专题17 解三角形（客观题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题17 解三角形（客观题）（新高考地区专用）（解析版），共50页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。
专题17 解三角形（客观题）
一、单选题
1．若三角形的三边是三个连续的自然数，且最大角是最小角的倍，则这样的三角形
A．三边为，， B．三边为，，
C．三边为，， D．不存在
【试题来源】四川省绵阳市南山中学实验学校2020-2021学年高三第一学期第一次诊断（理）
【答案】B
【解析】设三角形三边是连续的三个自然，三个角分别为，，2，由正弦定理可得，即，
再由余弦定理可得，
所以，解得，故三角形的三边长分别为4，5，6，故选B．
2．已知O是的外心，，，若，且，则的面积为
A． B．18
C．24 D．
【试题来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】D
【分析】由外心的性质建立，进—步利用向量的线性运算和数量积运算建立三角函数的关系式，进一步求出，最后利用三角形的面积公式求出结果．
【解析】取的中点为，连接，因为O是的外心，所以，
由于，则，
所以，
即，得，即，，
则.故选D.

【名师点睛】本题主要考查了向量知识的应用以及三角形面积公式的应用，解题的关键在于由外心的性质出发得出，结合数量积公式建立三角函数的关系式，进一步求出．
3．某公园有一个边长为的等边三角形花圃，现要在花圃中修一条篱笆，将花圃分成面积相等的两部分，则篱笆的最短长度为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省肇庆市2021届高三上学期第一次（11月）统一检测
【答案】D
【分析】设等边三角形花圃为，篱笆的长度为，的长为，先求出的面积，再利用面积公式求出的面积让其等于的面积的一半，即可求出，在中，由余弦定理可得，再利用基本不等式即可求的最值，进而可得篱笆长的最小值．
【解析】设等边三角形花圃为，因为边长为，所以，
设篱笆的长度为，的长为， 则，
因为，所以，即，所以，
在中，由余弦定理可得，
即，
由基本不等式可得，
当且仅当即时，篱笆长取得最小值为，故答案为D.

【名师点睛】本题的关键点是设篱笆的长度为，的长为，先利用面积等于的面积的一半，即可求出，在中，由余弦定理可得
，即可利用基本不等式求最值．
4．在中，若，则的形状一定是
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【试题来源】上海市虹口区2021届高三上学期一模
【答案】B
【分析】先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解．
【解析】因为，所以，所以，
所以，所以，所以三角形是直角三角形．故选B
【名师点睛】判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边．在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理．
5．已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，则，则
A．4 B．1
C．2 D．3
【试题来源】广东省清远市2021届高三上学期11月摸底
【答案】C
【解析】再中，，正弦定理化简得，
，，，则，解得．故选C．
【名师点睛】由，且，等式两边同乘，得，再利用余弦定理化简．
6．在中，角，，的对边分别是，，，且，，成等差，，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省萍乡市2021届高三上期数学期中复习试卷（理）试题
【答案】A
【分析】在中，由，，成等差，结合三角形内角和定理得，再由余弦定理列式，配方后利用基本不等式求解．
【解析】在中，由，，成等差，可得，
由，得，．由余弦定理，
可得，即，
则，解得．
又．的取值范围是，．故选A.
【名师点睛】利用余弦定理可得等式，运用均值不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式可求解，这是本题的解题关键，属于中档题．
7．克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，

