2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第31讲图形的相似与位似

第31讲　图形的相似与位似

一、比例线段

1. 定义：在四条线段a，b，c，d中，如果______________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

2. 比例的性质

(1)基本性质：如果＝，那么ad＝bc；反之亦成立．

(2)合比性质：若＝，则________________．

(3)等比性质：若＝(b＋d≠0)，则____________．

3. 黄金分割：在线段AB上有一点C(AC＞BC)，若________，则C点就是AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，AC∶AB的值等于________，约等于________．一条线段有________个黄金分割点．

二、相似多边形

1. 定义：各角对应________，各边对应________的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做________．

2. 性质

(1)相似多边形的对应角________，对应边________．

(2)相似多边形周长的比等于________，面积的比等于相似比的________．

三、相似三角形

1. 定义：对应角________，对应边________的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做________．相似比为1的两个三角形是________三角形．

2. 性质

(1)相似三角形的对应角________，对应边________．

(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于________．

(3)相似三角形周长的比等于________，面积的比等于相似比的________．

3. 判定

(1)两角对应________的两个三角形相似．

(2)两边对应________，且夹角________的两个三角形相似．

(3)三边对应________的两个三角形相似．

(4)平行于三角形一边的直线，截其他两边或两边的延长线构成的三角形与原三角形相似．

(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

注意：①直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似．

②在运用三角形相似的性质和判定定理时，要找对对应角、对应边，相等的角所对的边是对应边．

四、位似图形

1. 定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过________，那么这两个图形叫做位似图形．这个点叫做________，这时的相似比又称为________．

2. 性质：位似图形上任意一对对应点到________的距离之比都等于________．

3. 利用图形的位似能够将一个图形放大或缩小.

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相似三角形的性质

(2020·贺州，第8小题，3分)

如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且AD∶AB＝1∶3，若DE∥BC，则S△ADE：S△ABC等于(　　)

A．1∶2　　　  B. 1∶3

C．1∶4   D. 1∶9

【思路点拨】根据面积比等于相似比的平方即可得出答案．

(2020·贵港，第10小题，3分)

如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为(　　)

A．2   B.

C. 3   D.

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相似三角形的判定

(2019·玉林，第9小题，3分)如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有(　　)

A．3对  B．5对  C．6对  D．8对

(2016·贺州，第18小题，3分)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝________．(结果保留根号)

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位似变换

(2014·玉林、防城港，第7小题，3分)

△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1 ∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是(　　)

A．3  B．6  C．9  D．12

【思路点拨】利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1∶4，则△A′B′C′的面积是12.

(2019·河池，第14小题，3分)如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝________．

1. 相似△ABC与△DEF的相似比为1 ∶3，则△ABC与△DEF的面积比为(　　)

A．1 ∶3  B．1 ∶9  C．3 ∶1  D．1 ∶

2. 将右图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是(　　)

A.  B.

C.  D.

3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

,第3题图)　　　　　,第4题图)

4. 如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：

①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③＝.

其中正确的有(　　)

A．3个  B．2个  C．1个  D．0个

5. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为(　　)

A．9  B．12  C．15  D．18

,第5题图)　　　　,第6题图)

6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠BAC＝90°，AB＝2，CD＝，则AD的长为(　　)

A.  B．2  C．3  D．2

7. 如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果＝，那么＝(　　)

A.  B.  C.  D.

,第7题图)　　　　,第8题图)

8. (2020·桂林) 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP＋CP的最小值是________ .

9. 关于位似图形的表述，下列命题正确的是________．(只填序号)

①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；

②位似图形一定有位似中心；

③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；

④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．

10. 如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD.要使△ACD与△ABC相似，应添加的条件是________．(只需写出一个条件即可)

,第10题图)　　　　　,第11题图)

11. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则DE的长是________．

12. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，若AC＝2，AD＝1，则DB＝________.

,第12题图)　　　　,第13题图)

13. 如图，身高是1.6 m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2 m和9 m，则旗杆的高度为________m.

14. (2020·宜宾)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连结CD交BE于点O.若AC＝8，BC＝6，则OE的长是________．

15. 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.

(1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线)；

(2)请分别说明两对三角形相似的理由．

16. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.

(1)求证：△ADE∽△EFC；

(2)如果AB＝6，AD＝4，求的值．

17. 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C.

(1)求证：∠AED＝∠ADC，∠DEC＝∠B；

(2)求证：AB2＝AE·AC.

18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D.

求证：(1)D是BC的中点；

(2)△BEC∽△ADC；

(3)BC2＝2AB·CE.

第31讲　图形的相似与位似

【基础梳理】

一、1.＝　2.(2)＝　(3)＝

3.＝　　0.618　2

二、1.相等　成比例　相似比　2.(1)相等　成比例

(2)相似比　平方

三、1.相等　成比例　相似比　全等　2.(1)相等　成比例

(2)相似比　(3)相似比　平方　3.(1)相等　(2)成比例　相等　(3)成比例

四、1.同一点　位似中心　位似比　2.位似中心　位似比

【重点突破】

[例1]D　[变式1]B　[例2]C　[变式2]6＋3　

[例3]D　[变式3]

【达标检测】

1．B　2.A　3.C　4.A　5.A　6.C　7.B　8.　9.②③

10．∠ACD＝∠B

11.　12.3　13.12　14.

15．解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE.

(2)①证明△ABC∽△ADE.∵∠BAD＝∠CAE，

∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.

又∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE.

②证明△ABD∽△ACE.

∵△ABC∽△ADE，∴＝.

又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.

16．(1)证明：∵DE∥BC，EF∥AB，

∴∠1＝∠C，∠A＝∠2.

∴△ADE∽△EFC.

(2)解：∵AB∥EF，DE∥BC，

∴四边形BDEF为平行四边形，

∴BD＝EF.

∵AB＝6，AD＝4，

∴EF＝BD＝AB－AD＝6－4＝2，

∴＝＝＝4.

17．证明：(1)在△ADE和△ACD中，

∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠DAC，

∴∠AED＝180°－∠DAE－∠ADE，∠ADC＝180°－∠DAE－∠C.∴∠AED＝∠ADC.

∵∠AED＋∠DEC＝180°，∠ADB＋∠ADC＝180°，

∴∠DEC＝∠ADB，

又∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠B，∴∠DEC＝∠B.

(2)在△ADE和△ACD中，

由(1)知∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠DAE，

∴△ADE∽△ACD，∴＝，

即AD2＝AE·AC，又AB＝AD，∴AB2＝AE·AC.

18．证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，

即AD是底边BC上的高．又∵AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形，∴D是BC的中点．

(2)∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，

∴∠CBE＝∠CAD.又∵∠BCE＝∠ACD，∴△BEC∽△ADC.

(3)由△BEC∽△ADC，∴＝，

即CD·BC＝AC·CE.

∵D是BC的中点，∴CD＝BC，∴CD·BC＝BC2.

又∵AB＝AC，∴AC·CE＝AB·CE.

∴BC2＝AB·CE，即BC2＝2AB·CE.