专题15 空间几何体（客观题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题15 空间几何体（客观题）（新高考地区专用）（解析版），共52页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。
专题15 空间几何体（客观题）
一、单选题
1．如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm(不含杯脚)，已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变．如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠

A．98颗 B．106颗
C．120颗 D．126颗
【试题来源】湖北省黄冈市部分普通高中2020-2021学年高三上学期12月联考
【答案】D
【解析】作出圆锥的轴截面图如图，由题意，，，，

设，则，即．
则最大放入珍珠的体积，
因为一颗珍珠的体积是．由，最多可以放入珍珠126颗．选D.
2．已知正方体的所有顶点都在球O的表面上，若球的体积为，则正方体的体积为．
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市和平区2020-2021学年高三上学期期末
【答案】D
【分析】先求出球的半径，再根据正方体的棱长与其外接球半径的关系，求出正方体的棱长，即可求出正方体的体积．
【解析】球的体积为，即，解得，
设正方体的棱长为，由题意知，即，
解得，正方体的体积．故选D．
3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是

A． B．
C． D．
【试题来源】北京房山区2021届高三上学期数学期末试题
【答案】A
【解析】根据三视图可知，该四棱锥的直观图如图所示，底面为对角线长为2的正方形，与底面垂直的侧棱的长度为2，其体积为，故选A．

4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在我省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中有一道求“困盖”体积的题：困下周六丈高二丈，求积．即已知圆锥的底面周长为6丈，高为2丈，求圆锥的体积．《算数书》中将圆周率近似取为3，则该困盖的体积(单位：立方丈)约为
A．2 B．3
C．4 D．6
【试题来源】2020年湖北省普通高中学业水平合格性考试
【答案】A
【解析】设圆锥底面半径为，则，，
．故选A．
5．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是

A．6 B．3
C．4 D．8
【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是一个以直角梯形为底面，高为6的四棱柱，
所以体积为．故选A．

6．如图，已知四棱台的上下底面均为正方形，，则下述正确的是

A．该四棱台的高为 B．
C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台外接球的表面积为
【试题来源】四川省师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期期中（理）
【答案】D
【解析】将四棱台的侧棱延长，相交于点，形成四棱锥
设正方形和的中心分别为，如图所示：

A选项：由于，则分别为中点，
，，，
即四棱台的高为，故A错误；
B选项：连接（或其补角）、即直线与所成的夹角，
，是等边三角形，
，即与所成的夹角为，故B错误；
C选项：，，
则该四棱台的表面积，故C错误；
D选项：设该四棱台外接球的球心到上底面的距离为，
则，，所以，
解得，则外接球半径，
故该四棱台外接球的表面积，故D正确，故选D.
7．刍甍，中国古代数学中的一种几何体．《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．如图为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为

A．14 B．
C．16 D．
【试题来源】四川省峨眉第二中学校2020-2021学年高三上学期11月月考（理）
【答案】B
【分析】由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其需要覆盖的面积．
【解析】根据三视图画出其立体图形：如图，茅草覆盖面积即为几何体的侧面积，

根据立体图形可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．
其中，等腰梯形的上底长为2，下底长为4，高为；等腰三角形的底边长为2，高为，故侧面积为．
即需要茅草覆盖面积至少为，故选B．
8．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，今有一球的体积与该商鞅铜方升的体积相当，设球的半径为，则(单位：寸)的值约为

A．2.9 B．3.0
C．3.1 D．3.2
【试题来源】河南省2021届高三名校联盟模拟信息卷（文）
【答案】B
【解析】由三视图作出直观图，如图，易得商鞅铜方升是由一圆柱和一长方体组合而成，

故其体积，
设球的半径约为，则，得．故选B．
9．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知四棱锥为阳马，底面，其三视图如图所示，正视图是等腰直角三角形，其直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该阳马的表面积为

A． B．
C．8 D．
【试题来源】浙江省百校2020-2021学年高三上学期12月联考
【答案】A
【解析】由本题三视图知，该阳马是底面为正方形的四棱锥，两个侧面是等腰直角三角形，另外两个侧面是直角三角形，证明如下：平面，平面，所以，又，，所以平面，平面，
所以．同理．
所以．故选A．

10．已知三棱锥P-ABC满足：PC=AB=，PA=BC=，AC=PB=2，则三棱锥P-ABC的体积为
A． B．
C． D．
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高考适应性月考卷（三）（文）
【答案】B
【解析】因为PC=AB=，PA=BC=，AC=PB=2，构造长方体如图所示：

