专题23 数列（解答题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题23 数列（解答题）（新高考地区专用）（解析版），共47页。试卷主要包含了已知数列满足且，数列是等比数列，前n项和为，，，在①对任意满足；②；③，已知等差数列的前项和为，且，已知数列满足，且等内容，欢迎下载使用。
专题23 数 列（解答题）
1．已知数列满足且．
（1）证明数列是等比数列；
（2）设数列满足，，求数列的通项公式．
【试题来源】黑龙江省大庆市铁人中学2020-2021学年高三上学期阶段考试（文）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由题可得，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得，可得，利用累加法即可求得数列的通项公式．
【解析】（1）因为，所以，即，
所以是首项为1公比为3的等比数列；
（2）由（1）可知，所以，
因为，所以，
，，……，，，
各式相加得，
又，所以，
又当n=1时，满足上式，所以.
2．设{an}是等差数列，(n∈N*)；是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)．已知，，b5=a3+a5，b7=a4+2a6．
（1）求Sn与an；
（2）若，求数列的前项和．
【试题来源】海南省海口市海南中学2021届高三上学期第四次月考
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）首先根据已知条件得到，解得，从而得到，根据，解方程组即可得到．（2）首先根据，得到前项和为，再分类讨论求数列的前项和．
【解析】（1）设等比数列的公比为，且．
由，，可得，
因为，可得，所以．
所以，解得，．
（2）因为，前项和为，
当时，，所以，当时，，
所以
．
所以．
3．数列是等比数列，前n项和为，，．
（1）求；
（2）若，求．
【试题来源】河北省张家口市2021届高三上学期期末教学质量监测
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）时，化简可得，利用等比数列的通项，计算即可求得；（2）由利用错位相减法计算即可求得．
【解析】（1）由，
当时，两式相减，得．
因为是等比数列，所以，又；
（2），，得；
两式相减，得．

4．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列的前n项和．
【试题来源】宁夏固原市隆德县2021届高三上学期期末考试（理）
【答案】（1） （2）
【分析】（1）利用等比中项的性质可得，代入可求得的值，代入，可求出的值，从而求出通项公式．（2）把代入可得，取到数裂项相消可求出的前项和．
【解析】（1），即，所以，因为，所以，
因为，所以，所以．所以；
（2） 因为所以 ，
，设数列的前项和为，
则，
所以的前项和为．
【名师点睛】裂项相消时注意前后的保留项
（1）前面保留的项数和后面保留的项数要一致；
（2）裂项相消时注意常数的提取，一般情况下分母的差是几，所提常数就是几．
5．已知数列是首项的等比数列，其前项和中成等差数列，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若是的前n项和，求．
【试题来源】吉林省长春外国语学校2021届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先由题设求得等比数列的公比，再根据求得其通项公式；
（2）先由（1）求得，再利用等差数列的前项和公式求得其前项和即可．
【解析】（1）由题设可得，，
公比，又，；
（2）由（1）可得，．
6．已知公比大于0的等比数列的前项和为，，是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【试题来源】海南省2021届高三年级第二次模拟考试
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设数列的公比为，依题意得到方程，求出，从而求出数列的通项公式；（2）由（1）可得的通项公式，再利用错位相减法求和即可；
【解析】（1）设数列的公比为．
由题意知，即，化简得，
因为，所以．所以．
（2）由（1）可知．所以，①
，②
由，可得，
所以．
【名师点睛】数列求和的方法技巧
（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
7．已知各项均为正数的等差数列中，，，成等比数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【试题来源】安徽省池州市2020-2021学年高三上学期期末（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用等比中项以及等差数列的通项公式即可求解．
（2）利用裂项相消法即可求解．
【解析】（1）设等差数列的公差为．
因为，，成等比数列，所以，
即，整理可得或，
而，且，所以，解得，
所以，即数列的通项公式；
（2）由（1）可得，
所以
．
【名师点睛】裂项相消法求数列和的常见类型：
（1）等差型，其中是公差为的等差数列；
（2）无理型；
（3）指数型；
（4）对数型．
8．在①对任意满足；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列的前n项和为__________，若数列是等差数列，求出数列的通项公式；若数列不是等差数列，说明理由．
【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身
【答案】答案见解析
【解析】若选择条件①：因为对任意，，满足，
所以，即，
因为无法确定的值，所以不一定等于，
所以数列不一定是等差数列．
若选择条件②：由，则，即，，
因为，所以，所以数列是等差数列，公差为，
因此数列的通项公式为．
若选择条件③：因为，所以，
两式相减得，，，即，
又，即，所以，，
又，，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以．
9．已知等差数列的前项和为，且
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和
【试题来源】贵州省黔西南州兴义市第二高级中学2021届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据，利用“”法求解．
（2）令，解得，然后分， 去掉绝对值，利用等差数列的前n项和公式求解．
【解析】（1）在等差数列中，因为，
所以，解得 ，
所以 ．
（2）令，解得，
当时，，当时，，
所以当时， ，
当时， ，
，
所以．
10．已知数列满足，且．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记，是数列前项的和，求证：．
