专题24 解三角形（解答题）（新高考地区专用）（解析版）

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专题24 解三角形（解答题）
1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，的面积为，求的周长．
【试题来源】宁夏六盘山市高级中学2021届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出；
（2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到，即可求出，进而求出的周长．
【解析】（1）由正弦定理得，
整理得，
因为在中，，所以，即，
所以，即；
（2）由余弦定理得，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以的周长为．
2．在中，，，______，求边上的高．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】山东省济南市商河县第二中学2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】答案见解析
【解析】选择①，在中，由正弦定理得，即，
解得，由余弦定理得，即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为．
选择②，在中，由正弦定理得，
因为，所以，即；
由余弦定理得，即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为．
选择③，在中，由，得；
由余弦定理得，即
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为．
【名师点睛】本题解题的关键在于应用正余弦定理的方程思想计算出边，进而根据边上的高为求解，考查运算求解能力，是基础题．
3．在中，内角、、所对的边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的周长．
【试题来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，结合范围，可求的值．
（2）由已知可得，又由余弦定理可得，联立解得的值，即可得解三角形的周长．
【解析】（1）由题意可得，可得，
由正弦定理可得，因为，可得．
（2）由，可得，
又由余弦定理可得，可得，
可得，解得，或（舍去），
故的周长为．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足
（1）求角C的大小；
（2）若a=，b=c，求△ABC的面积
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高考适应性月考卷（三）（文）
【答案】（1）；（2）16．
【分析】（1）利用正弦定理把中边统一成角，然后利用三角函数公式化简可求出角C的值；（2）利用余弦定理求出的值，再利用面积公式可求得结果
【解析】（1）因为，所以，
所以，
因为所以，所以．
（2）由余弦定理所以
所以所以所以
所以．
5．在中，角，，所对的边分别为，，，，，．
（1）求的值；
（2）若为锐角三角形，求的面积．
【试题来源】重庆市渝西中学2020届高三下学期第四次月考（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据正弦定理，由题中条件，求出外接圆的半径，进而可求出；
（2）先由（1）求出，根据余弦定理，求出的值，并检验，再由三角形面积公式，即可得出结果．
【解析】（1）根据正弦定理，由可化为（其中为外接圆半径），因为，，所以，
则；
（2）因为为锐角三角形，所，
由余弦定理可得，即，
解得或，当时，，此时为钝角，舍去．
所以，则．
6．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，，，若______，求角B的值与的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【试题来源】湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测
【答案】答案见解析．
【解析】选①，可得．
因为，所以，所以．
由正弦定理：，得，因为，所以．
所以，
所以，
选②由得，
由正弦定理：，化简得，因为，所以．
以下与选①相同．
选③由正弦定理：可化简为，
而，因为，所以，
以下与选①相同．
7．从条件①，②，③中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．
在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，________，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．
【试题来源】广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟
【答案】答案见解析．
【分析】若选①，利用余弦定理可得，求出角后可计算三角形的面积．
若选②，利用正弦定理可得，求出角后可计算三角形的面积．
若选③，利用正弦定理可得，求出角的正弦后可计算三角形的面积．
【解析】选择①，因为，
所以由余弦定理得，所以，
所以由余弦定理得，而为三角形内角，
所以，所以的面积为．
选择②，因为，
所以由正弦定理得，
所以．
又，所以，
所以，而为三角形内角，所以，所以，
所以的面积为．
选择③，因为，所以由正弦定理得，
即，
所以．又，所以，
所以，而为三角形内角，所以，
所以的面积为．
8．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若为钝角，求的取值范围；
（2）若，，求的面积．
【试题来源】湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三上学期月考（六）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由正弦定理化简结合题意可得，结合的范围可得结果；
（2）由余弦定理可得，，进而可得三角形的面积．
【解析】（1）由正弦定理可得，，
因为，，所以，
因为为钝角，所以，，，
所以，所以，所以的取值范围是；
（2）由（1）可知，，所以，
由余弦定理可知，，即，
因为，所以C为锐角，解得，
所以，，从而的面积为．
9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若面积为，D为中点，求线段的长．