A．30° B．45°
C．60° D．90°
【试题来源】江苏省南通市海安县2020-2021学年高三上学期期中调研考试
【答案】C
【分析】根据已知条件先分析出的最大值并得到之间的关系，由此借助余弦定理求解出的长度，再利用余弦定理即可求解出的大小．
【解析】因为，且为等边三角形，，
所以，所以，所以的最大值为，取等号时，所以，不妨设，
所以，所以解得，
所以，所以，故选C．
【名师点睛】解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余弦定理即可求解出结果．
8．在中，的面积为S，，，且满足，则该三角形的外接圆的半径R为
A． B．
C． D．2
【试题来源】江西省南昌县莲塘第一中学2021届高三12月质量检测（理）
【答案】B
【分析】先利用三角形的面积公式和余弦定理得到，再根据向量的数量积的运算，求得，由正弦定理和余弦定理，列出方程求得，进而得到，再利用正弦定理，即可求解球的半径．
【解析】由，得，
利用余弦定理得，即，又，得；
由题意，因为，所以．
由余弦定理得．因为， 所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，所以，故选B．
【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及利用正、余弦定理解三角形问题，其中合理应用正弦定理和余弦定理列出方程是解答的关键．
9．已知非零平面向量、、，设与、与、与的夹角依次为、、，关于论断：“、、经平移之后能构成三角形”有两个命题：①等价于；②等价于，则
A．①②都是真命题 B．①②都是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题
【试题来源】上海市华东师范大学附属第二中学2021届高三上学期期中
【答案】D
【分析】利用正弦定理可判断命题①的正误，取且为钝角，利用平面向量数量积可判断命题②的正误，综合可得出结论．
【解析】非零平面向量、、，设与、与、与的夹角依次为、、，
关于论断：“、、经平移之后能构成三角形”，
根据正弦定理可得，所以，命题①为真命题；
对于命题②，设，且为钝角，且“、、经平移之后能构成三角形”，
则，
所以，命题②为假命题．故选D．
【名师点睛】解决本题的关键在于灵活利用正弦定理与平面向量数量积来进行判断，同时要注意取向量夹角时，一般要求向量的起点一致．
10．在中，角、、所对的边分别为、、且，，，下面说法正确的个数是
①； ②是锐角三角形；
③的最大内角是最小内角的倍； ④内切圆半径为．
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省绥化市海伦市第一中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）
【答案】A
【分析】利用正弦定理可判断①的正误；求出最大角的余弦值，可判断②的正误；利用二倍角的正弦公式以及余弦定理可判断③的正误；求出的面积，进而可计算出该三角形的内切圆半径，由此可判断④的正误．
【解析】对于①，，，，，，故①正确；
对于②，由于，则中最大角为角，
，，是钝角三角形，故②错；
对于③，假设的最大内角是最小内角的倍，则，
即，又，即，，不符合题意，故③错；
对于④，，，
，
设的内切圆半径为，则，
，故④错．故选A．
【名师点睛】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
11．在内角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年度上学期高三二调考试（理）
【答案】D
【分析】由正弦定理可得，联立，解得b，由余弦定理、均值不等式，面积公式可求解．
【解析】在内角，，的对边分别是，，，
若，
整理得，
利用正弦定理：，由于，整理得，解得．
因为，所以，
整理可得，（当且仅当时等号成立），
所以．
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立．则的面积的最大值为．故选D.
【名师点睛】求的面积的最大值问题，一般要用面积公式表示出，根据余弦定理及均值不等式求出两边积的最大值即可，本题考查了运算能力，难度中等．
12．若在中，角，，的对边分别为，，，，，，则
A．或 B．
C． D．以上都不对
【试题来源】安徽省滁州市定远县2020-2021学年高三上学期第二次联考（理）
【答案】C
【分析】利用正弦定理即可求解．
【解析】在中，由正弦定理可得得，
解得，因为，所以，所以，故选C.
13．的三边满足，则的最大内角为
A． B．
C． D．
【试题来源】云南民族大学附属中学2021届高三上学期期中考试（文）
【答案】D
【分析】利用余弦定理结合三角形内角的取值范围求得角的值，由此可得出结果．
【解析】由余弦定理可得，，，因此，的最大内角为．故选D．
14．中，角，，，的对边分别为，，，若，，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省名校联盟2020-2021学年高三11月联考
【答案】C
【解析】由余弦定理得，
．故选C．
15．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市经济技术开发区第二中学2020-2021学年高三上学期第三次月考
【答案】C
【分析】利用余弦定理可求的值，从而可求三角形的面积．
【解析】因为，故，
而，故，
故，故三角形的面积为，故选C．
16．某人在A处向正东方向走后到达B处，他沿南偏西方向走到达C处，结果他离出发点恰好，那么的值为
A．或 B．或
C．或 D．
【试题来源】福建省龙海市第二中学2020~2021学年高三上学期第二次月考
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，在中解三角形即可求解．
【解析】如图：，，，，
在中由余弦定理可得，
即，所以，即，
解得或，故选B.