则为长方体的面对角线，
设，则，解得，所以三棱锥P-ABC的体积为
长方体的体积减去三棱锥的体积，
即，故选B．
11．某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】周口市商丘市大联考2020-2021学年第一学期高中毕业班阶段性测试（三）
【答案】C
【解析】解析设圆锥的母线长为，则侧面积，所以．
设圆锥的底面半径为，则，所以，
所以圆锥的高，因为，所以球心在圆锥的高上．
设外接球的半径为，由，得，解得，
所以球的表面积为．故选C．
12．如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，是线段的三等分点，且．若该三棱柱的外接球的表面积为，则

A． B．
C． D．
【试题来源】广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟
【答案】D
【分析】根据展开图，得到直观图为直三棱柱，求得底面的外接圆半径，由外接球体积求得外接球的半径，进而利用勾股定理求得球心到三棱柱底面的距离，乘以2即得三棱柱的高，即为的长．
【解析】由展开图可知，直三棱柱的底面是边长为的等边三角形，
其外接圆的半径满足，所以．由得．
由球的性质可知，球心到底面的距离为，
结合球和直三棱柱的对称性可知，，故选D．

13．已知长方体的两个底面是边长为的正方形，长方体的一条体对角线与底面成角，则此长方体的外接球表面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】宁夏平罗中学2021届高三上学期期末考试（文）
【答案】A
【解析】记该长方体为，为该长方体的一条体对角线，其与底面所成角为，因为在长方体中，侧棱底面，
则为与底面所成角，即，
因为长方体的两个底面是边长为的正方形，所以，
则，所以，又长方体的外接球直径等于其体对角线的长，
即该长方体外接球的直径为，
所以此长方体的外接球表面积为．故选A．
14．已知三棱锥的所有棱长都相等，点是线段上的动点，点是线段上靠近的三等分点，若的最小值为，则三棱锥外接球的表面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）（文）试卷
【答案】C
【分析】根据条件作出图示，将平面、平面展开后利用平面图形分析的最小值，结合余弦定理计算出三棱锥的棱长，再考虑三棱锥与正方体的关系，通过正方体的外接球求解出三棱锥的外接球的半径，从而表面积可求．
【解析】如下图所示：将平面，平面展开至同一平面，连接交于点，

故的值最小为，设三棱锥的棱长为，
则在中，，，，
由余弦定理可知，解得，
所以三棱锥的棱长为6，将该四面体置于正方体中，可得正方体的外接球即为四面体的外接球，如下图所示：

所以正方体的棱长为，所以正方体的外接球半径为，
故四面体的外接球半径为，外接球表面积．故选C．
【名师点睛】正四面体可以看成是正方体的三组对棱所构成的三棱锥，此时正四面体的棱长是正方体棱长的倍．
15．四面体中，，且异面直线与所成的角为．若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校2020-2021学年高三上学期11月联考
【答案】A
【解析】构建直三棱柱，设分别为的外心，连接，
取其中点，则为直三棱柱的外接球的球心，也为四面体的外接球的球心，因为异面直线与所成的角为，所以．

设三棱柱底面的外接圆半径为，则，，再由余弦定理，，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，
故四面体的体积的最大值为．故选A．
【名师点睛】本题解题关键是构建直三棱柱，再利用等体积法将转化为，进一步只需求出面积的最大值即可．
16．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦．弦者，葛之长”意思是今有丈长的圆木，其横截面周长尺，葛藤从圆木底端绕圆木周至顶端，问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股（直角三角形较长的直角边），木棍的长为勾（直角三角形较短的直角边），葛的长为弦（直角三角形的斜边）（注：丈尺）
A．尺 B．尺
C．尺 D．尺
【试题来源】大庆铁人、鸡西一中、鹤岗一中三校2020-2021学年高三上学期联考（理）
【答案】A
【解析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即木棍的高）为尺，矩形的底边长为（尺），因此葛藤长（尺）．故选A．

【名师点睛】对于空间几何体中最值问题的求解方法：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解．
17．《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是

A．8 B．16
C．24 D．28
【试题来源】江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】C
【解析】根据正八边形的性质可得，底面边长都相等，底面每个内角都为，
，，所以
，，，因为平面，
且，则平面，因为，所以共有4个阳马；同理，平面，共4个；平面，共4个；
平面，共4个；平面，共4个；
平面，共4个；故有24个阳马．故选C．