【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】（1）见详解；（2）．
【分析】（1）根据正弦定理，先由题意，得到，再根据，由余弦定理，得到，即可证明结论成立；（2）先求出，根据三角形面积求出，再根据D为中点，利用余弦定理列出方程，即可求出结果．
【解析】（1）由，根据正弦定理可得，所以，则，
又，根据余弦定理可得，
则，所以，因此为等腰三角形；
（2）因为角是三角形内角，所以，则，
因为面积为，所以，
解得，所以，又D为中点，所以，
则，整理得，所以．
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
（1）求角A的大小；
（2）若，求面积的最大值．
【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角；（2）利用余弦定理和基本不等式得出的最大值，代入三角形的面积公式求出面积最大值．
【解析】（1）因为
由正弦定理可得，即，
又，所以，因为，所以
（2）因为，，所以，
又，所以，即，当且仅当时取等号；
所以，故三角形面积的最大值
【名师点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值．
11．在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）的面积．
条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）选择条件①，化简，得，从而算得．由余弦定理算得，运用面积公式可算出的面积．（2）选择条件②，化简得，从而算得．由余弦定理算得，运用面积公式可算出的面积．
【解析】选择条件①：（1）因为，所以，
因为，所以． 所以． 所以．
（2）由余弦定理，得，
所以．解得或（舍负）．所以．
所以的面积．
选择条件②：（1）因为，所以，
解得或．
因为，所以． 所以．
（2）由余弦定理， 得，
所以， 解得或（舍负）．所以．
所以的面积．
【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
12．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小
（2）若，且的面积为，求的周长．
【试题来源】江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据，利用正弦定理和内角和以及诱导公式得到求解．（2）由的面积为，得到，再与求得a，b，然后利用余弦定理求解．
【解析】（1），，
，，
，．
（2）由题意可得，，，
联立可得，，
由余弦定理可得，，此时周长为．
13．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出其面积；若不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，所对的边分别为，，，且，，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】海南省2021届高三年级第二次模拟考试
【答案】答案见解析
【分析】选择条件①：由余弦定理可求出角，再根据条件可求出，即得面积；
选择条件②：由正弦定理可求出角，进而求出，即得面积；选择条件③：先由二倍角公式化简可得，进而由余弦定理得出，求得可判定三角形不存在．
【解析】选择条件①：由余弦定理得，
因为，所以．
结合，，可得，
所以，，因此．
选择条件②：由正弦定理得，所以，
又，所以，所以．
由，解得，，所以．
选择条件③：因为，
又，所以，因此．
由余弦定理可得，得，
从而，显然不成立，
因此，不存在满足条件的．
14．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
【试题来源】浙江省台州市2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由余弦定理先求，从而可得角；（2）用正弦定理将化角，再用两角和的正弦公式化简转化，即可求得的取值范围．
【解析】（1），
（2），，由正弦定理，，
，，
，
；
又，故，，．
15．在中，角，，所对的边分别是，，．已知．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
【试题来源】浙江省湖州市2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式即可求解．（2）由（1）知，所以，将代入利用二倍角公式以及三角函数的性质即可求解．
【解析】（1）在中，由正弦定理可得，
即，
因为，所以，
因为，所以，可得，
因为，所以，
（2）由（1）知，所以，


，
因为，所以，
所以，，
所以的取值范围是．
【名师点睛】本题解题的关键点是利用正弦定理化边为角求出角，利用三角形内角和为，可得之间的关系，将所求代数式用一个角表示，根据角的范围可求代数式的范围．
16．在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【试题来源】浙江省百校2020-2021学年高三上学期12月联考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据，利用正弦定理化简得到，然后再利用余弦定理求解．（2）结合，，在中利用正弦定理得到，再根据为锐角三角形，求得B的范围，利用三角函数的性质求解．
【解析】（1）因为， 所以，即．
由余弦定理可得，因为，所以．
（2）在中由正弦定理得，又，
所以，，
所以 ，
因为为锐角三角形，所以，且，
所以且，所以且，
所以，所以，
所以周长的取值范围是．
【名师点睛】第二问在确定角B的范围时，容易忽视，结合即的条件．
17．在锐角中，角所对的边分别是a，b，c，．
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围．
【试题来源】浙江省杭州高级中学钱江校区2020-2021学年高三上学期12月月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由已知得，利用同角三角函数基本关系式可求，结合的范围可求的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用可求，由题意可求范围，进而利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．
【解析】（1）因为，结合余弦定理，可得
，所以，所以
因为，所以
（2）因为，，所以，所以，
所以

，
因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，所以，
所以，综上，的取值范围是.