17．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》一章给出计算弧田面积所用的公式为弧田面积=（弦×矢+矢×矢）．其中弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指的是圆弧所对弦长，矢等于半径长与圆心到弦的距离之差．如图，现有圆心角为的弧田，其弦与半径构成的三角形面积为，按照上述公式计算，所得弧田面积是

A． B．
C． D．
【试题来源】山东省德州市2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】A
【分析】先利用弦与半径构成的三角形面积为，结合三角形面积公式求出圆的半径，然后计算出弦长、矢，然后利用题目所给公式计算弧田的面积．
【解析】如图，在中，设，则，则，所以圆心到弦的距离为，故矢为，
弦长，
所以该弧田的面积为．故选A．
【名师点睛】本题考查几何图形面积的计算问题，考查学生获取新知识应用新知识点的能力，较简单．解答时，三角形面积公式、解三角形知识的运用是关键．
18．中，，，分别为，，的对边，如果，，的面积为，那么的值为
A． B．
C． D．2
【试题来源】黑龙江省绥化市海伦市第一中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）
【答案】C
【分析】根据三角形面积公式得出、然后利用余弦定理求解．
【解析】，．
又，．故选C．
【名师点睛】本题考查解三角形，考查三角形面积公式、余弦定理的运用．计算时，注意整体代入，利用余弦定理直接代入与的值求解．
19．《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为立两个3丈高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上．从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为（3丈=5步）

A．1200步 B．1300步
C．1155步 D．1255步
【试题来源】重庆市2021届高三上学期第二次预测性考试
【答案】D
【分析】设海岛的高为步，用表示和，列出方程即可求出．
【解析】设海岛的高为步，由题意知，步，步，步，
步，则，即，
，所以，
则，解得，即海岛的高为步，故选D．

20．在边长为的等边中，为内一点，，若，则
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省五校（怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中）2020-2021学年高三上学期12月联考（文）
【答案】C
【分析】首先根据正弦定理在中，计算出，然后再得，根据等边三角形每个内角为，即可求得．
【解析】如图，在中，，，，由正弦定理得，，即，解得，，又由题意为锐角，所以，可得， ．故选C．

21．的内角的对边分别为，已知成等差数列，，则的面积为
A．1 B．
C． D．
【试题来源】贵州省黔东南州2021届高三上学期第二次月考（文）
【答案】D
【分析】根据成等差数列，且，得到，然后利用两角差的余弦公式和二倍角公式，化简得到，由是边长为1的等边三角形求解．
【解析】因为成等差数列，且，所以，
所以
，
所以，因为，所以，
则是边长为1的等边三角形，所以其面积为，故选D.
22．在中，，，，那么的值为
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市静海区瀛海学校2020-2021学年高三上学期高三开学考试
【答案】A
【解析】因为，所以，故选A．
23．在中，若，则的形状为
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【试题来源】天津市第八中学2020-2021学年高三上学期第三次统练
【答案】D
【分析】由已知条件，结合正弦定理得，有或，即可知正确选项．
【解析】由知，即，
所以，即或，所以或，故选D.
24．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论：
① ；② 为锐角三角形；
③ ；④
其中正确的个数是
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（文）
【答案】C
【分析】由向量的数量积的几何含义及运算法则，判断各项的正误即可．
【解析】由AH为BC边上的高，
所以，而，故，①正确；
知向量的夹角为钝角，即为锐角，而无法判断是否为锐角三角形，②错误；，③正确；
，④正确．故选C.
【名师点睛】综合向量与三角形相关性质，利用向量垂直判定、向量夹角公式、数量积的几何意义判断各命题的正误．
25．在中，，，，则
A． B．4
C． D．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第三次双基检测（理）
【答案】C
【分析】先由求出，再由余弦定理即可求得．
【解析】设，，，，，，，又，解得，
由余弦定理得，
．故选C．
26．如图所示是一个正方体的表面展开图，，，均为棱的中点，是顶点，则在正方体中异面直线和所成角的余弦值为

A． B．
C． D．
【试题来源】河南省郑州市商丘市名师联盟 2020-2021学年高三11月质量检测巩固卷（文）
【答案】B
【分析】将正方体的表面展开图还原成正方体，根据异面直线的定义，结合三角形中位线定理、余弦定理进行求解即可．
【解析】正方体的表面展开图还原成正方体，如图所示．因为，，为棱的中点，
所以，
因此异面直线和所成角为．设正方体棱长为2，在中，，，，则．故选B．

27．一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山．汽车行驶到A处测得高山在南偏西15°方向上，山顶处的仰角为60°，继续向南行驶到B处测得高山在南偏西75°方向上，则山高为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省深圳明德实验学校2021届高三上学期11月阶段性考试
【答案】C
【分析】首先根据题意画出图形，设A处到山顶处下方的地面C距离为，则山高，再利用正弦定理即可得到答案．
【解析】如图所示：设A处到山顶处下方的地面C距离为，则山高，

