2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第32讲锐角三角函数与解直角三角形

第32讲　锐角三角函数与解直角三角形

一、锐角三角函数(正弦、余弦、正切)

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的________边与______边的比叫做∠A的正弦，记作________，即sin A＝________.

∠A的________边与________边的比叫做∠A的余弦，记作________，即cos A＝________.

∠A的________边与________边的比叫做∠A的正切，记作________，即tan A＝________.

同样的sin B＝________，cos B＝________，tan B＝________.

锐角∠A(∠B)的________、________、________都叫做∠A(∠B)的锐角三角函数．

当锐角A，B的大小确定时，∠A(∠B)的对边与斜边的比(正弦)、邻边与斜边的比(余弦)、对边与邻边的比(正切)分别是确定的．

二、30°，45°，60°的正弦值、余弦值和正切值如下表

三、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(以下字母同)，则解直角三角形的主要依据是：

1. 边角之间的关系：

sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，

tan A＝，tan B＝.

2. 两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.

3. 三条边之间的关系：a2＋b2＝c2.

四、解直角三角形的应用

1. 仰角、俯角：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线________方的角是仰角，视线在水平线________方的角是俯角．

2. 坡度(坡比)：坡角的________高度和________宽度的比叫做坡度(坡比)．

3．方位角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方位角．

4. 解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题的目的．

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特殊角函数值的有关计算

(2020·桂林，第19小题，6分)

计算：(π＋)0＋(－2)2＋－sin 30°.

【思路点拨】直接利用零指数幂的性质、指数的的运算法则、绝对值的运算法则及特殊三角形函数值分别化简即可求解．

(2020·玉林，第2小题，3分)

sin 45°的值是(　　)

A.  B.  C.  D．1

解直角三角形)

(2020·柳州，第8小题，3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cos B ＝  ＝(　　)

A.　　  B.

C.　  D.

【思路点拨】首先利用勾股定理求出BC的长，再根据锐角三角函数的余弦函数的定义计算cosB即可．

(2020·梧州，第17小题，3分)如图，已知△ABC的外角∠α＝70°，AB＝2，∠B＝45°，则BC≈ ________ .

(参考数据：sin 70°≈0.94 ，cos 70°≈0.34, tan 70°≈2.75.结果保留一位小数)

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用三角函数解决简单的实际问题

(2020·贺州，第22小题，8分) 如图，小丽站在电子显示屏正前方5 m远的A1处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为60°，显示屏底端C的仰角为45°，已知小丽的眼睛与地面距离AA1＝1.6 m，求电子显示屏高BC的值．(结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732)

(2020·北部湾经济区，第23小题，8分)如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40 n mile 的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．

(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)?

(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20 n mile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)?

1. (2020·杭州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则(　　)

A．c＝bsin B

B．b＝csin B

C．a＝btan B

D．b＝ctan B

2. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tan B的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

第2题图

　　　　　第3题图

3. (2020·聊城)如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为( D )

A.  B.  C.  D.

4. (2020·玉林)如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个(　　)

A．等腰直角三角形

B．等腰三角形　

C．直角三角形　　

D．等边三角形

5. 如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于(　　)

A．m·sin α米  B．m·tan α米

C．m·cos α米  D.米

　第5题图

　　　　第6题图

6．(2020·重庆B卷)如图垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点(点A，B，C在同一条直线上)，再沿斜坡DE方向前行78米到E点(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，则信号塔AB的高度约为( D )

(参考数据：sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93)

A．23米  B．24米  C．24.5米  D．25米

7. 在△ABC中∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则tan A＝________.

8. 如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sin α＝________.

9. (2019·梧州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝.

(1)求AD的长；

(2)求sin α的值．

10．(2020·遵义)某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2 m，为了解自己的有效测温区间，身高1.6 m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．(额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1 m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)

11. 一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向上，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上．

(1)求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里(结果保留根号)；

(2)当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里？(结果精确到个位，参考数据：≈1.73)

第32讲　锐角三角函数与解直角三角形

【基础梳理】

一、对　斜　sin A　　邻　斜　cos A　　对　邻　

tan A　　　　　正弦　余弦　正切

四、1.上　下　2.垂直　水平

【重点突破】

[例1]解：原式＝1＋4＋－＝5.　[变式1]B

[例2]C　[变式2]1.3

[例3]解：如图，过点A作AD⊥BC，交BC延长线于点D，由题意可知∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，AD＝5(m)，

在Rt△ADB中，由tan∠BAD＝，

得BD＝AD·tan 60°＝5×≈5×1.732

＝8.66(m)

∵在Rt△ADC中，∠CAD＝45°，

∴∠ACD＝45°.∴∠CAD＝∠ACD.∴CD＝AD＝5(m)．

∵BC＝BD－CD，∴BC≈8.66－5≈3.7(m)．

答：电子显示屏BC的高度约为3.7米．

[变式3]解：(1)从B点作AC垂线BD交AC于点D.

因为垂线段最短，AC上的D点距离B点最近，AD即为所求．

易求：∠BAD＝45°，

AD＝BD＝ABsin 45°

＝40×＝20(n mile)．

(2)在Rt△BDC中，

tan∠C＝＝＝，

∴∠C＝30°.

∴BC＝＝40(n mile)．

易证∠DBE＝15°，∠DBC＝60°.

∴∠EBC＝∠DBC－∠DBE＝45°.

答：从B处沿南偏东45°出发，最短行程40 n mile.

【达标检测】

1．B　2.C　3.D　4.A　5.B　6.D　7.　8.

9．解：(1)在Rt△ABC中，tan B＝＝，

设AC＝3x，则BC＝4x.

由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，

即(3x)2＋(4x)2＝52，

解得x＝1或x＝－1(舍去)．∴AC＝3，BC＝4.

又∵BD＝1，∴CD＝BC－BD＝4－1＝3.

在Rt△ADC中，由勾股定理得AD＝＝3.

(2)过点作DE⊥AB于点E.

在Rt△BED中，tan B＝＝，设DE＝3y，则BE＝4y.

由勾股定理得AE2＋DE2＝BD2，

即(3y)2＋(4y)2＝12.

解得 y＝或 y＝－(舍去)．

∴DE＝.∴sin α＝＝＝.

10．解：延长BC交AD于点E，则AE＝AD－DE＝0.6 m．根据题意，得MN＝BC＝BE－EC，

即MN＝－≈1.875－0.346≈1.5(m)．

答：小聪在地面的有效距离MN的长度约为1.5 m.

11．解：(1)如图，过点B作BC⊥AP于点C，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝20，

AC＝AB·cos 30°＝20.

∵∠PBD＝90°－15°＝75°，

∠ABC＝90°－30°＝60°，

∴∠CBP＝180°－75°－60°＝45°.

∴PC＝BC＝20.

∴AP＝AC＋PC＝20＋20.

∵PD⊥AD，∠PAD＝30°，

∴PD＝AP＝(10＋10)海里．答：(略)

(2)设轮船每小时航行x海里，在Rt△ADP中，

AD＝AP·cos 30°＝(20＋20)＝30＋10.

∴BD＝AD－AB＝30＋10－40＝10－10，

＋＝.

解得x＝60－20，经检验，x＝60－20是原方程的解．

∴x＝60－20≈60－20×1.73＝25.4≈25.答：(略)