【名师点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值．
18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中．若问题中的三角形存在，请求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由．
问题：是否存在，满足且，________________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】河北省张家口市2021届高三上学期期末教学质量监测
【答案】答案见解析
【分析】选①，由正弦定理化边为角后可求得，然后两边平方后．同时由余弦定理把用表示后可得，从而得出，再由余弦定理可求得，
选②直接由余弦定理求得，然后两边平方后．同时由余弦定理把用表示后可得，从而得出，再由余弦定理可求得，
选③，由正弦定理化边为角后可得或，前者与已知不符，后者得，由勾股定理，已知式平方后求出的关系，说明三角形不存在．
【解析】选①：因为，所以，
所以，又，所以B为锐角，故；
因为，所以，
所以，即．
因为，所以代入，求得；
故存在，且；
选②：因为，所以
，
因为，所以，
所以，即．
因为，所以代入，求得，
故存在，且；
选③：因为，所以，所以
所以或．所以或，
因为，所以不合题意，所以．所以，所以，
因为，所以，所以，
可看成是关于的一元二次方程，，故不存在．
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，在解三角形问题中出现边角关系时，常常应用正弦定理进行边角转换，转化为角的关系后由三角函数恒等变换公式变形求得角或角的关系，转化为边的关系后直接求出边的比值或应用余弦定理求得角．
19．在①；②；③中任选一个填在试题中的横线上，并完成该试题的解答．试题：在中，的对边分别为 ．求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测
【答案】答案见解析
【解析】在中，．
①当时，，
即，解得，
所以由余弦定理得，即，
，，．
②当时，，即，以下同①．
③当时，，
解得或（舍去），以下同①．
20．在中，点在边上，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
【试题来源】四川省成都市2020-2021学年高三上学期第一次诊断性检测（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由与互补，已知角正切值可得，又，结合两角和正切公式求，即可知角的大小；
（2）由已知三角函数值求，，根据正弦定理求，应用三角形面积公式求的面积，由即可求的面积．
【解析】（1）因为，所以．
因为，
所以．
因为，所以．
（2）因为，，
所以，．
在中，由正弦定理，得．
所以．
所以的面积．
因为点在边上，，所以的面积．
【名师点睛】（1）根据三角形内角和性质得，注意两角和正切公式的应用．
（2）综合应用正余弦定理、三角形面积公式求面积．
21．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，__________，？
【试题来源】广东省兴宁市第一中学2021届高三上学期期末
【答案】答案见解析．
【解析】选择①：由余弦定理可知，，
由正弦定理得，，又，所以，
所以是直角三角形，则，所以的面积．
选择②：由正弦定理得，，即，
又，所以，所以，即，
又，所以．由正弦定理得，，
所以的面积．
选择③：因为，所以，
又，所以，所以，，即．
由正弦定理得，，
所以的面积．
【名师点睛】三角形相关问题，若已知条件中既有边又有角，则常运用正弦定理进行边角互换，偶尔也会用到余弦定理或余弦定理的变形形式进行边角互换．
22．在①；②；③三边成等比数列．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由．
问题：是否存在，它的内角、、的对边分别为、、，且，，______________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】上海市奉贤区2021届高三上学期一模
【答案】答案见解析．
【解析】选①，因为在，，所以由正弦定理得，即，
又，所以，所以，解得，
所以，，．
选②，因为在，，所以由正弦定理得，即，
因为，则，所以，
，，
所以，．
选③，三边成等比数列，因为在，，所以由正弦定理得，又，所以，，
即，这与三边成等比数列矛盾．无解．
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形．解题方法根据正弦定理进行边角转换，得出两边的关系，再由余弦定理得出三边的关系或由三边关系求角，由两边夹角应用余弦定理求第三边．注意三角形中的条件，灵活应用两个定理求解即可．
23．在中，分别为角所对的边．在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答．
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．
【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）．
【解析】（1）选①，
由正弦定理得，所以，
因为，所以，所以，因为，所以；
选②，所以，所以，
因为，所以，则，所以；
选③，得，
所以，所以，
因为，所以，所以，所以．
（2）已知为锐角三角形，且，
由正弦定理得，所以，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，所以．
【名师点睛】本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数量积的应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间内的最值从而求出三角形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力．
24．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，，求的面积
