4.数学八年级下册期中检测题(北师版-有答案)

数学八年级下册期中检测题

(考试时间：120分钟　满分：120分)

一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

1．如果a＞b，那么下列各式中正确的是   （C）

A．a－2＜b－2      B．<

C．1－2a＜1－2b    D．－a＞－b

2．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （B）

3．△ABC，AB＝AC中，∠B＝70°，则∠A的度数是   （D）

A．70°    B．55°    C．50°    D．40°

4．若将点(－1，3)向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B，则B点坐标为   （A）

A．(－4，－1)    B．(2，－1)    C．(2，7)    D．(－4，7)

5．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝28，DE＝4，AC＝6，则AB的长是  （A）

A．8    B．10        C．12    D．不能确定

第5题图第6题图

6．★如图，一个含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置，若BC的长为15 cm，那么AA′的长为（C）

A．10 cm    B．15 cm    C．30 cm    D．30 cm

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

7．用不等式表示：x与5的差不小于x的2倍：x－5≥2x．

8．(新疆中考)如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D为75° .    

9．如图，平面直角坐标系中，经过点B(－4，0)的直线y＝ kx＋b与直线y＝mx＋2相交于点A，则不等式mx＋2＜kx＋b＜0的解集为－4<x<－．

第9题图　第10题图

10．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝4，若扇形ACE与扇形BDE关于点E成中心对称，则图中阴影部分的面积为8．

11．若关于x的不等式的整数解恰有3个，则m的取值范围是5＜m≤6．

12．★已知△ABC中，BC＝6，AB，AC的垂直平分线分别交边BC于点M，N，若MN＝2，则△AMN的周长是6或10．

三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

13．解不等式：－1＜，并把它的解集在数轴上表示出来．

解：去分母，得x＋5－2＜3x＋2，

移项，得x－3x＜2＋2－5，

合并同类项，得－2x＜－1，

系数化为1，得x＞.

该不等式的解集表示在数轴上如图：

14．解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．

解：解不等式－x＋3＜2x，得x＞1，

解不等式－≥0，得x≤4，

则不等式组的解集为1＜x≤4，

将不等式组的解集在数轴上表示如图．

15．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD. 求证：

(1)BC＝AD；

(2)△OAB是等腰三角形．

证明：(1)∵AC⊥BC，

BD⊥AD，

∴∠ADB＝∠ACB＝

90°，

在Rt△ABC和Rt△BAD中，

∵∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，

∴BC＝AD.

(2)∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠CAB＝∠DBA，

∴OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形．

16．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形．一条线段AB的两端点落在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为2；

(1)在图①中画以AB为边的一个等腰△ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；

(2)在图②中画以AB为边的一个呈中心对称图形的四边形，其顶点都在格点上，各边长都是无理数．

解：(1)如图①中，△ABC即为所求(答案不唯一).

(2)如图②中，四边形ABCD即为所求(答案不唯一).

17．在边长均为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，  △ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：

(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；

(2)将△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为(－3，3);

(2)如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为(－3，－3).

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

18．已知方程组的解x，y都为负数．

求a的取值范围．

解：这个方程组的解为

由题意，得

不等式①的解集是a<3，

不等式②的解集是a>－2，

则原不等式组的解集为－2<a<3.

19．如图，在△ABC中，∠A∶∠B∶∠ACB＝2∶5∶11，将△ABC绕点C逆时针旋转，若旋转得到的△A′B′C的顶点B′在原三角形的边AC的延长线上，求∠BCA′的度数．

解：∵∠A∶∠B∶∠ACB＝2∶5∶11，

∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，

∴∠A＝20°，∠B＝50°，∠ACB＝110°.

∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，

∴∠A′＝∠A＝20°，∠B′＝∠B＝50°，

∴∠A′CA＝∠A′＋∠B′＝70°，

∴∠BCA′＝∠ACB－∠A′CA＝110°－70°＝40°.

20．(大埔县期末)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8.