18．在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省广州市2021届高三上学期阶段训练
【答案】C
【解析】长方体中，平面，平面，所以，
又平面，平面，所以，
因为，所以平面，而平面，所以，
是正方形，所以是与交点，即为的中点，也是的中点．
是直角三角形，设是中点，是中点，则由可得平面（长方体中棱与相交面垂直），是的外心，三棱锥的外接球球心在直线上（线段或的延长线上）．
设，则，解得，
所以外接球半径为，表面积为．
故选C．

19．已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=，BC=，PC=，则该球的表面积为
A．6π B．8π
C．12π D．16π
【试题来源】四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试（文）
【答案】A
【解析】如图，三棱锥补体在长方体中，三棱锥的外接球就是补体后长方体的外接球，长方体的外接球的直径

，即，则该球的表面积．故选A.

【名师点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程．
20．已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，且，则该四棱锥外接球的表面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省泸州市2021届高三第一次诊断性考试（文）（一模）试题
【答案】C
【分析】由题意，可把四棱锥放置在如图所示的一个长方体内，得到四棱锥的外接球和长方体的外接球表示同一个球，结合长方体的性质，求得球的半径，根据球的面积公式，即可求解．
【解析】由题意，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，
且平面，可把四棱锥放置在如图所示的一个长方体内，

其中长方体的长、宽、高分别为，则四棱锥的外接球和长方体的外接球表示同一个球，设四棱锥的外接球的半径为，可得，解得，所以该四棱锥外接球的表面积为．故选C．
【名师点睛】解决与球有关的组合体的方法与策略：（1）一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体个元素的关系，结合球的截面的性质和，进行求解；（2）若球面上四点中两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定球的直径解决外接球问题．
21．已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，则该四棱锥外接球的表面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省泸州市2021届高三第一次教学质量诊断性考试（文）
【答案】C
【分析】由题意，可把四棱锥放置在如图所示的一个长方体内，得到四棱锥的外接球和长方体的外接球表示同一个球，结合长方体的性质，求得球的半径，根据球的面积公式，即可求解．
【解析】由题意，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，
且平面，可把四棱锥放置在如图所示的一个长方体内，
其中长方体的长、宽、高分别为，则四棱锥的外接球和长方体的外接球表示同一个球，设四棱锥的外接球的半径为，可得，解得，所以该四棱锥外接球的表面积为．故选C．

22．已知三角形的三个顶点在球的球面上，的外接圆圆心为，外接圆面积为，且，则球的表面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省济南市商河县第二中学2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】A
【解析】因为的外接圆面积为，所以圆半径为2，即因为，所以点为的重心，设，所以，即，所以，又平面，
所以，所以，即球的半径为4，所以球的表面积为．故选A.
23．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且的长分别为，又，侧面与底面成角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测
【答案】A
【解析】，当且仅当时取等号，
因为侧面与底面成角，则，，
，所以，故外接球的表面积为．故选A．
24．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期未
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
所以，故选A．
25．已知三棱锥，，，平面且，则此三棱锥的外接球的体积为
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】D
【分析】可得球心到平面ABC的距离等于PA的一半，由正弦定理可求得三角形ABC外接圆半径，即可根据勾股定理求得球半径，得出体积．
【解析】如图，设球心为，三角形ABC外接圆心为，
平面，，设球半径为，圆的半径为，
则在三角形ABC中，由正弦定理可得，即，
在直角三角形中，，即，解得，
则外接球的体积为．故选D．

26．某几何体的三视图均为如图所示的五个边长为单位1的小正方形构成，则该几何体与其外接球的表面积分别为

A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）
【答案】C
【解析】由三视图的几何体如图所示，可知几何体的表面积为，

设该几何体外接球的半径为，则，
所以该几何体外接球的表面积为．故选C．
27．在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为，则，
由于三棱锥的表面积为，所以，
所以，所以正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的体积为故选．
【名师点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．
28．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是，则

A． B．
C． D．
【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题
【答案】B
【分析】作出原几何体对应的直观图，可知该几何体为一个圆台中挖去一个以圆台上底面为底面的圆柱后所得，结合题中的数据以及台体、柱体的体积公式可求得的值．
【解析】作出原几何体对应的直观图如下图所示：

由三视图可知，该几何体为一个圆台中挖去一个以圆台上底面为底面的圆柱后所得，
圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，圆柱底面半径为，高为，
则其体积为，
由题设知，，，故选B．
【名师点睛】求解几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
29．如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球表面积为