在中，，，，
由正弦定理，得，，
所以，．故选C.
28．的三边长分别为4，5，7，则该三角形的形状为
A．没有满足要求的三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【试题来源】吉林省舒兰市实验中学2020届高三学业水平模拟考试
【答案】D
【解析】因为，由余弦定理易知，最大角为钝角，
该三角形为钝角三角形．故选D．
29．在中，角的对边分别为，若，，的面积等于，则
A． B．
C． D．
【试题来源】吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期第四次质量检测（文）
【答案】C
【分析】利用正弦，余弦定理将角化边，结合三角形面积公式，列方程求解即可．
【解析】，①，，②，
，，据题设可得③，由①②③解得，故选C.
30．在中，已知，，若的面积，则S的值为
A．3 B．
C．2 D．
【试题来源】山西省2021届高三上学期八校联考（文）
【答案】B
【分析】根据的面积，结合三角形的面积公式得到，即，再结合，解得，．然后由求得其上的高求解．
【解析】因为的面积，所以，
所以，即，所以，
因为，所以，解得，（舍去），
所以．设的AB边上的高，
则，所以，
所以的面积为，故选B．
31．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为

A． B．
C． D．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）
【答案】A
【分析】首先判断等腰三角形的个数，根据割圆术的思想，等腰三角形的面积和近似为圆的面积，列出面积公式，求的近似值．
【解析】圆的周角为，，所以当等腰三角形的顶角为时，共割了60个等腰三角形，设圆的半径为，则由题意可知，解得，
所以的近似值是．故选A.
32．在中，角所对的边分别为，若，则
A． B．或
C． D．或
【试题来源】2021年1月浙江省普通高中学业水平考试
【答案】D
【分析】根据，利用正弦定理得到求解．
【解析】因为在中，，所以
因为，所以，因为，或，故选D.
33．在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）
【答案】A
【分析】由面积公式可得，由余弦定理可得得，再由正弦定理可得答案
【解析】，所以，
由余弦定理可得 得
又由正弦定理可得，所以，故选A．
34．在中，角、、所对应的三边分别为、、．若，，则下面式子中不可能成立的是
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省南阳市2020-2021学年高三期中质量评估（文）
【答案】C
【分析】由余弦定理求得，再由正弦定理化边为角，可得或，分类讨论求得，然后分析各选项成立的可能性．
【解析】因为，所以，而，所以，
又，由正弦定理得，
是三角形内角，所以或，
若，则由得，，，则，A可能成立，
若，则由得，，则，B可能成立，此时若，则，D可能成立，
只有C不可能成立．故选C．
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，利用正弦定理进行边角转化，利用余弦定理求角是解题的一般方法，解题时要注意，由时，结论是或，不能只得出，否则出错．
35．在中，内角，，所对边分别为，，．若， ， ，则
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省德州市2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】D
【分析】首先求得外接圆半径，然后结合合分比的性质求解的值即可．
【解析】由三角形面积公式可得，即，解得，
结合余弦定理可得，则，
由正弦定理有：，
结合合分比定理可得．故选D．
【名师点睛】本题解答关键在于求出三角形的外接圆的半径，运用合分比性质求值，属于中档题．
二、多选题
1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则角不可能是
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市凤鸣山中学校2021届高三上学期10月月考
【答案】ACD
【分析】利用三角恒等变换和三角形的面积公式求出的值，再根据的范围求出角．
【解析】，
即，
所以，，
利用正弦定理得，
将代入可得，因为，所以或，
因为，且，所以，
所以，角不可能是，，，故选ACD.
【名师点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换和三角形的面积公式解三角形，属于中档题．
关键【名师点睛】利用得到，进而缩小角的范围是解题的关键．
2．在中，内角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则下列说法正确的是
A．的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最小值是
【试题来源】山东省威海市威海文登区2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】AD
【分析】先根据三角形面积公式得出，再利用基本不等式可求解．
【解析】由题意知，
由角平分线的性质以及面积公式可得，
化简得，，当且仅当时成立，解得，故A正确，B错误；，，
，
当且仅当，即时等号成立，故C错误，D正确．故选AD．
【名师点睛】由角平分线的性质以及面积公式得出，再利用基本不等式是解决本题的关键．
3．已知的内角，，的对边长，，成等比数列，，延长至．则下面结论正确的是
A．
B．
C．若，则周长的最大值为
D．若，则 面积的最大值为
【试题来源】山东省聊城市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】BCD
【分析】根据题中条件，利用三角恒等变换，以及正弦定理，求得，，两式作差求出角，进而可求出，判定A错B正确；再利用基本不等式，分别判断CD两选项即可．
【解析】因为在中，，则，
由可得，
即，所以①，
又，，成等比数列，所以，由正弦定理可得②，
由①②可得，则，
所以，则，即，
所以，因为角为三角形内角，所以，则；
又，所以；
角，为三角形内角，所以，，则，
所以，即；即为等边三角形；故A错，B正确；
延长至，连接，则，
若，在中，由余弦定理可得，
即
，所以
当且仅当时，等号成立，
此时周长的最大值为；故C正确；
若，设，则的高为，
所以的面积为，
当且仅当，即时，等号成立；即面积的最大值为．故D正确．
故选BCD．

