初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试优秀同步训练题

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试优秀同步训练题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
数学八年级下册第一章三角形的证明检测题(考试时间：120分钟　满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是                                                （B）A．，，    B．1，，C．6，7，8         D．2，3，42．如图，已知CF垂直平分AB于点E，∠ACD＝70°，则∠A的度数是  （B）A．25°    B．35°    C．40°    D．45°第2题图3．在用反证法证明命题“若a，b是整数，ab能被3整除，则a，b中至少有一个能被3整除”时，应该假设（D）A．a，b都能被3整除    B．a不能被3整除C．a，b不都能被3整除    D．a，b都不能被3整除4．如图，射线OC是∠AOB的平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是   （D）A．3    B．4    C．5    D．6                  第4题图5．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，CE＝4，则AE的长为   （D）A．2    B．4        C．6    D．86．如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以3 cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（D）A.2.5 s      B．3 s     C．3.5 s       D．4 s二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是如果一个三角形的两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是真(选填“真”或“假”)命题．8．等边三角形ABC的周长为12 cm，则它一边上的高为2 cm．9．(兴化市期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠A＝32°，则∠BCD＝32°．第9题图　第10题图10．如图，O是△ABC的两个外角平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，D，E，F是垂足，则点O在∠BAC的平分线上．11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，斜边AC的垂直平分线DE与BC的交点是D，连接AD，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则DC的长为6.25 cm．12．在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(0，1)，点P为坐标轴上一点，若要使△ABP为直角三角形，则点P的坐标为(0，0)或(1，0)或(0，－1)．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上． 证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°－30°＝60°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°.∴∠A＝∠ABD.∴DA＝DB.∴点D在AB的垂直平分线上． 14．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.求证：DE＝BD＋EC.证明：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠ADB＝∠CEA＝90°.∴在Rt△ABD和Rt△CAE中，∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)，∴AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋EC. 15．如图，OE平分∠AOB，在OA，OB上取OC＝OD，点P是OE上一点，PM⊥CE于点M，PN⊥DE于点N.问线段PM与PN有什么关系？证明你的结论．解：PM＝PN.证明如下：易证△COE≌△DOE(SAS)，∴∠OEC＝∠OED，又∵PM⊥CE于点M，PN⊥DE于点N，∴PM＝PN. 16．在正方形网格中，点A，B，C都是格点，仅用无刻度的直尺按下列要求作图．(1)在图①中，作线段AB的垂直平分线；(2)在图②中，作∠ABC的角平分线．　　　解：(1)如图所示：直线CD即为所求．(2)如图所示：射线BD即为所求．  17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°，求∠ACB和∠BAC的度数．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠DEC＝90°.∵∠ADC＝125°，∴∠DCE＝∠ADC－∠DEC＝35°.∵CD平分∠ACB.∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°.∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°. 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AB＋CD＝12 cm，求△ABC的周长；(2)用反证法证明：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.(1)解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＋CD＝12 cm，∴AC＋BD＝12 cm，∴△ABC的周长为(AB＋CD)＋(AC＋BD)＝24 cm.(2)证明：假设∠B＝∠C，则AB＝AC，这与已知AB≠AC矛盾，∴假设不成立，∴∠B≠∠C. 19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF.  证明：∵AD平分∠BAC，,DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴D点在线段EF的垂直平分线上．在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE＝AF，∴A点在线段EF的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD垂直平分EF. 20．如图，已知等腰三角形ABC的底边BC＝20 cm，D是腰AB上一点，且CD＝16 cm，BD＝12 cm.,(1)求证：CD⊥AB；,(2)求该三角形的腰长．  (1)  证明：∵BC＝20 cm，CD＝16 cm，BD＝12 cm.∴BD2＋CD2＝BC2，∴根据勾股定理逆定理可知∠BDC＝90°，即CD⊥AB.(2)  解：设腰长为x cm，则AD＝(x－12) cm，由(1)可得AD2＋CD2＝AC2，即(x－12)2＋162＝x2，解得x＝.∴该三角形的腰长为 cm. 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC.(1)  求证：△PMN是等边三角形；(2)  若AB＝9 cm，求CM的长度．(1)  证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵PN⊥AC，∴∠APN＝30°.又∵MP⊥AB，∴∠MPN＝60°，同理可得∠PMN＝∠MNP＝∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．(2)  解：由(1)知PN＝PM＝MN.∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∠MPB＝∠PNA＝∠NMC，∴△APN≌△BMP≌△CNM，∴AN＝BP＝CM，∵在Rt△APN中，∠APN＝30°，∴AN＝AP，则BP＝AN＝AB，∵AB＝9 cm，∴CM＝BP＝3 cm. 22．在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE＝OF.(1)  如图①，当点O在BC边中点时，试说明AB＝AC；(2)  如图②，当点O在△ABC内部时，且OB＝OC，试说明AB与AC的关系，并给出证明过程；(3)  当点O在△ABC外部时，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．(画出图形，写出结果即可，无须说明理由),①　  　                    ②解：(1)∵OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.(2)AB＝AC.,证明：同(1)易证得Rt△OBE≌Rt△OCF，∴∠OBE＝∠OCF，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.(3)如图③，当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时，AB＝AC成立；③ 　　④如图④，当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时，结论不成立．(图形不唯一，符合题意，画图规范即可) 六、(本大题共12分),23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，若点P从点A出发，以每秒2 cm的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为t秒(t＞0).(1)  若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；(2)  若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值；(3)  在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．①      ②         ③解：(1)由题意得PA＝PB＝2t，PC＝4－2t，在Rt△PCB中，PC2＋CB2＝PB2，即(4－2t)2＋32＝(2t)2，解得t＝，∴当t＝时，PA＝PB.(2) 当点P在∠BAC的平分线上时，如图①，过点P作PE⊥AB于点E，此时有,BP＝7－2t，PE＝PC＝2t－4，BE＝5－4＝1，在Rt△BEP中，PE2＋BE2＝BP2，即(2t－4)2＋12＝(7－2t)2，解得t＝，当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，∴当t＝或6时，点P恰好在∠BAC的平分线上.(3)在Rt△ABC中，∵AB＝5 cm，BC＝3 cm，∴AC＝4 cm，根据题意得AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，∴PC＝BC，即4－2t＝3，∴t＝，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图②，过P作PE⊥BC于E，,∴BE＝BC＝，∴PB＝AB，即2t－3－4＝，解得t＝，②PB＝BC，即2t－3－4＝3，解得t＝5，③PC＝BC，如图③，过C作CF⊥AB于F，∴BF＝BP，∵∠ACB＝90°，∴CF＝＝＝，∴BF＝＝.∴＝，∴t＝.∴当t＝，5，或时，△BCP为等腰三角形．