初中数学北师大版八年级下册第四章 因式分解综合与测试精品巩固练习

这是一份初中数学北师大版八年级下册第四章 因式分解综合与测试精品巩固练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是 （B）
A．(a＋3)(a－3)＝a2－9
B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．a2－4a－5＝a(a－4)－5
D．m2－2m－3＝m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－2－\f(3,m)))
2．多项式36a2bc－48ab2c＋24abc的公因式是 （B）
A．6abc B．12abc C．12a2b2c2 D．36a2b2c2
3．下列各式中，不能继续分解因式的是 （C）
A．a2＋2a B．－4y2＋x2 C．(a＋2b)2 D．(x2－1)2
4．把(－2)2 020＋(－2)2 021分解因式的结果是 （B）
A．22 020 B．－22 020 C．－22 021 D．22 021
5．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 （D）
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9
6．已知a，b是实数，x＝a2＋b2＋20，y＝4(2b－a).则x，y的大小关系是（B）
A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．x＞y
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．多项式a2b2＋6ab＋A是完全平方式，则A＝9．
8．分解因式：(x－1)(x－3)－3＝x(x－4)．
9．如果把多项式x2－8x＋m分解因式得(x－10)(x＋2)，那么m＝－20．
10．如果a，b互为相反数，那么a(1－2y)－b(2y－1)的值是0．
11．若|x－2|＋y2－4y＋4＝0，则xy＝4．
12．已知(a＋b)2＝7，a2＋b2＝3，则a4＋b4＝1．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．把下列各式分解因式：
(1)－3ma3＋6ma2－3ma；
解：原式＝－3ma(a2－2a＋1)
＝－3ma(a－1)2；
(2)a2(x－1)＋b2(1－x).
解：原式＝a2(x－1)－b2(x－1)
＝(x－1)(a2－b2)
＝(x－1)(a＋b)(a－b).
14．利用分解因式计算：
(1)1.38×29－17×1.38＋88×1.38；
解：原式＝1.38×(29－17＋88)
＝1.38×100
＝138.
(2)5652×30－4352×30.
解：原式＝30×(5652－4352)
＝ 30×(565＋435)×(565－435)
＝ 30×1 000×130
＝ 3 900 000.
15．先分解因式再求值：已知a＝0.2，b＝0.4，求(a＋2)2＋4(a＋2)(b－2)＋4(2－b)2的值．
解：原式＝(a＋2)2－4(a＋2)(2－b)＋4(2－b)2
＝[a＋2－2(2－b)]2.
将a＝0.2，b＝0.4代入得
原式＝[0.2＋2－2(2－0.4)]2＝－1.
16．某种圆柱形钢管的长为L＝1米，外径D＝25厘米，内径d＝15厘米，每立方米钢的重量为7.8吨，求100根这样的钢管的总重量(π取3.14，结果精确到0.01吨).
解： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3.14×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.25,2)))\s\up12(2)－3.14×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.15,2)))\s\up12(2))) ×1× 7.8×100
＝ eq \f(1,4) ×3.14×(0.252－0.152)×1×100×7.8
＝ eq \f(1,4) ×3.14×[(0.25＋0.15)(0.25－0.15)]×1×100×7.8
≈24.49(吨).
故100根这样的钢管的总重量约为24.49吨．
17．用分解因式的方法说明：当n为整数时，两个连续整数的平方差(n＋1)2－n2等于这两个连续整数的和．
解：∵原式＝(n＋1＋n)(n＋1－n)＝n＋1＋n.∴两个连续整数n＋1，n的平方差(n＋1)2－n2等于这两个连续整数的和．
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．观察下列各式，你会发现什么规律？
15＝42－1，而3×5＝15；35＝62－1，而5×7＝35；……；143＝122－1，而11×13＝143；……
将你猜想到的规律用只含有一个字母的式子表示出来，并说明理由．
解：(2n)2－1＝(2n－1)(2n＋1)，
因为15＝(2×2)2－1，
3×5＝(2×2－1)(2×2＋1)＝15，
则有(2×2)2－1＝(2×2－1)(2×2＋1)；
35＝(2×3)2－1，
而(2×3－1)(2×3＋1)＝35，
则有(2×3)2－1＝(2×3－1)(2×3＋1)；……；
143＝(2×6)2－1，
而(2×6－1)(2×6＋1)＝143，则有(2×6)2－1＝(2×6－1)(2×6＋1)；…….
