2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第10讲一元二次方程

第10讲　一元二次方程

一、一元二次方程的有关定义

1. 一元二次方程的概念：只含有________未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的整式方程就是一元二次方程．

2. 一般表达式：________________，其中________是二次项，________叫二次项系数；________是一次项，________叫一次项系数，________是常数项．二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式．

3. 一元二次方程的解：使一元二次方程两边相等的________的值，就是一元二次方程的解．

二、一元二次方程的解法

1. 直接开平方法：适用于能化为x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．

2. 配方法：即把一元二次方程配成(x－m)2＝n(n≥0)的形式，再用直接开平方法．

3. 公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝(b2－4ac≥0)．

4. 因式分解法：即把一元二次方程变形为m(x＋a)(x＋b)＝0的形式，则x＋a＝0或x＋b＝0，那么方程的两个根为x＝－a或x＝－b.

三、根的判别式

当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2－4ac<0时，方程没有实数根．

四、根与系数的关系

如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根x1，x2，则有x1＋x2＝________，x1x2＝________.

五、一元二次方程的应用

列一元二次方程解实际问题，方程的解通常有两个，需检验解是否符合实际情况.

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　一元二次方程的解与解一元二次方程

(2014·百色，第7小题，3分)已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为(　　)

A．2  B．0

C．0或2  D．0或－2

【思路点拨】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．

(2018·梧州，第20小题，6分)

解方程：2x2－4x－30＝0.

【思路点拨】利用因式分解法解方程．

解方程：(1)x2＋3x＋1＝0.(公式法)

(2)x2－4x＋1＝0.(配方法)

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根与系数的关系

(2018·贵港，第6小题，3分)已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是(　　)

A．3  B．1  C．－10  D．－3

【思路点拨】根据根与系数的关系有α＋β＝－1，αβ＝－2.

∴α＋β－αβ＝－1＋2＝1.

(2020·北部湾经济区，第6小题，3分) 一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是(　　)

A．有两个不等的实数根　　　　 　 

B．有两个相等的实数根

C．无实数根　　　 　 

D．无法确定

根的判别式

(2020·玉林，第21小题，8分) 已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)若方程的两个不相等的实数根是a，b，求－的值．

【思路点拨】(1)根据方程有两个不相等的实数根可得Δ＞0，然后解不等式即可；(2)根据根与系数的关系，a＋b＝－2，ab＝－k，把－化成只含a＋b、ab的式子，再将a＋b、ab的值代入即可．

(2017·玉林、崇左，第21小题，6分)已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.

(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；

(2)当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．

一元二次方程的应用

(2019·贺州，第23小题，8分)

2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2 500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3 600元．

(1)求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；

(2)若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4 200元？

(2015·南宁，第24小题，7分)

如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a米．

(1)用含a的式子表示花圃的面积；

(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时甬道的宽．

1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是(　　)

A．x2＋＝0  B．ax2＋bx＋c＝0

C．(x－1)(x＋2)＝1  D．3x2－2xy－5y2＝0

2. (2019·遂宁)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a的值为(　　)

A．0  B．±1  C．1  D．－1

3. 用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(　　)

A．(x＋2)2＝1  B．(x－2)2＝1

C．(x＋2)2＝9  D．(x－2)2＝9

4. 一元二次方程x2－x＋＝0的根是(　　)

A．x1＝，x2＝－  B．x1＝2，x2＝－2

C．x1＝x2＝－  D．x1＝x2＝

5. (2020·牡丹江)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是(　　)

A．k＜  B．k≤

C．k＞4  D．k≤且k≠0

6. 一元二次方程x2＋2x＋2＝0的根的情况是(　　)

A．有两个相等的实数根  B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根  D．无实数根

7. (2019·贵港)若α，β是关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两实根，且＋＝－，则m等于(　　)

A．－2  B．－3  C．2  D．3

8. (2019·丹东)等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是(　　)

A．8  B．9  C．8或9  D．12

9. (2020·威海)一元二次方程4x(x－2)＝x－2的解为        _．

10. (2020·抚顺)若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0无实数根，则k的取值范围是________．

11. (2020·荆门)已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0(m＞0)的一个根比另一个根大2，则m的值为________．

12. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为______________．

13. 某种药品原价为100元，经过连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是________．

14. 解方程：(1)2x2－7x＋6＝0；

(2)(3x＋2)(x＋3)＝x＋14.