A． B．
C． D．
【试题来源】江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考
【答案】C
【解析】根据三视图可得原几何体如图所示，且平面，，为的中点，四边形为正方形，其边长为4．设为正方形的中心，为的外心，则外接球的球心满足平面，平面，

所以，又平面，故，同理
所以四边形为矩形．在正方形中，，
在中，，故，
故外接球半径为，故外接球的表面积为，故选C．
【名师点睛】几何体外接球的半径的求法，关键是球心位置的确定，可用球心与各面的外接圆的圆心的连线与此面垂直来确定，如果球心的位置不确定，那么可用补体的方法来确定球心的位置．
30．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考（理）
【答案】A
【解析】在中，，即，又，所以为等边三角形，根据题意，有如下示意图：

如图，设的外接圆的圆心为，连接，，，连接PH．
由题意可得，且，．
所以由上知且，又，
所以，由，平面ABC．
设O为三棱锥外接球的球心，连接，，OC过O作，垂足为D，则外接球的半径R满足，， ，代入解得，即有，
所以三棱锥外接球的表面积为．故选A．
二、多选题
1．点是正方体中侧面上的一个动点，则下面结论正确的是
A．满足的点的轨迹为直线
B．若正方体的棱长为1，三棱锥的体积的最大值为
C．点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等
D．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
【试题来源】湖南省邵阳市邵东市第一中学2020-2021学年高三上学期第五次月考
【答案】BC
【解析】如图，在正方体中，侧面，则，又，，所以平面，当点M在线段上时，有，所以点的轨迹为线段，故A不正确；

由正方体的性质得，平面，若正方体的棱长为1，则点M与重合时，三棱锥的体积取得最大，其值为，故B正确；
平面上的点M到直线的距离等于M到的距离，则满足到直线AD和直线的距离相等，即满足到直线AD和点的距离相等．可知M的轨迹为平面上抛物线的部分，故C正确．
异面直线与所成的角是，当在线段上运动时，点取的中点时，最小，其正切值为，所以不存在点，使异面直线与所成的角是，故D不正确，故选BC．
2．如图，正方体中，，是线段上的两个动点，则下列结论正确的是

A．，始终在同一个平面内
B．平面
C．
D．若正方体的棱长和线段的长均为定值，则三棱锥的体积为定值
【试题来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国新高考卷）
【答案】BCD
【解析】因为，，同在平面上，而不在平面上，所以，不在同一个平面内，故A错误；

因为，平面，平面，所以平面，故B正确；
因为平面，而平面，所以，连接，交于点，则，而，平面，平面，所以平面．因为平面，所以，故C正确；
不妨设正方体的棱长为，，则．
由于平面，则平面，，
所以．
因为，为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确．故选BCD．
【名师点睛】空间中线面平行的证明以及三棱锥体积计算的注意事项有：
（1）证明线面平行时，注意说明哪一条直线在面内，哪一条直线不在面内；
（2）求解三棱锥体积时，注意选择合适的点作为顶点，合适的三角形作为底面积，这样可以很大程度上简化计算．
3．如图，在直三棱柱中，，，､分别为，的中点，过点､､作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是

A．三棱柱外接球的表面积为
B．
C．若交于，则
D．将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为
【试题来源】河北省衡水中学2021届高三上学期学业质量联合测评
【答案】CD
【解析】如图所示：将该三棱柱视为正方体的一部分，则三棱柱外接球的半径，，其表面积为，故A错误；
延长与交于点，连接交于，连接，则平面即为截面．
因为，是中点，所以是的中点，由与相似，得，得，而是的中点，所以与不平行且必相交，所以与截面不平行，故B项错误；
因为，又，所以在中，，故C项正确；延长交于点，则将三棱柱分成体积较大部分的体积为
，
所以剩余部分的体积为，所以体积之比为，故D项正确．
故选CD．

【名师点睛】将该三棱柱视为正方体的一部分，利用正方体的对角线为外接球的直径是解题关键．
4．已知正方体的棱长为1，E，F，G分别是的中点．下列命题正确的是
A．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形
B．P在直线上运动时，
C．Q在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D．M是正方体的面内到点D和距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段
【试题来源】湖南省怀化市新博览2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】BCD
【解析】画出图形，如图（1）四个面都是直角三角形，，所以不正确．
对于，在直线上运动时，；如图（2），因为平面，所以平面，所以，所以正确．
对于，Q在直线上运动时，三棱锥的体积不变；如图（2）三角形面积不变，到平面距离不变，所以体积为定值．所以正确；
对于，是正方体的面内到点和距离相等的点，则点的轨迹是一条线段．线段满足题意．故选BCD.