【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；
【分析】（1）根据递推公式，得到，再由等比数列的概念，即可证明结论成立；（2）由（1）求出，根据裂项相消的方法求出，即可证明结论成立．
【解析】（1）因为，所以，又，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；；
（2）由（1）可得，则，
所以，
因此得证．
11．已知正项等比数列满足，，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前100项和．
【试题来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先由题设求得数列的公比，进而求得与，再由，，成等差数列求得；（2）先由（1）求得，再利用裂项相消法求得其前100项和．
【解析】（1）设公比为，因为，所以，解得，
所以，
因为，且，，成等差数列，所以；
（2）由（1）可得，
所以．
12．已知正项数列的前项和为，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且，求数列的前项和．
【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2021届高三上学期第三次月考（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由递推关系可得数列是首项为，公差为的等差数列，则可求得通项公式；（2）可得，利用错位相减法可求得．
【解析】（1）当时，，因为，所以，
由，① 可得，②
②-①得，，整理得，
所以，因为，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以；
（2）因为，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
于是，③
④
③-④得

所以．
【名师点睛】数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和．
13．已知是数列的前项和，，且，其中
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，，记数列的前n项和为，求证：．
【试题来源】海南省海口市海南中学2021届高三上学期第四次月考
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）由递推关系可得出是以为首项，2为公差的等差数列，即可求出通项公式；（2）先求出和，再由裂项相消法可求出，根据是递增数列即可证明．
【解析】（1）当时，有，两式相减可得
因为，所以，
当时，由，可得，所以，
所以，则数列是以为首项，2为公差的等差数列．
所以；
（2）可得，，
则：，
，
，
可得是递增数列，所以，即．
【名师点睛】利用和求通项的步骤：
（1）当时，利用求出；
（2）时，将替换为，得到关于的式子；
（3）将两式相减，利用得到关于的通项公式或递推关系；
（4）利用递推关系求出数列通项公式；
（5）验证是否满足通项即可得出答案．
14．已知等比数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列及数列的前n项和．
【试题来源】天津市红桥区2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据已知条件求出数列的首项和公比，即可得出通项公式；
（2）先求出等比数列的前n项和，即可，再利用错位相减法即可求出．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由，可得，＝9，
由，可得q＝3，由，可得，可得，
可得；
（2）由，可得，
由，可得，可得bn＝n，
可得的通项公式：，
可得①
②
①﹣②得，
可得．
15．设数列､的前项和分别为､，且，，
（1）求数列､的通项公式；
（2）令，求的前项和．
【试题来源】宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第三次月考（期末）（理）
【答案】（1），（2）
【分析】（1）利用可求得；利用可得，可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可得；（2）根据错位相减法可求得结果．
【解析】（1）由得，
当时，，
当时，也适合，故．
由得，得，
当时，，得，
又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．综上所述：，．
（2），
所以，
所以，
所以，
所以
，
所以．
16．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期第三次月考（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公差为，有，解得，
所以，，故数列的通项公式为；
（2）由（1）有，有，
两边乘以，有，
两式作差有，
因此，．
17．由整数构成的等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的通项公式为，将数列，的所有项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时、放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列，，，，，，，，，……，求数列的前项和．
【试题来源】湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，设数列的公差为，
因为，可得，
整理得，即，解得或，
因为为整数数列，所以，
又由，可得，所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，数列的通项公式为，又由数列的通项公式为，
根据题意，新数列，，，，，，，，，……，则

．
【名师点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：
（1）通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
（2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决．
18．已知数列的前项和，数列满足，且．
（1）求证数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求证：．
【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析．
【分析】（1）先证明，可得数列为等比数列，求出即可求数列的通项公式；（2）先求出，结合（1）可得，再利用错位相减法可得结论．