【名师点睛】求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解．
4．在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是
A．，，则的外接圆半径是4
B．若，则
C．若，则一定是钝角三角形
D．若，则
【试题来源】河北省张家口市2021届高三上学期第一阶段检测
【答案】BC
【分析】根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出，可判断B，由余弦定理可判断C，取特殊角可判断D．
【解析】由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误；
由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；
因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确；
若，显然，故D错误．故选BC.
5．在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则
C．若是锐角三角形，
D．若是钝角三角形，则
【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】BCD
【分析】利用三角函数的性质，结合诱导公式以及正切函数的两角和公式，逐个选项进行判断求解即可
【解析】对于A，根据正弦定理，由，得出，所以，，因为在中，令，，此时，仍有，所以，不一定是等腰三角形，A错误；
对于B，由已知条件得，，因为，所以，，均为锐角，则有，所以，，B正确；
对于C，若是锐角三角形，则均为锐角，所以，，得和，且，得，同理，可证得，，，所以，成立，C正确；
对于D，若是钝角三角形，不妨设为钝角，则为锐角，
则有，所以，，
因为，所以，，得到，
又由为钝角，可得，所以，
成立，同理，当为钝角或者为钝角时，该不等式仍然成立，D正确；故选BCD
【名师点睛】解题的关键在于，利用特殊角进行赋值进行判断选项，以及利用三角函数的性质和相关公式，逐个选项进行判断，主要考查学生的运算能力，属于中档题
6．对于，有如下命题，其中正确的有
A．若，则是等腰三角形
B．若是锐角三角形，则不等式恒成立
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为或
【试题来源】江苏省南通市海门市第一中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】BCD
【分析】根据三角恒等变换，诱导公式，正弦定理，余弦定理分别对选项进行求解；
【解析】对于．
对A，，，或，解得，或，则是等腰三角形或直角三角形，因此不正确；
对B，是锐角三角形，，，化为恒成立，因此正确；
对C，，，由正弦定理可得，，为钝角，则为钝角三角形，因此正确；
对D，，，，设，由余弦定理可得，化为，解得或2．则的面积，或的面积，因此正确．
综上可得只有BCD正确．故选BCD．
【名师点睛】正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、三角函数的单调性等知识的综合运用，是求解本题的关键．
7．在中，内角，，的对边分别为，，，，，的面积为，则可能取到的值为
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省益阳市桃江县第一中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】AC
【分析】由求出，再利用的面积为，得，再利用余弦定理可得，然后代入中利用基本不等式可求得其最小值．
【解析】，，，又，，
由余弦定理可得，
，当且仅等号成立，
故的最小值为，可能取到的值为AC选项．故选AC．
【名师点睛】本题考查余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据面积得出，再利用余弦定理得出，结合基本不等式求解．
8．在中，角、、的对边分别为、、，面积为，有以下四个命题中正确的是
A．的最大值为
B．当，时，不可能是直角三角形
C．当，，时，的周长为
D．当，，时，若为的内心，则的面积为
【试题来源】湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期11月第三次月考
【答案】ACD
【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C；由已知条件可得是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得的面积即可判断选项D．
【解析】对于选项A：
（当且仅当时取等号）．令，，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：