15. (2019·贵港)为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．

(1)求这两年藏书的年均增长率；

(2)经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？

16. (2020·重庆A卷)“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”，为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究，去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100 kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21 600元．

(1)求A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？

(2)今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%，由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加a%，求a的值．

第10讲　一元二次方程

【基础梳理】

一、1.一个　2　2.ax2＋bx＋c＝0(a≠0)　ax2　a　bx　b　c　3.未知数

四、－　

【重点突破】

[例1]A

[例2]解：方程两边同时除以2，得x2－2x－15＝0.

因式分解，得(x－5)(x＋3)＝0.

解得x1＝5，x2＝－3.

[变式1](1)解：∵a＝1，b＝3，c＝1，

∴Δ＝b2－4ac＝9－4×1×1＝5＞0.

∴x＝.∴x1＝，x2＝.

(2)解：移项得，x2－4x＝－1，

配方得，x2－4x＋4＝－1＋4，(x－2)2＝3.

由此可得x－2＝±.∴x1＝2＋，x2＝2－.

[例3]B　[变式2]B

[例4]解：(1)∵一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴b2－4ac＝4＋4k＞0，解得k＞－1.

(2)∵方程的两个不相等的实数根分别是a，b，

∴a＋b＝－2，ab＝－k.

∴－＝＝＝＝＝＝1.

[变式3](1)证明：在方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，

Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)

＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，

∴对于任意实数t，方程都有实数根．

(2)解：设方程的两根分别为m，n，

∵方程的两个根互为相反数，∴m＋n＝t－1＝0.

解得：t＝1.∴当t＝1时，方程的两个根互为相反数．

[例5]解：(1)设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x.

依题意，得：2 500(1＋x)2＝3 600.

解得：x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)．

答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%.

(2)3 600×(1＋20%)＝4 320(元).4 320＞4 200.

答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4 200元．

[变式4]解：(1)由图可知，S花圃＝(40－2a)(60－2a)．

(2)根据题意，得：60×40－(40－2a)(60－2a)＝×60×40，解得：a1＝5，a2＝45(舍去)．

答：此时甬道的宽为5米．

【达标检测】

1．C　2.D　3.D　4.D　5.B　6.D　7.B　8.B

9．x1＝2，x2＝　10.k＜－1　11. 1

12．(22－x)(17－x)＝300　13.20%

14．(1)解法不唯一．例解：x2－x＋3＝0，

x2－x＋＝－3＋，＝，

x－＝±.

∴x1＝2，x2＝.

(2)原方程化为3x2＋10x－8＝0，

∴x＝，即x＝，

∴x1＝，x2＝－4.

15．解：(1)设这两年藏书的年均增长率是x.

根据题意，得5(1＋x)2＝7.2.

解得，x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)．

答：这两年藏书的年均增长率是20%.

(2)在这两年新增加的图书中，中外古典名著有(7.2－5)×20%＝0.44(万册)，

到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：×100%＝10%.

答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%.

16．解：(1)设A品种去年平均每亩产量为x kg，B品种为(x＋100)kg.

根据题意，得2.4×10(x＋x＋100)＝21 600，

解得x＝400.

x＋100＝500.

答：A品种去年平均每亩产量为400千克，B品种去年平均每亩产量为500千克．

(2)根据题意，得2.4×10×400(1＋a%)＋2.4(1＋a%)×500(1＋2a%)×10＝21 600×.

令a%＝t，化简得10t2－t＝0.

解得t1＝0(舍)，t2＝.

∴a＝10.