【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先根据两角和的余弦公式化简原式，然后根据正弦定理完成边化角，由此求解出的值，从而的值可求；（2）利用余弦定理先求解出的值，然后根据面积公式求解出的面积．
【解析】（1）因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，因为，所以；
（2）因为，所以，
所以，所以，所以．
【名师点睛】（1）利用正弦定理进行边角转化时，要注意选择化边还是化角，从而达到简化计算的目的；（2）利用正弦定理进行边角互化时，等式两边同时约去某个三角函数值时，注意说明其不为．
25．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且直线为函数图象的一条对称轴．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（文）（3－2）试题
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据降幂公式和辅助角公式，将函数的解析式进行化简、变形，然后再求出对称轴，确定的值．（2）根据的值，再结合余弦定理，找到的关系式，再根据不等式确定的最大值，然后可根据求出面积的最大值．
【解析】（1），
所以直线为函数图象的一条对称轴，所以()，
即()，又，所以当时，．
（2）因为，，
所以由余弦定理得，，即，当且仅当b=c=4时等号成立，所以，
故面积的最大值为．
26．在中，已知，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个为已知．
（1）求．
（2）求的面积．
条件①：，条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习
【答案】（1）；（2）
【解析】选择条件①，（1），，
，，
；
（2）由正弦定理可得，，
；
选择条件②，（1），，
由正弦定理可得，；
（2）由余弦定理可得，
即，解得（舍去）或，
．
27．在中，，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：
（1）的值；
（2）的面积．
条件①：．条件②：；条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】北京市石景山区2021届高三上学期数学期末试题
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【解析】选择条件①：，
（1）在中，因为， 所以．
因为，．根据余弦定理：，
得，整理，得，由于，所以 ．
（2）由（1）可知，．因为，，所以．所以．
因此，是直角三角形．所以．
选择条件②：．
（1）在中，因为 ，，．根据正弦定理： ，
所以．
（2）在中，因为．
所以．
所以．
选择条件③：，
（1）在中，由余弦定理：，
得，整理得，解得或．
（2）由（1）可知当时，，，
所以，
当时，，，所以．
【名师点睛】（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
28．已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若，且D为的中点，求的最大值．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据，利用正弦定理结合 ，得到求解．
（2）根据D为的中点，得到，然后两边平分结合余弦定理得到，再利用基本不等式求解．
【解析】（1）因为，
由正弦定理得， ①
因为， ②
由①②得，而，所以，
因为，所以．
（2）因为，所以，
所以，由余弦定理得，
所以，所以，
而（当且仅当时，取“=”），
所以，即，
所以（当且仅当时，取“=”），
所以的最大值为．
29．已知的面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）和的值；
（2）的值．
条件①：，；条件②：，．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】北京市西城区2021届高三上学期数学期末试题
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【解析】若选择条件①：（1）在中，因为，所以，． 因为，，所以．
由余弦定理，，所以．
（2）由正弦定理，可得．
所以，．因为，所以，．
所以．
若选择条件②：（1）在中，因为，所以．
因为，所以，．
因为，所以．
由余弦定理，，所以．
（2）由正弦定理得，所以．
因为，所以．
所以．
30．在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题
【答案】选择见解析；（1）；（2）．
【分析】选择条件①，由正弦定理得，再由余弦定理可得，再运用面积公式可算出的面积． 选择条件②，由正弦定理得，再由余弦定理算得，再运用面积公式可算出的面积．
【解析】选条件①：．
（1）在中，因为，所以．
因为，且，，，所以．
化简得，解得或．
当时，，与题意矛盾．所以，所以．
（2）因为，，所以．
所以．
选条件②：．
（1）在中，因为，
所以由得．
因为，且，，，
所以．解得．
（2）由（1）知，所以．
因为，，所以．
所以．
【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
31．若存在同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：
（1）求的大小；
（2）求和的值．
条件①：； 条件②：；
条件③：； 条件④：．
【试题来源】北京市海淀区2021届高三年级第一学期期末练习
【答案】选择①②③（1）；（2）；；选择①②④（1）；（2）；．
【解析】选择①②③：
（1）因为，，由正弦定理得．
因为，所以．所以．所以．
（2）在中，，所以．所以．
因为，所以．
所以
．所以．
由正弦定理得，即．因为，所以．
选择①②④：
（1）因为，，由正弦定理得．
在中，，所以．所以．
（2）在中，，所以．所以．
因为，所以．
所以
．所以．
因为，所以．由正弦定理得．
【名师点睛】（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