目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，
故可得，
又，故可得，
当且仅当，，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；
对于选项B：因为，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，故选项B错误；
对于选项C，由，可得，由得，
由正弦定理得，，即，
所以，化简得，
因为，所以化简得，因为，所以，所以，则，所以，所以，，，
因为，所以，，所以的周长为，故选项C正确；
对于选项D，由C可知，为直角三角形，且，，，，，所以的内切圆半径为，
所以的面积为，
所以选项D正确，故选ACD.
【名师点睛】本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A利用面积公式和余弦定理，结合不等式得，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题．
三、填空题
1．在△中，若，，，则__________．
【试题来源】北京房山区2021届高三上学期数学期末试题
【答案】
【分析】由余弦定理求出，再次由余弦定理得出．
【解析】由余弦定理可知
即，故答案为.
2．在中，为边上一点，，，若，且，则__________．
【试题来源】江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末
【答案】
【分析】由及向量平行四边形法则可得出，结合条件可得中，，，根据余弦定理计算即可．
【解析】因为，，
所以根据向量平行四边形法则可得，，
又，故且，
在中，由余弦定理：，
所以．故答案为.
【名师点睛】求解几何计算问题要注意：（1）根据已知的边角画出图形并在图中标示；（2）选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．
3．已知的内角，，的对边分别为，，．若，则的最小值为__________．
【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题
【答案】
【分析】由二倍角公式，正弦定理，余弦定理化简已知等式可得，利用均值不等式求解即可．
【解析】因为，
所以，即，
由正弦定理得，所以，由余弦定理知，，
所以，则，因为，
所以，则，当且仅当时，等号成立，即的最小值为．
【名师点睛】利用正弦定理、余弦定理可得，再根据重要不等式 求解，余弦定理、正弦定理的灵活运用是解题关键．
4．在中，已知，的平分线交于，且，，则的面积为__________．
【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末
【答案】
【分析】设，，将利用三角形面积公式表示出来，可得，在中，利用余弦定理可得，解得，即可求出，，进而可得的值，再利用三角形面积公式即可求解．
【解析】因为平分，所以，
设，则，，因为，设，
所以，所以，，
因为，所以，即，
在中，，所以，
可得，解得，所以，
所以， ，
所以，故答案为.
【名师点睛】本题解题的关键是将用面积公式表示出来可得边角之间的关系，再结合余弦定理即求出边和角即可求面积．
5．在中，角、、的对边分别为、、，且，，的面积为，则的值为__________．
【试题来源】四川省乐山市2020-2021学年高三上学期第一次调查研究考试（文）
【答案】
【分析】由，根据余弦定理，求得得，得到，根据因为的面积为，求得，利用余弦定理，列出方程，即可求解．
【解析】由题意，在中，，
根据余弦定理，可得，整理得，
可得，因为，可得，
因为的面积为，可得，解得，
又由，根据余弦定理可得，
即，
所以，可得．故答案为.
【名师点睛】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用．
6．在中，若，，，则__________．
【试题来源】上海市浦东新区2021届高三上学期一模
【答案】
【分析】由内角和求得，然后由正弦定理求得．
【解析】，
由正弦定理得，所以．故答案为．
7．在中，若，则是__________三角形．
【试题来源】广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟
【答案】等腰直角
【解析】由正弦定理可知，因为，所以，
由，当且仅当时取等号，
即，有，所以，而，所以，，因此为等腰直角三角形．故答案为等腰直角.
8．在有一个内角为的中，三边长分别为x，，，则的面积为__________．
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期第三次月考（理）
【答案】
【分析】根据题意，利用余弦定理得到，求得的值，结合面积公式，即可求解．
【解析】由中，三边长分别为x，，，可得，
又由一个内角为，根据余弦定理可得，解得，所以的面积为．故答案为.
9．在中，内角，，所对的边分别为，，若，则__________．
【试题来源】吉林省白城市第一中学2020-2021学年高三上学期第三次月考（文）
【答案】
【分析】先利用三角恒等变换，将原式化为，根据正弦定理，得到，进而可求出结果．
【解析】由
得，
则，
则
即，
由正弦定理可得，
又角，，为三角形内角，所以，
则，即，所以．故答案为．
10．在中，，，，则边上的高的长度为__________．
【试题来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中
【答案】
【分析】利用余弦定理求出，通过三角形的面积转化求解边上的高即可．
【解析】在中，，，，所以，
由余弦定理可得，
所以边上的高为．故答案为．
11．设的内角，，所对的边为，，，则下列命题正确的是__________．
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则．
【试题来源】江西省吉安市白鹭洲中学2021届高三年级上学期期中考试（理）
【答案】①②③
【分析】利用余弦定理结合基本不等式判断①②③，举反例判断④．
【解析】①因为，，
所以，
因为，所以，所以①正确．
②由，得，即，
所以，
因为，所以，所以②正确．
③由余弦定理得当时，，所以③正确．
④取，，满足，但是为锐角，所以④错误．
所以命题正确的是①②③．故答案为①②③．
【名师点睛】本题考查考查余弦定理，基本不等式的应用，在三角形中判断一个角的大小，可利用余弦函数性质由角的余弦值的范围得角的范围，这样顺理成章地利用余弦定理求出角的余弦，并结合基本不等式得出余弦值范围．得出结论．
12．在中，内角，，所对的边分别是，，，若，且，则的取值范围为__________．
【试题来源】河南省2021届高三名校联盟模拟信息卷（文）
【答案】
【分析】由，利用余弦定理化简得到，再根据求解．
【解析】由，，得，由余弦定理得，
即，所以，又，得，
解得．又，所以．所以的取值范围为．
13．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（其中为三角形的面积，，，为三角形的三边）．在非直角中，，，为内角，，所对应的三边，若，且，则的面积最大时，__________．
【试题来源】T8联考八校2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】3
【分析】先利用正弦定理将边化为角，化简整理得，带入面积公式，配方可得最值．
【解析】，，
，，
非直角三角形，，，即，
，
当且仅当，即时，有最大值．故答案为3．
【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系，注意三角形内角和的应用．
14．如图，在已知的四边形中，，，，，，点为边上的动点，则的最小值为__________．