【解析】（1）因为，所以，
所以数列为首项，公比为3的等比数列，
所以，所以．
（2）因为数列的前项和，所以，
当时，，
时，也适合，综上，，
，设，
，，
．
【名师点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以．
19．已知等比数列满足，．
（1）求数列的前n项和
（2）若数列满足，且，
①求的通项公式：
②求．
【试题来源】天津市和平区2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）（2）①②
【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据等比数列的求和公式可得结果；（2）根据错位相减法可求得结果．
【解析】（1）设等比数列的公比为，则，解得，
所以．
（2）①因为，
所以时，，
两式相减得，即，
又，且，所以，，
所以，即，
所以数列是常数数列，所以，即．
②由（1）知，令，
即，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即
【名师点睛】掌握等比数列的求和公式以及错位相减法是解决本题的关键．
20．已知等差数列满足，，的前项和为．
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）令，求数列的前项和．
【试题来源】天津市静海区瀛海学校2020-2021学年高三上学期10月检测
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）设公差为，由题可得，则，从而算出的通项公式及前项和；（2），采用裂项相消法求解．
【解析】（1）设公差为，由得，所以，
则，所以，
，所以，
（2），


【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，
常见的裂项技巧：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．
21．已知数列的前项和为．
若为等差数列，，，求和的表达式；
若数列满足，求．
【试题来源】广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟
【答案】，；．
【分析】设等差数列的通项公式，并结合条件列式求解即可；
根据题干再构造出一组求和，两式做差得到，分步讨论进而得出．
【解析】设等差数列的通项为（为等差数列的公差），则，解得，
所以，．
，①
当时，，②
由①②得，，，当时，，，
所以当时，；
当时，；
当时，，所以．
【名师点睛】本题考查等差数列通项、前项和的求法，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．求数列通项、前项和的方法如下：
判断数列是等差数列还是等比数列，列出相应通项公式；
根据和之间的关系，求得（讨论符合的取值）；
判断数列是等差数列还是等比数列，列出前项和的式子．
22．已知数列满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【试题来源】四川省乐山市2020-2021学年高三上学期第一次调查研究考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）结合前项和与通项公式的关系分和两种情况求解即可；
（2），进而根据裂项求和法得结果．
【解析】（1）因为数列满足：，
所以，当时，，当时，，
相减可得，所以，综上可得，．
（2）因为
．
所以
．
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：
（1）利用数列项与和的关系，求得通项，注意需要对首项验证；
（2）将化简，利用裂项相消法求和即可．
23．已知数列满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，试比较与的大小．
【试题来源】四川省内江市高中2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）结合前项和与通项公式的关系分和两种情况求解即可；
（2）先验证，再讨论时，，进而根据裂项求和法得．
【解析】（1）因为数列满足：，
所以，当时，，当时，，
相减可得，所以，综上可得，
（2）因为，所以
时，．
所以
，
综上，对都有，．
【名师点睛】本题第二问解题的关键在于当时，，进而根据列项求和法求解即可，考查运算求解能力，是中档题．
24．已知数列的前n项和为，各项均为正数的等比数列的前n项和为，________，且．
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求证：．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【试题来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期未
【答案】条件选择见解析；（1），；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据，利用数列通项和前n项和关系求得，选①，由求解；若选②，则，由求解；若选③，由求解．（2）根据，利用错位相减法求和．
【解析】（1）当时，，当时，，
时也成立，，若选①，设的公比为q，，
，，则．
若选②，则，，，则．
若选③，则，则，，，．
（2）．
④，
⑤，
得，
，
所以，
【名师点睛】求数列的前n项和的方法
（1）公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；
（2）分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
（4）倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
（5）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解．
（6）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
25．已知等差数列和等比数列满足，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前项和．
【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为 ，由条件可得，解出可得答案．（2）分析的前项中含有的项数为7时，由得出不可能，则的前项中含有的前项且含有的前项，再分组求和即可．
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为 ，
由，所以，
所以，，所以，；
（2）当的前项中含有的前项时，令，
此时至多有项(不符)，
当的前项中含有的前项时，令，
则的前项中含有的前项且含有的前项，
所以.