(1)求DE的长；

(2)求△ADB的面积．

解：(1)在Rt△ABC中，

∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

由勾股定理，得AB＝10，

∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，

×AC×CD＋×AB×DE＝×AC×BC，

即×6×DE＋×10×DE＝×6×8，

解得DE＝3.

(2)△ADB的面积为

S＝AB·DE＝×10×3＝15.

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21．如图①，已知△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点(与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于E，连接AD交BC于F.

(1)求证：AD垂直BC；

(2)如图①，点E在线段AB上且不与B重合时，求证：DE＝AE；

(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段DE，AC，BE的数量关系．

(1)证明：∵AB＝AC，

∴点A在线段BC的垂直平分线上，

∵DB＝DC，

∴点D在线段BC的垂直平分线上，

∴直线AD是BC的垂直平分线，∴AD垂直BC；

(2)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，

∴∠BAD＝∠EDA，∴DE＝AE.

(3)解：DE＝BE＋AC，

理由：由(1)得AF⊥BC，

∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF，

∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAF，

∴∠BAF＝∠EDA，∴EA＝ED，

∵EA＝EB＋BA＝EB＋AC，

∴DE＝BE＋AC.

22. 为加快“秀美荆河水系生态治理工程”进度，污水处理厂决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，每台的价格分别为a万元，b万元，每月处理污水量分别为240吨，200吨．已知购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．

(1)求a，b的值；

解：根据题意得

解得

答：a的值为12，b的值为10.

(2)厂里预算购买污水处理设备的资金不超过105万元，有哪几种购买方案；

(3)在(2)的条件下，若每月要求处理污水量不低于2 040吨，为了节约资金，请为污水处理厂设计一种最省钱的购买方案．

解：(2)设购买A型设备m台，则购买B型设备(10－m)台，根据题意得

0≤12m＋10(10－m)≤105，解得m≤，

∴m可取的值为0，1，2.

∴有3种购买方案：方案1：购买A型设备0台，B型设备10台；

方案2：购买A型设备1台，B型设备9台；

方案3：购买A型设备2台，B型设备8台．

(3) 当m＝0时，每月的污水处理量为

200×10＝2 000(吨)，∵2 000＜2 040，

∴m＝0不合题意，舍去；

当m＝1时，每月的污水处理量为

240＋200×9＝2 040(吨)，∵2 040＝2 040，

∴m＝1符合题意，此时购买设备所需资金为12＋10×9＝102(万元)；

当m＝2时，每月的污水处理量为

240×2＋200×8＝2 080(吨)，∵2 080＞2 040，

∴m＝2符合题意，此时购买设备所需资金为12×2＋10×8＝104(万元).∵102＜104，

∴为了节约资金，该公司最省钱的一种购买方案为购买A型设备1台，B型设备9台．

六、 (本大题共12分)

23．几何探究题

(1)发现：在平面内，若BC＝a，AC＝b，其中a＞b.

当点A在线段BC上时(如图①)，线段AB的长取得最小值，最小值为a－b；

当点A在线段BC延长线上时(如图②)，线段AB的长取得最大值，最大值为a＋b．

(2)应用：点A为线段BC外一动点，如图③，分别以AB，AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE.

①证明：CD＝BE；

②若BC＝3，AC＝1，则线段CD长度的最大值为4．

(3)拓展：如图④，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

(2)①证明：∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠DAC＝∠BAE，在△ACD和△AEB中，∴△ACD≌△AEB(SAS)，

∴CD＝BE；

(3)解：∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，如图⑤连接AN，则△APN是等腰直角三角形，

∴PN＝PA＝2，BN＝AM，

∵A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，

∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，

∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，

∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值为AB＋AN，

∵AN＝AP＝2，∴最大值为2＋3；

当点P在第一象限时，如图⑥，过P作PE⊥x轴于E，连接BE，

∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，

∴OE＝BO－AB－AE＝2－，∴P(2－，).

当点P在第四象限时，如图⑦中，根据对称性可知，当点P在第四象限时，P(2－，－)时，也满足条件．

综上所述，满足条件的点P坐标(2－，)或(2－，－)，AM的最大值为2＋3.