设n是正整数，则(2n)2－1＝(2n－1)(2n＋1).
19．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)，另一位同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)，请你将原多项式分解因式．
解：设原多项式为ax2＋bx＋c(其中a，b，c均为常数，且abc≠0).
∵2(x－1)(x－9)
＝2(x2－10x＋9)
＝2x2－20x＋18，
∴a＝2，c＝18.
又∵2(x－2)(x－4)
＝2(x2－6x＋8)
＝2x2－12x＋16，
∴b＝－12.
∴原多项式为2x2－12x＋18，将它分解因式，得
2x2－12x＋18
＝2(x2－6x＋9)
＝2(x－3)2.
20．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b.
(1)观察图形，可以发现代数式2a2＋5ab＋2b2可以因式分解为(a＋2b)(2a＋b)；
(2)若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积．
解：由已知得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2（a2＋b2）＝242，,6a＋6b＝78，))
化简得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝121，,a＋b＝13，))
∴(a＋b)2－2ab＝121，
∴ab＝24，
5ab＝120.
∴空白部分的面积为120平方厘米．
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．对于二次三项式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解为(x＋a)2的形式，但对于二次三项式x2＋2ax－3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变．于是有
x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2
＝(x＋a)2－4a2.
＝(x＋a)2－(2a)2
＝(x＋3a)(x－a).
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法．
(1)请用上述方法把x2－4x＋3分解因式；
(2)多项式x2＋2x＋2有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时x的值是多少？
解：(1)原式＝x2－4x＋4－4＋3
＝(x－2)2－1
＝(x－2＋1)(x－2－1)
＝(x－1)(x－3).
(2)原式＝x2＋2x＋1＋1
＝(x＋1)2＋1，
因为(x＋1)2≥0，
所以原式有最小值时，此时x＝－1.
22.阅读材料
∵(x＋3)(x－2)＝x2＋x－6，∴(x2＋x－6)÷(x－2)＝x＋3，这说明多项式x2＋x－6能被x－2整除，同时也说明多项式x2＋x－6有一个因式为x－2；另外，当x＝2时，多项式x2＋x－6的值为0.
根据上述信息，解答下列问题：
(1)根据上面的材料猜想：已知一个多项式有因式x－2，则说明该多项式能被(x－2)整除，当x＝2时，该多项式的值为0；
(2)探索规律：一般地，如果一个关于x的多项式M，当x＝k时，M的值为0，试确定M与代数式x－k之间的关系；
(3)应用：已知x－2能整除x2＋kx－14，利用上面的信息求出k的值．
解：(2)根据(1)得出的关系，有M能被(x－k)整除；
(3)∵x－2能整除x2＋kx－14，
∴当x－2＝0时，x2＋kx－14＝0，
当x＝2时，x2＋kx－14＝4＋2k－14＝0，
解得k＝5.
六、(本大题共12分)
23．(垦利区期末)阅读材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2－4y2＋2x－4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2－4y2＋2x－4y
＝(x2－4y2)＋(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)＋2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y＋2)
这种分解因式的方法叫分组分解法．
利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：x2－6xy＋9y2－3x＋9y；
(2)△ABC的三边a，b，c满足a2－b2－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状．
解：(1)x2－6xy＋9y2－3x＋9y
＝(x2－6xy＋9y2)－(3x－9y)
＝(x－3y)2－3(x－3y)
＝(x－3y)(x－3y－3)；
(2)∵a2－b2－ac＋bc＝0，
∴(a2－b2)－(ac－bc)＝0，
∴(a＋b)(a－b)－c(a－b)＝0，
∴(a－b)[(a＋b)－c]＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴(a＋b)－c＞0，
∴a－b＝0，
得a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．