【名师点睛】本题考查等差数列和等比数列中基本量的计算和数列分组求和，答本题的关键是分析出的前项中含有和各多少项，即若的前项中含有的前项时，令不能，从而得出的前项中含有的前项且含有的前项，分组求和即可，属于中档题．
26．已知数列的前n项和为，且()．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且数列的前n项和为，求数列的n项和；
（3）设，求数列的前n项和．
【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先由题设求得数列的首项，然后推导出数列的相邻项之间的关系式，即可求得其通项公式；（2）依题意求出的通项公式，即可求出的前n项和为，再利用裂项相消法求出数列的n项和；（3）依题意可得，再利用错位相减法求和即可.
【解析】（1）数列的前项和为，且()，
即，当时，，解得，
当时，，整理得，
数列是首项、公比均为3的等比数列，；
（2）由（1）可得，所以数列的前n项和，
则，设数列的n项和为，
所以

（3）由（1）（2）可知
所以①；
②
①减②得
所以
，
所以.
27．已知数列是等差数列，是数列的前n项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和．
【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据等差数列的性质知，即可求得，结合条件可求得公差，，进而可求得；（2）根据条件及求得，根据裂项相消法求和．
【解析】（1）因为，所以，而，设数列的公差为，
则，，；
（2），
，
．
【名师点睛】本题的关键是等差数列中基本量的计算问题，另外求数列的前项和的求解时利用裂项相消的方法．
28．已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设等差数列的前项和为，且，令，求数列的前项和．
【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题
【答案】（1）；（2） ．
【解析】（1）当时，，；
当时，由，①
得，②
①②得，，，也符合，
因此，数列的通项公式为；
（2）由题意，设等差数列的公差为，
则，
，解得，，；
由（1）知，，
故
．
29．在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答．
已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【试题来源】江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末
【答案】条件性选择见解析，（1），；（2）
【解析】（1）选择①②：由当时，有，
两式相减得，即，．
又当时，有，因为，所以，也适合，
所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；
选择：②③：由当时，，
两式相减得，即，．
又当时，有，因为，所以，也适合，
所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；
选择①③：由，，则
即，所以，
两式相减可得，
当时，由，得，即，即
由，得，即，与上式相同，不能求出的值．
故不能选择①③；
所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；
设正项等差数列的公差为，因为，且，，成等比数列，
所以，即，解得或（舍），
所以，故，．
（2），所以，
则，
两式相减得
．
所以.