【试题来源】天津市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考
【答案】
【分析】根据条件，结合正弦定理、余弦定理，可求得DC、BD的长，化简可得，，根据数量积公式，结合二次函数图象与性质，即可求得答案．
【解析】因为在中，，，，
所以，解得，
在中，根据正弦定理，可得，解得，
所以，
因为，点为边上，所以，设，，
所以
=，，所以时，有最小值.
【名师点睛】解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理，并灵活应用，在求时，可利用向量的加减法运算，转化到已知的边长上，再利用数量积公式求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题．
15．在中，角、、成等差数列，且对边分别为、、，若，，则的内切圆的半径为__________．
【试题来源】黑龙江省八校2020-2021学年高三摸底考试（理）
【答案】
【分析】由已知条件得出，由平面向量数量积的定义可求得，利用余弦定理可求得，设的内切圆半径为，利用三角形的面积公式可求得的值，即为所求．
【解析】在中，角、、成等差数列，则，解得，
由平面向量数量积的定义可得，解得，
由余弦定理可得，
可得，，设的内切圆半径为，由三角形的面积公式可得，因此．
【名师点睛】解决本题的关键在于以下两点：
（1）充分利用余弦定理结合已知条件求出的周长；
（2）在求解的内切圆半径时，利用三角形的面积得出进行求解．
16．平面四边形中，，，，，若，则__________．
【试题来源】河南省开封市2021届高三第一次模拟考试（理）
【答案】1或5
【解析】因为在中，，，，
由正弦定理可得，所以，
又，所以与互余，因此，
在中，，，
由余弦定理可得，
所以，解得或．故答案为1或5．
17．如图所示，一块长为5m，宽为3m缺一角的长方形木板，是直线段．木工师傅想要在的中点处作延长线的垂线，可是直角曲尺长度不够，无法直接画出此线．请帮忙在边上找到一点，使得木工师傅能精准地完成该项任务，此时的长度为__________m．

【试题来源】山东省威海市威海文登区2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】
【分析】根据题意，由，可得，由已知结合相似比求出，进一步可得的值．
【解析】如图所示，假设，则，
又由，，，则，即，
得，此时．故答案为2.4．

18．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则=__________．
【试题来源】山西省大同市煤矿第四中学校2021届高三上学期期中（文）
【答案】75°
【分析】在中，利用正弦定理求得 ，然后根据，求得角B即可．
【解析】在中，，，，
由正弦定理得，所以，
因为，所以，所以，所以，故答案为75°.
19．已知圆内接四边形中，，，，则__________．
【试题来源】江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【分析】画出图形，利用圆内接四边形对角互补，结合余弦定理列方程求解，然后求解的余弦函数值，利用平面向量数量积公式即可求解向量的数量积．
【解析】圆内接四边形中，，，，如图：
可得，，
因为，可得，，
．则．故答案为．

【名师点睛】应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件．还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用．
20．某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为、、（单位：），且该区域的租金为每天元/．若租用上述区域天，则仅场地的租用费约需__________元．（结果保留整数）

【试题来源】上海市普陀区2021届高三上学期一模
【答案】
【分析】根据余弦定理求出一个角，根据面积公式求出三角形的面积后可得结果．
【解析】设的对应的边为，且，

