专题26 双曲线（解答题）（新高考地区专用）（原卷版）

专题26   双曲线（解答题）

1．已知中心在原点的双曲线的右焦点为，实轴长为2．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若直线：与双曲线的左支交于､两点，求的取值范围．

2．已知双曲线．

（1）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程；

（2）若直线与双曲线交于A、B两点，且A、B的中点坐标为（1，1），求直线的斜率．

3．已知点和，动点到，两点的距离之差的绝对值为2，记点的轨迹为．

（1）求轨迹的方程；

（2）设与直线交于两点，，求线段的长度．

4．已知中心在原点的双曲线的一个焦点，一个顶点为．

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与双曲线的左右两支各有一个交点，求的取值范围．

5．已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点

（1）求双曲线的方程；

（2）设双曲线两条渐近线分别为，已知直线交，于两点，若直线与轨迹有且只有一个公共点，求的面积

6．在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中．

（1）求的值；

（2）若双曲线渐近线的斜率小于，求和的取值范围．

7．已知双曲线经过点且实轴长是半焦距的．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若直线l与双曲线C交于P，Q两点，且线段PQ的中点为，求直线l的方程．

8．设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为．

（1）求这两曲线方程；

（2）若P为这两曲线的一个交点，求的值．

9．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．

（1）求双曲线的方程；

（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为与双曲线交于两点，求的面积．

10．双曲线C的一条渐近线方程是x－2y＝0，且双曲线C过点(，1)．

（1）求双曲线C的方程；

（2）设双曲线C的左、右顶点分别是A1，A2，P为C上任意一点，直线PA1，PA2分别与直线l：x＝1交于M，N，求|MN|的最小值．

11．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为4．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l：y＝kx＋2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围．

12．已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线在轴上方交上双曲线于点，且，的面积为．

（1）求双曲线的方程；

（2）过双曲线实轴右端点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值．

13．已知双曲线，过点，离心率为．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知点，过点N的直线交双曲线C于A、B两点，且求直线AB的方程.

14．过双曲线的右焦点F作斜率为2的直线l，交双曲线于A，B两点．

（1）求双曲线的离心率和渐近线；

（2）求的长．

15．已知双曲线：的实轴长为4，一条渐近线方程为．

（1）求双曲线的方程；

（2）直线：与双曲线相交于不同两点，求实数的取值范围．

16．已知双曲线的渐近线倾斜角分别为和，为其左焦点，为双曲线右支上一个动点．

（1）求的取值范围，并说明理由；

（2）过点分别作两渐近线的垂线，垂足分别为，求证：为定值．

17．已知分别是双曲线C：的左、右焦点，点P是双曲线上一点，满足且．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若直线l交双曲线于A，B两点，若的中点恰为点，求直线l的方程．

18．已知双曲线C的焦点F(，0)，双曲线C上一点P到F的最短距离为．

（1）求双曲线的标准方程和渐近线方程；

（2）已知点M(0，1)，设P是双曲线C上的点，Q是P关于原点的对称点．设λ=，求λ的取值范围．

19．已知，，直线，相交于点．且它们的斜率之积是3．

（1）求点的轨迹的方程．

（2）过点能否作一条直线与轨迹交于两点，且点是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由．

20．双曲线，､为其左右焦点，曲线是以为圆心且过原点的圆．

（1）求曲线的方程；

（2）动点在上运动，满足，求的轨迹方程．

21．已知双曲线的左、右焦点分别为，．

（1）求与双曲线C有共同渐近线且过点的双曲线标准方程；

（2）若P是双曲线C上一点，且，求的面积．

22．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线C上．

（1）求双曲线C的方程；

（2）记O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若的面积为，求直线l的方程．

23．（1）已知双曲线的左、右顶点分别为，点，点是双曲线上不同的两个动点，求直线与直线的交点的轨迹的方程；

（2）设直线交轨迹于两点，且直线与直线交于点，若，试证明为的中点．

24．已知双曲线：的离心率为，点是双曲线的一个顶点．

（1）求双曲线的方程；

（2）经过双曲线右焦点作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点，，求．

25．双曲线C：的左焦点为，点F到双曲线C的一条渐近线的距离等于a．

（1）求双曲线C的离心率；

（2）若，过点的直线l与双曲线C交于A，B两点，且P为线段的中点，试求直线l的方程．

26．双曲线：的左、右焦点分别为、，直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限．

（1）设为右支上的任意一点，求的最小值；

（2）设为坐标原点，求到的距离，并求与的交点坐标．

27．双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，．

（1）求的离心率；

（2）若在第一象限，证明：．

28．已知双曲线的焦距为，坐标原点到直线的距离是，其中，的坐标分别为，．

（1）求双曲线的方程；

（2）是否存在过点的直线与双曲线交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形?若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由．

29．设双曲线的方程为，、为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设（1）中所求轨迹为，、的离心率分别为、，当时，的取值范围．

30．已知双曲线过点，且右焦点为．

（1）求双曲线的方程；

（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，，求证：为定值；

（3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积.