30．设数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）不等式，求的最小值．
【试题来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评
【答案】（1）；（2）7．
【分析】（1）给出 与 的递推关系，可利用转化为的递推关系，再求其通项公式．（2）代入的通项公式，求出，解不等式即可．
【解析】（1）由，当得，即
当，，于是，
即，即，所以，；
（2）所以，
由得，，
故即，故整数的最小值为7．
【名师点睛】给出 与 的递推关系，求，常用思路是一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出与之间的关系，再求．
31．已知为等差数列的前项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【试题来源】吉林省四平市公主岭市范家屯镇第一中学两校联考2021届高三上学期期末（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据，，利用等差数列的通项公式以及前项和公式求解．
（2）由（1）得到，利用数列求和的错位相减法求解．
【解析】（1）因为， 所以，
解得，所以．
（2）由（1）得，则，
，
两式相减得
，所以．
32．在①，；②；③，．从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．
已知数列是等差数列其前项和为，，若_________．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．)
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意的，将中落入区间内项的个数记为，求数列的通项公式和数列的前项和．
【试题来源】江苏省宿迁中学、如东中学、阜宁中学三校2020-2021学年高三上学期八省联考前适应性考试
【答案】条件选择见解析；（1）；（2），．
【分析】（1）①中的条件直接化为基本量，构造方程组的方法即可求解；②利用，可得，两式相减即可得；③利用公式法求解；（2）利用条件得的范围，即可求得的通项公式，然后利用分组求和法求解数列的前项和．
【解析】（1）若选择条件①，设的公差为，
因为，因为，因为，
所以，所以，，．
若选择条件②，因为，所以，
两式相减得，因为是等差数列，所以，
所以，所以．
因为，所以，所以，所以，所以．
若选择条件③，因为时，，当时，，
又，两式相减得，
因为，所以，所以，所以通项公式为．
（2）因为，所以，所以，
因为，所以，所以．
因为，
所以
．
33．设等差数列的前n项和为，首项，且．数列的前n项和为，且满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【试题来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）设数列的公差为d，利用已知条件求出公差，即可得数列的通项公式；利用可得，两式相减得到，即可求出的通项公式；（2）设，利用错位相减法求和即可．
【解析】（1）设数列的公差为d，且，
又，则，
所以，则；
由可得，
两式相减得，，
又，所以，
故是首项为1，公比为3的等比数列，所以．
（2）设，记的前n项和为．
则，，
两式相减得，
，所以．
34．已知数列的前n项和，是递增等比数列，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【试题来源】山西省太原市2021届高三上学期期末（理）
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）首先根据与的关系求数列的通项公式，再根据条件求等比数列的基本量，求数列的通项公式；（2），利用错位相减法求和．
【解析】（1）当时，；
当时，；
当n=1时符合上式，所以；
所以，，所以数列的公比，
所以；
（2）由（1）可得，所以
，①
，②
①-②，整理得．
【名师点睛】本题考查已知数列与的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1．公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；2．错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3．裂项相消法求和，适用于能变形为， 4．分组转化法求和，适用于；5．倒序相加法求和．
35．已知等差数列的公差为正数．，其前n项和为，数列为等比数列，，且，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
（3）设，，求数列的前2n项和．
【试题来源】天津市河北区2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1），（2）（3）
【分析】（1）等差数列的公差d为正数，数列为等比数列，设公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；
（2）由错位相减法求数列的前n项和即可；（3）由，化简得，由数列的分组求和与裂项相消求和即可．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则，解得，所以，．
（2）由（1）得，
，
，两式相减得，

，．
（3）由（1）知．
所以，
设数列的前2n项和为，
所以．
．
【名师点睛】数列通项为等差等比数列乘积的形式，求和一般都要利用两边同乘以等比数列的公比后，两式作差后求和，即错位相减法；数列通项为分式时，可考虑将分式变形为两项之差，利用相加相消的方法求和，即裂项相消法．
36．数列的前n项之和为，，(p为常数)
（1）当时，求数列的前n项之和；
（2）当时，求证数列是等比数列，并求．
【试题来源】贵州省贵阳市普通中学2021届高三上学期期末监测考试（文）
【答案】（1）；（2）证明见解析，．
【分析】（1）由已知条件判定数列为等差数列，求得通项公式，进而得到，利用裂项求和法进一步求得；（2）在已知递推关系两边同时加上1，可以证得数列为等比数列，求得通项公式，进而利用分组求和法和等比数列的求和公式计算．
【解析】（1）当， ，
数列为等差数列，公差，又，
，，
，数列的前n项之和
；
（2）当时，，，又，，
所以数列是首相为2，公比为2的等比数列，，，

．
【名师点睛】本题考查等差数列的判定与求和，等比数列的判定与求和，裂项求和法和分组求和法，难度不大．关键是掌握裂项相消求和方法和利用定义证明等比数列．
37．已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且．
（1）求的通项公式：
（2）设数列满足，并记为的前n项和，求．
【试题来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）令，结合可得，由，
可得，两式相减可得即可求的通项公式；
（2），利用分组并项求和，以及等差和等比数列求和公式即可求解．
【解析】（1）由，即，
因为，所以，
由，，可得，
两式相减可得，
得，又，得，
所以是首项为2公差为3的等差数列，
故的通项公式为．
（2）

．
【名师点睛】数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解．
38．已知正项等比数列，，；数列的前项和满足．
（1）求，；
（2）证明：．
【试题来源】浙江省宁波市2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）；；（2）证明见解析．
【分析】（1）由题设求出数列的基本量，即可确定；再由确定；
（2）用错位相减法整理不等式左侧即可证明．
【解析】（1）设正项等比数列的公比为，由，得，
解得或（舍），又，由，得，
时，，
则；
（2），
设，
则，
，
两式相减得
得，得.