由余弦定理可得，因为，
所以，所以，所以，
所以仅场地的租用费为元．故答案为.
21．欧几里得在《几何原本》中，以基本定义､公设和公理作为全书推理的出发点．其中第卷命题47是著名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，书中给出了一种证明思路：如图，中，，四边形､､都是正方形，于点，交于点．先证与全等，继而得到矩形与正方形面积相等；同理可得到矩形与正方形面积相等；进一步定理可得证．在该图中，若，则__________．

【试题来源】江苏省常州市教育学会2020-2021学年高三上学期学业水平监测
【答案】
【分析】设AB=k，AC=m，BC=n，由勾股定理可得，由同角的基本关系式求得，，在中，求得AE，分别运用余弦定理和正弦定理，计算可得所求值．
【解析】设AB=k，AC=m，BC=n，可得，
又，可得，
在中，，
又，解得，，
由
，
化为，解得，又，可得，
在中，，即，可得．
【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
22．已知是面积为的等边三角形，点在线段的延长线上，若，则__________．
【试题来源】辽宁省抚顺市第一中学2020-2021学年高三第一学期期中考试
【答案】
【分析】首先根据是面积为得到，再利用正弦定理即可得到答案．
【解析】如图所示：

因为所以，．
在中，由正弦定理可知，，解得．
四、双空题
1．如图，设的内角、、的对边分别为、、，，且．若点是外一点，，，则当__________时，四边形的面积的最大值为__________．

【试题来源】山东省威海市威海文登区2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】
【分析】利用正弦定理边角互化结合的取值范围可求得，可判断出为等边三角形，利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式可得出四边形的面积关于的表达式，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得四边形面积的最大值及其对应的的值，即可得解．
【解析】，
由正弦定理可得，
所以，，
，，可得，，，
所以，为等边三角形，设，则，
由余弦定理可得，
，
，所以，四边形的面积为
，
，，所以，当时，即当时，四边形的面积取最大值．故答案为；．
【名师点睛】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
2．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为__________，周长的取值范围为__________．
【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】
【分析】利用二次函数知识可得的最大值，根据三角形面积公式可得面积的最大值；利用余弦定理可得，根据三角形两边之和小于第三边可得，从而可得周长的取值范围
【解析】由得，所以，所以当时，
的最大值为，所以，即面积的最大值为；由余弦定理可得，
所以，又，所以，所以，即周长的取值范围为．故答案为；．
【名师点睛】求三角形面积最大值的关键是求出的最大值，利用二次函数知识可得的最大值，求三角形周长的取值范围的关键是求出的取值范围，利用余弦定理和三角形两边之和小于第三边可得的取值范围．
3．在中，角､､所对的边分别为､､，已知，则=__________；若点是边上靠近的三等分点，且，则面积的最大值为__________．
【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校2020-2021学年高三上学期11月联考
【答案】
【分析】根据，利用余弦定理化简得到，再利用正弦定理求解．根据点是边上靠近的三等分点，得到，再由求解．
【解析】因为，所以，
所以，即，故
所以．因为点是边上靠近的三等分点，
所以，
从而，
故，即，故．故答案为，
【名师点睛】（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
4．中，，，则角__________，__________．
【试题来源】浙江省9 1高中联盟2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【分析】本题首先可对进行转化，得出，然后根据得出，则，再然后根据求出以及，最后根据求出，通过两角差的余弦公式即可求出的值．
【解析】，即，
，，
，，因为，所以，
因为，所以，，因为，所以角不可能是钝角，，因为，所以，即，，故答案为、．
【名师点睛】本题考查三角恒等变换以及解三角形，考查诱导公式、两角差的余弦公式、两角和的余弦公式的应用，考查正弦定理边角互化，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题．
5．锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小为__________；若，则面积的取值范围是__________．
【试题来源】浙江省杭州市桐庐中学2020-2021学年高三上学期12月精准测试
【答案】
【分析】用正弦定理化角为边后，应用余弦定理可求得，把三角形面积表示为的函数，由三角函数性质求得范围．
【解析】因为，所以，整理得，
所以，又是三角形内角，所以，
是锐角三角形，则，所以．
由正弦定理得，
，
所以，
因为，所以，所以．故答案为；．
【名师点睛】在解三角形中，出现边角混合等式时，常常利用正弦定理进行边角互化．而三角形面积或周长范围时，一般把面积或周长表示一个内角的函数，利用三角函数的恒等变换，结合三角函数性质求得结论，解题时注意角的范围的确定．