32．在中，角的对边分别为，且， ， ．在①；②；③的面积为．这三个条件中任选一个，补在上面条件中，若问题中三角形存在，求的周长；若问题中三角形不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评
【答案】答案见解析
【分析】若选择条件①，由条件可得，利用正弦定理得到，再结合余弦定理解三角形；若选择条件②，利用正弦定得到，同样结合余弦定理解三角形；若选择条件③，由三角形面积公式和正弦定理得到，再根据边角互化得到
，再利用三角恒等变形求，最后再解三角形的周长．
【解析】若选①，由，知，
由得，即，即，
在中由余弦定理得，
即，所以，
由，故，所以，
所以三角形周长为 ；
若选②，由得，即，即，
而，所以，即，
在中由余弦定理得，
即， 即，即，所以，
所以三角形周长为；
若选③，由得， ，即，
三角形面积
由，得，而，
即，而，即，
所以，所以，由，所以，，
于是，所以，即，所以，
所以三角形周长为．
【名师点睛】本题考查解三角形，处理三角形中的边角关系时，出现一次式子，可用正弦定理，出现边的二次式子可用余弦定理，结合三角恒等变形，解三角形．
33．在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，已知，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，求与的值．
条件①：；条件②：；条件③：．
【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试
【答案】条件选择见解析；，．
【分析】(一)选择条件①，条件②，由已知和三角形的面积公式可求得，再由同角三角函数间的关系求得，再由余弦定理求得，由正弦定理求得．
(二)选择条件①，条件③． 同角三角函数间的关系求得．再由正弦定理可得．由余弦定理可得．(负值舍去)；
(三)选择条件②，条件③． 同角三角函数间的关系求得．由三角形的面积公式可求得，由余弦定理可得，再由正弦定理可得．
【解析】(一)选择条件①：；条件②：．
因为，，，所以，即．
所以．因为是锐角三角形，所以．
由余弦定理可得．所以．(负值舍去)，
由正弦定理可得．所以．所以，．
(二)选择条件①：；条件③：．因为，所以．
由正弦定理可得．所以．
由余弦定理可得．所以．(负值舍去)，
所以，．
(三)选择条件②：；条件③：．
因为，所以．因为，，
所以，即．所以．
由余弦定理可得．所以．(负值舍去)，
由正弦定理可得．所以．所以，．
【名师点睛】（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；
（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；
（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式．
（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围．
34．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求角A；
（2）若，，求△ABC的面积．
【试题来源】吉林省四平市公主岭市范家屯镇第一中学两校联考2021届高三上学期期末（文）
【答案】（1）A；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理完成边化角，再根据在三角形中有，完成化简并计算出的值；（2）利用的值以及余弦定理求解出的值，再由面积公式即可求解出△ABC的面积．
【解析】（1）在三角形ABC中，，
由正弦定理得，
化为 ，
三角形中，解得，，所以A．
（2）由余弦定理得，，，
，化为，
所以三角形ABC的面积S4
【名师点睛】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的综合运用，涉及三角函数恒等变换，属基础题．熟练掌握利用正弦定理边化角，并结合三角函数两角和差公式化简，注意余弦定理与三角形面积公式的综合运用．
35．在四边形中，，．
（1）若，求；
（2）若，求．
【试题来源】2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用余弦定理计算得出，进而可得出，然后在中，利用余弦定理可计算出；（2）设，利用余弦定理结合可得出关于的方程，进而可解得的值，即可求得．
【解析】（1）在中，由余弦定理可得，
，，
在中，由余弦定理可得，；
（2）设，则，
在中，，
在中，，
由（1）可知，，所以，，即，
整理可得，因为，解得，
因此，．
36．在中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上的中线的长为，求面积的最大值．
【试题来源】吉林省长春外国语学校2021届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意及正弦定理边角互化和化简得，即可得出答案；（2）由是边上的中线得两边平方得，结合均值不等式得，代入面积公式化简即可．
【解析】（1）由正弦定理及可得，
又，
所以，所以，
因为，所以，因为，所以
（2）因为是边上的中线，
所以，两边平方得
即
所以当且仅当时取得最大值，此时．
【名师点睛】三角形常用面积公式：
（1） (表示边上的高)；
（2）；
（3） (为三角形内切圆半径)．
37．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足．
（1）求；
（2）若的周长为，求的面积．
【试题来源】安徽省阜阳市2020-2021学年高三上学期教学质量统测（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由余弦定理可求得；（2）根据正弦定理可得，再由已知和余弦定理可求得，根据三角形的面积可求得答案．
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，所以．
由余弦定理得，则，
因为的周长为，所以，解得，
所以的面积为．
38．已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，．