【名师点睛】求空间几何体的体积常用的方法有：（1）规则的公式法；（2）不规则的割补法；（3）转化法．要根据已知条件灵活选择解答．
5．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法中正确的是

A．水的部分始终呈棱柱状；
B．水面四边形EFGH的面积不改变；
C．棱A1D1始终与水面EFGH平行；
D．当E∈AA1时，AE＋BF是定值．
【试题来源】2021届高三新高考统一适应性考试江苏省南通中学2020-2021学年高三上学期12月考前热身练
【答案】ACD
【解析】由于BC固定，所以倾斜的过程中，始终有ADEHFGBC，
且平面AEFB平面DHGC，故水的部分始终呈现棱柱状（三棱柱、四棱柱、五棱柱）；
当水是四棱柱或者五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面四边形的面积可能变大，也可能变小，水面的面积改变；
BC为棱柱的一条侧棱，随着倾斜度的不同， 但水的部分始终呈棱柱状，
且棱平面，棱，所以平面；
因为体积是定值，高为定值，则底面积为定值，即为定值，
综上ACD正确．故选ACD．
三、填空题
1．已知正方体的棱长为1，E，F，M分别为棱，，的中点，过点M与平面平行的平面与交于点N，则四面体的体积为________．
【试题来源】江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考
【答案】
【解析】取的中点，连接，因为是、的中点，
所以，取中点，连接，

因为，四边形是平行四边形，所以，
所以，因为，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，即四边形为平面图形，
且平面，平面，，所以平面，
设为中点，连接，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，且平面，
平面，所以平面，又，
所以平面平面，所以过点且与平面平行的平面就是，
点即是点，，
所以．故答案为．
2．在棱长为的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为________．
【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）
【答案】
【解析】如图1所示，设圆柱的底面半径为，母线长为，圆柱的外接球半径为，
取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于，则为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得．
本题中，平面，设的外接圆为圆，可将三棱锥内接于圆柱，如图2所示：

图1 图2 图3
设的外接圆直径为，，该三棱锥的外接球直径为，则．
如图3所示：设，则，，，
，
当且仅当时，取得最大值，
由，可得，，
所以，的最大值为，由正弦定理得，即的最小值为，
因此，，所以，三棱锥外接球的表面积为．故三棱锥外接球的表面积的最小值为．故答案为．
【名师点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可．
3．在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为________．
【试题来源】安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高三上学期期中（理）
【答案】
【解析】如图所示：平面，连接，

又为正方形，点为正方形对角线的交点，
则是等腰直角三角形，是直角顶点，设是中点，则是的外心，取是中点，则，而平面，平面，
三棱锥的外接球的球心在直线上，
由已知可计算，，
在的延长线上，设，则由得，解得，，外接球表面积．
4．已知三棱锥中，，，，若三棱锥的外接球的表面积为，记，则的最大值为________．
【试题来源】华大新高考联盟2021届高三11月教学质量测评（联考）（文）
【答案】12
【分析】设，，，则，从而可得，而，然后利用基本不等式可求得结果
【解析】设，，，则；而，得；
故，
当且仅当时等号成立，故的最大值为12．
5．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为________．
【试题来源】山东省日照第一中学2020-2021学年高三第二次联合考试
【答案】
【分析】由，得到的外接圆的圆心为BD的中点，再由底面，由截面圆的性质得到球的球心为侧棱的中点求解．
【解析】如图所示：因为，所以，的外接圆的圆心为BD的中点，又底面，由截面圆的性质得球的球心为侧棱的中点，
从而球的直径为，利用张衡的结论可得，则，
所以球的表面积为．故答案为.

