北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试优秀课后复习题

第一章 三角形的证明检测卷

时间：120分钟　　　　　满分：120分

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(　　)

A．4，5，6                  B．2，3，4

C．1，1，                D．1，2，2

2．若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则它的最长边与最短边的比为(　　)

A．3∶1        B．2∶1        C．3∶2         D．4∶1

3．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，若BE＝3，则DE的长为(　　)

A．3      B．4        C．5        D．无法求出

第3题图                               第4题图

4．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　　)

A.m      B．4m      C．4m      D．8m

5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，Q是射线OM上的一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为(　　)

A.      B．2      C．3      D．2

第5题图                            第6题图

6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E，AE＝2，则CE的长为(　　)

A．1         B.         C.         D.

7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，AM＝AC，BN＝BC，则MN的长为(　　)

A．2        B．2.6        C．3        D．4

第7题图               第8题图

8．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(　　)

A．8    B．6    C．4    D．2            

9．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是(　　)

A．1.5    B．2    C．2.5    D．3

10．如图，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AD＝CD＝7，若点P到AC的距离为5，则点P在四边形ABCD边上的个数为(　　)

A．0   B．2    C．3    D．4

二、填空题(每小题3分，共24分)

11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边上的中线CD＝3，则斜边AB的长是________．

12．已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，且AD＝3，AC＝6，则

AB＝________．

13．如图，∠D＝∠C＝90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△ABC，你添加的条件是____________．

第13题图                         第14题图

14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到直线AB的距离是________cm.

15．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝

4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为________米.(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)

第15题图                      第16题图

16．在底面直径长为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图的圈数缠绕，则丝带的最短长度为________cm(结果保留π)．

17．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC边上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，则△ABC的周长等于________cm.

第17题图                               第18题图

18．如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，AP＝____________．

三、解答题(共66分)

19．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得到四边形ABCE.求证：EC∥AB.

20．(8分)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．

已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，________________________________________．

求证：________．

请你补全已知和求证，并写出证明过程．

21．(10分)如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.

(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；

(2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由．

22．(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.求证：

(1)CF＝EB；

(2)AB＝AF＋2EB.

23．(10分)如图，一根长6的木棒(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，与地面的倾斜角(∠ABO)为60°.当木棒A端沿墙下滑到点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′.

(1)求OB的长；

(2)当AA′＝1时，求BB′的长．

24．(10分)如图，在Rt△ABC中，AB＝CB，ED⊥CB，垂足为D，且∠CED＝60°，∠EAB＝30°，AE＝2，求CB的长．

25．(12分)如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我国边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我国领海靠近，便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经测量AC＝10海里，AB＝6海里，BC＝8海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我国领海？

参考答案

1．C　2.B　3.A　4.B　5.C　6.A　7.D　8.C　9.D　

10．A　【解析】如图，过点D作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F.在Rt△ABC中，AC＝＝10，BF＝＝4.8＜5；在△ACD中，∵AD＝CD，∴AE＝CE＝5，DE＝＝2＜5，则点P在四边形ABCD边上的个数为0．故选A.

11．6　  12.12　  13.AC＝AD(答案不唯一)      14．2　   15.2.9

16．3　【解析】如图，∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，∴展开后AB＝1.5×2π＝3π(cm)，BC＝3cm，由勾股定理，得AC＝＝＝3(cm)．

17．12　【解析】由AB·CE＝BC·AD，得8AB＝6BC.设BC＝8xcm，则AB＝6xcm，BD＝4xcm.在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2，∴(6x)2＝62＋(4x)2，解得x＝.∴△ABC的周长为2AB＋BC＝12x＋8x＝12(cm)．

18．3或3或3　【解析】当∠APB＝90°时，分两种情况讨论．情况一：如图1，∵AO＝BO，∴PO＝BO.∵∠1＝120°，∴∠PBA＝∠OPB＝×(180°－120°)＝30°，∴AP＝

AB＝3；情况二：如图2．∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝BO.∵∠1＝120°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，∴∠OBP＝60°，∴∠A＝30°，BP＝AB＝3，∴由勾股定理，得AP＝＝3；当∠BAP＝90°时，如图3，∵∠1＝120°，∴∠AOP＝60°，∴∠APO＝30°.∵AO＝3，∴OP＝2AO＝6，由勾股定理得AP＝＝3；当∠ABP＝90°时，如图4，∵∠1＝120°，∴∠BOP＝60°.∵OA＝OB＝3，∴OP＝2OB＝6，由勾股定理得PB＝＝3，∴PA＝＝3.综上所述，当△APB为直角三角形时，AP为3或3或3.

19．【证明】∵CD是AB边上的中线，且∠ACB＝90°，

∴CD＝AD，∴∠CAD＝∠ACD.

又∵△ACE是由△ACD沿AC边所在的直线折叠而成的，

∴∠ECA＝∠ACD，∴∠ECA＝∠CAD，∴EC∥AB.

20. 【解】PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.PD＝PE.证明如下：

∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO＝∠PEO＝90°.

在△PDO和△PEO中，

∴△PDO≌△PEO(AAS)，

∴PD＝PE.

21.【解】(1)全等．理由如下：

∵∠1＝∠2，∴DE＝CE.

∵∠A＝∠B＝90°，AE＝BC，

∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)．

（2）△CDE是直角三角形．理由如下：

∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠AED＝∠BCE.

∵∠BCE＋∠BEC＝90°，∴∠BEC＋∠AED＝90°，

∴∠DEC＝90°，∴△CDE是直角三角形．

22.【证明】(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.

在Rt△DCF和Rt△DEB中，

∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)，∴CF＝EB.

（2）在Rt△ADC与Rt△ADE中，

∵∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，∴AC＝AE，

∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.

23.【解】(1)∵OA⊥OB，∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，

∴BO＝AB＝×6＝3.

（2）在Rt△ABO中，AO＝＝9，

∴A′O＝AO－AA′＝9－1＝8.

又由题意可知A′B′＝AB＝6.

在Rt△A′OB′中，B′O＝＝2，

∴BB′＝B′O－BO＝2－3.

24. 【解】如图，过E点作EF⊥AB，垂足为F.

∵∠EAB＝30°，AE＝2，∴EF＝1，∴BD＝1.

又∵∠CED＝60°，ED⊥BC，∴∠ECD＝30°.

而AB＝CB，AB⊥BC，∴∠EAC＝∠ECA＝45°－30°＝15°，

∴CE＝AE＝2.

在Rt△CDE中，∠ECD＝30°，

∴ED＝1，CD＝＝，

∴CB＝CD＋BD＝1＋.

25.【解】∵AB＝6海里，BC＝8海里，

∴AB2＋BC2＝100＝BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.

又∵S△ABC＝AC·BD＝AB·BC，

∴×10×BD＝×6×8，∴BD＝4.8海里．

在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝82－4.82，

∴CD＝6.4海里，

∴可疑船只从被发现到进入我国领海的时间为6.4÷12.8＝0.5(时)，

∴可疑船只最早10时58分进入我国领海．