（1）求A，B，C；
（2）若，求的面积．
【试题来源】山西省太原市2021届高三上学期期末（理）
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）由余弦定理求得，再由角的范围可得，根据正弦和差角公式可化简求得，分，分别求得三角形的内角；（2）由（1）得当，时，和，时，分别求得三角形的面积．
【解析】（1）因为，所以，
由余弦定理得，因为，所以，
因为
，
所以，所以，
①当时，，；
②当时，，；
（2）由（1）得当，时，
因为，所以，所以；
当，时，由正弦定理得，所以，
所以．
39．已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
【试题来源】安徽省宣城市2020-2021学年高三上学期期末（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题设条件和正弦定理，化简得，再结合余弦定理，求得，即可求解；（2）由（1）及，可得，结合基本不等式求得，利用面积公式，即可求得面积的最大值．
【解析】（1）因为，
由正弦定理，可得，整理得，
又由余弦定理，可得，
因为，所以．
（2）由（1）知，由，可得．
因为，当且仅当时等号成立，所以，
所以，即面积的最大值．
【名师点睛】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用．
40．在中，角，，所对的边分别是，，，且，．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的值．
【试题来源】安徽省池州市2020-2021学年高三上学期期末（文）
【答案】（1）；（2）4．
【分析】（1）利用正弦定理化边为角得到，再计算即可．
（2）结合三角形面积公式和余弦定理，求出的两个关系式，整体代换求即可．
【解析】（1）由，结合正弦定理得，
因为，代入整理即得，
故，．解得．
（2）由，得．
由，由题设得，
由余弦定理知，即，
即，所以．
【名师点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值．
41．在中，，，分别为内角，，所对的边，已知，其中为外接圆的半径．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
【试题来源】浙江省宁波市2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）首先利用正弦定理，边角互化表示，代入条件求解；（2）因为，根据条件求，再求，最后求三角形的面积．
【解析】（1）由正弦定理得有，
又，故，．
（2）由题得，故，
又，则，．，
．
【名师点睛】本题关键的变形是利用正弦定理边角互化，用到的公式包含，，，以及．
42．的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的最小值．
【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题中条件，由正弦定理将原式化为，整理后结合余弦定理，即可得出结果；（2）由（1）先求出，根据三角形面积，得到，根据，利用基本不等式，即可求出最值．
【解析】（1）由，
因为，所以，
由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得；
（2）由，得，因为，所以，
由得，
所以，当且仅当时，等号成立．
又，当且仅当时，等号成立．
所以，当且仅当时，等号成立．
即的最小值为．
【名师点睛】求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解．
43．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2a，3csinB=4asinC．
（1）求cosB；
（2）求的值．
【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由正弦定理化角为边，再结合，把用表示，然后由余弦定理得．（2）由同角关系求出，利用二倍角公式求得，再由两角和的正弦公式求得结论．
【解析】（1）因为3csinB=4asinC，由正弦定理得，所以，
又，所以，所以．
（2）因为，所以，
，，
所以．
44．已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）在中，，，且的面积为，求的值．
【试题来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试（理）
【答案】（1），单调递增区间为；（2）1．
【分析】（1）化简解析式即可得，求出最小正周期，利用整体法求出单调增区间；（2）由，求出，再利用面积公式以及余弦定理代入求解出，利用正弦定理求出．
【解析】（1），
，由，得单调递增区间为
（2）由，所以，所以，
因为，所以，所以，即．
由的面积为，所以，所以．
由余弦定理可得，可得，
联立解得；或．所以．
所以．所以．
【名师点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到的形式．
45．已知向量与共线，其中A是的内角．
（1）求角A的大小；
（2）若BC=2，求面积S的最大值．
【试题来源】贵州省黔西南州兴义市第二高级中学2021届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】根据向量与共线，得到，再利用二倍角公式和辅助角公式化简得到求解．
（2）结合（1）和BC=2，利用余弦定理得到，再利用基本不等式得到，由求解．
【解析】（1）因为向量与共线，
所以，所以，
所以，即，所以，
因为，所以．
（2）由余弦定理得，
即，由基本不等式得，
即，当且仅当时，取等号，
所以的面积，
所以的面积的最大值是．
【名师点睛】三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：（1）以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；（2）根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．