6．如图，已知三棱锥，点P是的中点，且，过点P作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为________．

【试题来源】上海市复兴高级中学2021届高三上学期期中
【答案】6
【解析】设AB、BC、VC的中点分别为D、E、F，连接DE、EF、PF、PD，如图所示

因为D、E分别为AB、BC的中点，所以，同理P、D分别为VA、AB的中点，所以，平面EFPD，平面EFPD，
所以平面EFPD，平面EFPD，所以截面EFPD就是所求平面，
因为，所以，，
所以截面EFPD的周长为2+2+1+1=6，故答案为6.
7．在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，，，则这个“堑堵”的外接球的表面积为________．
【试题来源】江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
所以可将三棱柱补成一个长方体，如图：

则该长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的直径，所以，所以．所以外接球的表面积为．故答案为
【名师点睛】将三棱柱补成一个长方体，利用长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的直径求解是本题解题关键．
8．在三棱锥中，侧棱底面且则该三棱锥的外接球的体积为________．
【试题来源】山东省实验中学2020-2021学年高三第二次诊断试题
【答案】
【分析】根据题意，画出图形，根据余弦定理、正弦定理，结合球的体积公式进行求解即可．
【解析】在中，由余弦定理可知

因为，所以是顶角为钝角的等腰三角形，
设的外接圆的直径为，由正弦定理可知，
因为侧棱底面，，所以三棱锥的外接球的直径为，由勾股定理可知，
所以三棱锥的外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的体积为故答案为.
9．已知正三棱柱的体积为54，，记三棱柱的外接球为球，则外接球的表面积是________．
【试题来源】山西省2021届高三上学期八校联考（文）
【答案】
【分析】先求出底面三角形的面积，以及底面外接圆半径，根据体积，得出正三棱柱的高，进而可求出外接球的半径，从而可得出外接球的表面积．
【解析】因为正三棱柱的底面积，
底面外接圆半径，所以正三棱柱的高，
所以外接球的半径，则，故答案为．
10．长方体的棱长分别为，，，则其外接球的体积为________．
【试题来源】吉林省白城市第一中学2020-2021学年高三上学期第三次月考（文）
【答案】
【分析】根据长方体的结构特征，得到其外接球的直径即等于长方体的体对角线的长，由此求出外接球半径，进而可得外接球的体积．
【解析】因为长方体的外接球直径等于长方体的体对角线的长，又长方体的棱长分别为，，，所以该长方体外接球的直径为，即外接球半径为，所以外接球的体积为．故答案为．
11．在三棱锥中，底面ABC，，则此三棱锥的外接球的表面积为________．
【试题来源】宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第三次月考（期末）（文）
【答案】
【解析】因为底面ABC，所以，，又，所以三棱锥的外接球就是以为棱的长方体的外接球，其直径为长方体的对角线，因为，，所以外接球的直径，所以外接球的表面积为．故答案为
【名师点睛】利用三棱锥的外接球就是以为棱的长方体的外接球求解是解题关键．
12．已知一个棱长为1的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体(包括底面)的表面积为________．
【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）
【答案】
【分析】根据正方体和半球的关系，作出对应的轴截面，根据对应关系求得求得半径，结合面积公式，即可求解．
【解析】作出半球和正方体的轴截面，如图所示，设求得的半径为，

因为正方体的棱长为1，所以正方体的对角线长，
在直角中，，
半球的表面积为．故答案为．
13．已知直三棱柱其外接球的体积为________．
【试题来源】吉林省四平市公主岭市范家屯镇第一中学两校联考2021届高三上学期期末（理）
【答案】
【解析】已知AB=AC，所以三角形为等腰三角形，取M为BC的中点，连接AM，则AM⊥BC，由已知得BC=，，又，所以，再由正弦定理，（r为三角形外接圆半径），r=2，

设两底面的外接圆的圆心分别为，外接球球心为的中点，外接球的半径，所以球的体积为，故答案为．
14．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知某方锥各棱长均为2，则其内切球的体积为________．
【试题来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国新高考卷）
【答案】
【解析】如图，设方锥底面的中心为，则在中，，
所以，在中，，所以方锥的体积为，
设方锥内切球的半径为，而方锥的表面积为，
由等体积法可得，解得，
体积为．故填：．

【名师点睛】几何体与球相切问题解题策略：（1）体积分割法求内切球半径；（2）作出合适的截面（过球心、切点等），在平面上求解；（3）多球相切问题，连接各球球心，转化为处理多面体问题．
15．已知正三棱锥的底边边长为，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球半径和内切球半径的比值为________．
【试题来源】长沙市广益实验中学2020-2021学年高三上学期第一次新高考适应性考试
【答案】
【解析】如图正三棱锥中，是高，是底面外心，是外接球球心，，，设外接球半径为，
则，解得（说明在延长线上），
，是中点，，
，，
所以三棱锥在全面积为，
设内切球半径为，则，即，，所以．

