数根，显然不满足．
若有3个实数根，则，
则有2个实数根，则，则，显然也不满足．
若有1个实数根，则，则，
则有4个实数根，则，解得 ，
综上：满足条件的范围是，故答案为2；.