【名师点睛】当数列满足，为等差数列，为等比数列时，数列的前项求和可用错位相减法．
39．已知数列是等差数列，其前n项和为，且，．数列为等比数列，满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和．
【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（理）
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）根据题意列出首项和公差的式子即可求出通项公式，再求出的首项和公比即可得出；（2）利用分组求和结合裂项相消法即可求出．
【解析】（1）设数列的公差是d，数列是的公比是q．
由题意得，所以，所以；
所以，，
所以，所以，
（2）由（1）知
所以


．
40．已知数列是等差数列，其前n项和为，且，．数列为等比数列，满足，．
（1）求数列、的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和．
【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文）
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）由等差、等比数列的通项公式列出方程组求出首项和公差、公比，即可得出通项公式；（2）先得出数列的通项公式，再由裂项相消求和法得出前n项和．
【解析】（1）设数列的公差是，数列的公比是．
由题意得，所以，所以；
所以，，
所以，所以，
（2）由（1）知
所以

．
【名师点睛】在第二问中，关键是将数列的通项公式变形为，由裂项相消求和法得出前n项和．
41．已知数列是等差数列，是数列的前n项和，，．
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【试题来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试（理）
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）根据条件列出式子求出数列的首项和公差，即可求出通项公式和前n项和；（2）可得，利用裂项相消法即可求出．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
，；
（2），
．
42．已知数列满足，，，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和为，求证：．
【试题来源】浙江省嘉兴市2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据已知，表示出，然后代入计算可得，所以证明出数列是等差数列，求出首项，利用等差数列通项公式计算；（2）表示出，然后利用裂项相消法计算前项和，再判断出数列的单调性，即可证明．
【解析】（1）当时，因为，，
所以，
所以数列为首项为，公差为的等差数列．
又，，所以，解得．
（2）因为，所以．
所以
，
即，显然，另一方面，
，
故数列是递增数列，所以，因此，．
43．已知正项数列的前n项和为，，当且时，．
（1）求数列的通项公式；
（2）请判断是否存在三个互不相等的正整数p，q，r成等差数列，使得，，也成等差数列．
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期第三次月考（理）
【答案】（1）；（2）不存在．
【解析】（1）当且时，有，可得，
由，满足该式，
可得当时，有，平方后可得
当且时，有，
可化为，有，
由，有，可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
有，故数列的通项公式为；
（2）由题意有，又由（1）可知，
有
。
由，有，，
有，可得，
故不存在三个互不相等的正整数p，q，r成等差数列，使得，，也成等差数列．
【名师点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an．
44．已知各项都为正数的数列满足．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，求的通项公式．
【试题来源】2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）
【答案】（1）证明见解析；（2）（）
【解析】（1）由可得
因为各项都为正数，所以，
所以是公比为3的等比数列．
（2）构造，整理得
所以，即
所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列．
所以（）
【名师点睛】本题关键点在于第（2）问中的待定构造，能够根据特征，构造出是关键．
45．已知数列的通项公式为，在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，设该等差数列的公差为，数列的前项和为．
（1）求的通项公式及．
（2）证明：当时，．
【试题来源】安徽省阜阳市2020-2021学年高三上学期教学质量统测（文）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据题意得，结合化简即可得出的通项公式，运用裂项相消法求出；（2）由（1）得通过观察及证明的不等式发现，借助放缩法和等差数列求和公式即可得证．
【解析】（1）解：由题意可得，，
即，所以．
因为，
所以．
（2）证明：当时，，所以，
则，
即.
【名师点睛】裂项相消法求和的实质和解题关键
裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止；
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．