16．鳖臑（biē nào）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两重堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称．如图，三棱锥是一个鳖臑，其中，，，且，过点B向AC引垂线，垂足为E，过E作CD的平行线，交AD于点F，连接BF．设三棱锥的外接球的表面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则________．

【试题来源】广东省肇庆市2021届高三上学期第一次（11月）统一检测
【答案】
【解析】，，，则平面，平面，
所以，又，，所以平面，平面，所以，．又，所以，，又，所以三棱锥可补形成以为棱的一个长方体，其外接球的直径的平方等于的平方和，而由，则是三棱锥外接球的直径．因为，所以，，，，，，所以，
，，所以．
【名师点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是外接球球心，求出球的直径．
三棱锥外接球球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．有时可利用直角三角形去寻找外接球球心．
17．如图，是由正四棱锥和长方体拼接而成的组合体，其顶点都在半径为的球面上，记为的外接圆半径．若该正四棱锥和长方体体积相等，则________．

【试题来源】河南省开封市2021届高三第一次模拟考试（理）
【答案】
【解析】设正四棱锥的顶点为P，与底面A、B、C、D对应的顶点记为，设正四棱锥与长方体的公共外接球的球心为O，所以O是长方体的中心，设正方形的中心为Q，正方形的中心为H，则P、H、O、Q在一条过棱锥的高和长方体中心的直线上，长方体的高为，
且，
因为正四棱锥与长方形的底面积相等，它们的体积又相等，所以，
即，所以，． 故答案为．

【名师点睛】本题考查了组合体的几何体特征，解题的关键点是找到它们的高之间的关系然后用R、r来表示，考查了空间想象力和计算能力．
18．已知三棱锥中，，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为________．
【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2021届高三上学期第三次月考（文）
【答案】
【分析】由三棱锥的棱两两相等，所以把它扩展为长方体，即可由此求出球半径，得出体积．
【解析】由题可知，该三棱锥是由长方体的面对角线构成，如图，

设长方体的棱长分别为，则，则，
设球半径为，则，即，则球的体积为．
19．以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45°，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则________．（注：底面为正三角形且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥为正三棱锥）
【试题来源】湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测
【答案】
【分析】取AB中点E，连接CE，PE，则在上，可得，求出，再由求出球半径，即可得出，由即可得出．
【解析】如图，连接PQ，则PQ中点为球心O，PQ与平面ABC交于，即三角形ABC中心，且平面，设三角形ABC边长为2，

取AB中点E，连接CE，PE，则在上，且，
即为的侧面与底面所成的角，，
，设球半径为R，在直角三角形中，，
即，解得，，
则，．故答案为．
【名师点睛】本题考查外接球问题，解题的关键是根据球的外接关系求出的关系，将体积之比转化为高之比，即之比即可．
20．沿正三角形的中线翻折，使点与点间的距离为，若该正三角形边长为，则四面体外接球表面积为________．
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）
【答案】
【解析】由题意，折叠后的四面体中，AD⊥CD，AD⊥DB，CDDB=D，AD⊥面BCD，
且AB＝AC＝2，在中， AD＝，且BC＝，
设△BCD的外心为N，外接圆半径r，过N作MN⊥平面BDC，过A作AMDN，则四边形ADNM为矩形，MN＝AD＝，因为△BDC中，BD＝DC＝1，BC＝，故∠BDC＝120°，由正弦定理可得，＝2r，即r＝1，则可得外接球球心O在MN的中点，R2＝ON2+r2＝＝，四面体A﹣BCD的外接球表面积S＝4πR2＝．故答案为．

21．沿正三角形的中线翻折，使点与点间的距离为，若该正三角形边长为2，则四面体外接球表面积为________．
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文）
【答案】
【解析】由题意，折叠后的四面体中，AD⊥CD，AD⊥DB，CDDB=D，AD⊥面BCD，

且AB＝AC＝2，在中， AD＝，且BC＝，
设△BCD的外心为N，外接圆半径r，过N作MN⊥平面BDC，过A作AMDN，则四边形ADNM为矩形，MN＝AD＝，因为△BDC中，BD＝DC＝1，BC＝，故∠BDC＝90°，由正弦定理可得，＝2r，即r＝，则可得外接球球心O在MN的中点，R2＝ON2+r2＝＝，四面体A﹣BCD的外接球表面积S＝4πR2＝．故答案为．
22．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．
【试题来源】2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学
【答案】
【解析】圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，

如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为，
则圆台的高，
据此可得圆台的体积：．故答案为．
【名师点睛】本题考查圆台与球的切接问题，解题的关键在于确定下底面与球的关系，然后利用几何关系确定圆台的高度即可求得其体积．
23．在三棱锥中，，，，．平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为________．
【试题来源】江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末
【答案】4
【解析】因为，，，所以，因为，
所以，所以，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
取中点，连接，，所以，，，
所以平面，所以，此时，
，所以，
即球的球心球心即为（与重合），半径为．故答案为．

【名师点睛】本题解题的关键在于寻找球心，在本题中，均为直角三角形，故易得中点即为球心．考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题．
24．四面体中，，，，且异面直线和所成的角为，若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为________．
【试题来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中
【答案】
【解析】四面体中，，，异面直线和所成的角为，可得如图1：过B点作且，连接，
则有且面，
如图2，若为外接圆圆心，则可找到外接球圆心，为BC的中点，即，外接球半径为，
所以四边形为矩形，，
所以在平面中有，可得，

图1 图2 图3
令，则四面体的体积，
而由余弦定理知，即当且仅当时等号成立，所以，故答案为．
25．如图所示，在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________．

【试题来源】湖南省怀化市新博览2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】
【解析】由题意知在中，根据余弦定理有：
，，，
所以中有，即为等边三角形，若为中点，连接，可得，而，则在中有，
所以，又且，即面，
又由面知面面，

图1 图2
所以三棱锥的外接球球心：在中，过三等份点作的垂线与的垂直平分线的交点即为球心，所以令外接球半径为R，，则：
，解得，所以由球的表面积，
故答案为．
四、双空题
1．在三棱锥中，平面，，，．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为________；若点是的重心，则过点的平面截球所得截面的面积的最小值为________．
【试题来源】四川省成都市2020-2021学年高三上学期第一次诊断性检测（文）
【答案】
【解析】（1）平面，平面，，又，且，平面，平面，，所以是两个直角三角形和的斜边，取的中点，点到四点的距离相等，即点是三棱锥的外接球的球心，，
（2）当点是截面圆的圆心时，此时圆心到截面的距离最大，那么截面圆的半径最小，即此时的面积最小，点是的中点，是的重心，，，所以，截面圆的半径，所以.故答案为；.
【名师点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程．（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心．
2．在三棱锥中，平面，，，．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为________；若点、分别是与的重心，直线与球的表面相交于、两点，则线段的长度为________．
【试题来源】四川省成都市2020-2021学年高三上学期第一次诊断性检测（理）
【答案】
【解析】将三棱锥补成长方体，如下图所示，

则长方体的体对角线长为，
所以，球的半径为，且，
以点为坐标原点，、、所在直线别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、、，
，，所以，，，
所以，球心到直线的距离为，因此，．
故答案为；．
3．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．意思是夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为，则两个几何体的体积比也为．已知线段长为4，直线过点且与垂直，以为圆心，以1为半径的圆绕旋转一周，得到环体；以，分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体；过且与垂直的平面为，平面，且距离为，若平面截圆柱体所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，则________，环体体积为_________．

【试题来源】安徽省全省名校实验班2020-2021学年高三上学期大联考（文）
【答案】
【解析】画出示意图，可得，，
其中，，故，即，
环体体积为．

4．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________．
【试题来源】海南省2021届高三年级第一次模拟考试
【答案】
【解析】每个侧面三角形的面积均为，底面正方形的面积为，
所以四棱锥的表面积为；球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥五个面都相切，正四棱锥的高为，设球的半径为，
所以四棱锥的体积，故，
．故答案为；.
【名师点睛】在四棱锥中的内切球，利用分割法，可分割为以球心为顶点的三棱锥与四棱锥，棱锥的高都为球半径，根据等体积法即可求出球的半径．
5．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为的正方体的个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径为___；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是，球冠的高是，那么球冠的表面积计算公式是 ． 由此可知，该实心工艺品的表面积是____．

【试题来源】江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测
【答案】
【分析】设截面圆半径为，球的半径为，求出截面圆的半径，利用几何关系可求出球体的半径，求出球体的表面积和一个球冠的表面积，再利用球体的表面积减去个球冠的表面积并加上个截面圆的面积可得出该实心工艺品的表面积．
【解析】设截面圆半径为，球的半径为，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即此距离为，根据截面圆的周长可得，得，故，得，
所以球的表面积．如图，，且，则球冠的高，得所截的一个球冠表面积，且截面圆面积为，所以工艺品的表面积．
故答案为；．