专题07（与椭圆相关的定值、定点问题)（试卷）-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

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专题七   与椭圆相关的定值、定点问题       例题1.（2020湖南，21题）已知A，B分别为椭圆E：的左、右顶点，G为E的上顶点，为直线上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
求E的方程；
证明：直线CD过定点．【分析】根据椭圆的几何性质，可写出A、B和G的坐标，再结合平面向量的坐标运算列出关于a的方程，解之即可；
设，，，然后分两类讨论：，设直线CD的方程为，写出直线PA和PB的方程后，消去t可得，结合，消去，可得，然后联立直线CD和椭圆的方程，消去x，写出韦达定理，并将其代入上式化简整理得关于m和n的恒等式，可解得或舍，从而得直线CD过定点；若，则直线CD的方程为，只需验证直线CD是否经过点即可．
本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，涉及分类讨论的思想，有一定的计算量，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题．思维升华解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质．对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的概念及几何性质的基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓．这类题型的方法可以是设直线，运用韦达定理求出坐标之间的关系，过椭圆上一点的直线与椭圆相交是可以解出另一个交点的，而过椭圆外一点的直线与椭圆相交只能找到两个交点坐标的关系，不适宜解，再运用题目的条件整体化简。也可以是设点的坐标，运用坐标在椭圆上或直线上整体代入化简，到底设什么需要根据题目条件，因题而异。 【答案】解：由题设得，，，，则，，
由得，即，
所以E的方程为．
设，，，
若，设直线CD的方程为，由题可知，，
由于直线PA的方程为，所以，同理可得，
于是有．
由于，所以，
将其代入式，消去，可得，即，
联立得，，
所以，，
代入式得，
解得或因为，所以舍，
故直线CD的方程为，即直线CD过定点．
若，则直线CD的方程为，也过点．
综上所述，直线CD过定点． 例2.（2020山东，22题）已知椭圆的离心率为，且过点．求C的方程点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得为定值．【答案】解：由题意可知，，，解得，，所以椭圆方程为．证明：设点，，因为，所以，所以，当k存在的情况下，设，联立得，由，得，由根与系数的关系得，，所以，，代入式化简可得，即，所以或，所以直线方程为或，所以直线过定点或，又因为和A点重合，故舍去，所以直线过定点，所以AE为定值，又因为为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足为定值，此时．【解析】本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题．根据条件列方程求解即可．联立直线与椭圆的方程，根据根与系数的关系结合两直线的斜率之积为化简即可证明．  例3（2020全国，21题）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，求E的方程证明：直线CD过定点．【答案】解：由题意，椭圆E的方程为．由知，则直线PA的方程为，联立由韦达定理，代入直线PA的方程得，，即，直线PB的方程为，联立由韦达定理，代入直线PA的方程得，，即，直线CD的斜率，直线CD的方程为        ，整理得 ，直线CD过定点．【解析】本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题；求出各点坐标，表示出向量；求出C，D两点坐标，进而求出直线CD，即可证明．
      变式1.已知AB、CD分别是椭圆的长、短轴，下列命题正确的是
点，使得；
点，且直线PA与PB的斜率分别为，，则为定值；
点，且直线PC与PD的斜率分别为，，则为定值；
当P与C或D重合时，最大．A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】解：对于，以AB为直径的圆与椭圆除A，B外无交点，不点，使得，故错误；
对于，设，则，
即，．
，，
则为定值，故正确；
对于，，，
则为定值，故正确；
对于，设，，，，
则，，
则，
当最大等于b时，，最大，故正确．
正确的命题是．
故选：D．
由直径所对圆周角是直角判断；由斜率公式结合点P在椭圆上求得为定值，为定值判断；设出P点坐标，把的正切值用P的坐标表示，可得当P的纵坐标的绝对值最大时最大，说明正确．
本题考查命题的真假判断与应用，考查椭圆的简单性质，是中档题．
 变式2.已知椭圆E：，其短轴为4，离心率为，双曲线的渐近线为，离心率为，且．求椭圆E的方程；设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．【答案】解：由题意可知：，，，双曲线的离心率，则椭圆的离心率为，椭圆的离心率，
则椭圆的标准方程：．
设直线MN的方程为，，消去y整理得：，设，，
则，，
将，，代入上式得，
即．【解析】由题意，，，双曲线的离心率，
则椭圆的离心率为，椭圆的离心率，则即可得出．
设直线MN的方程为代入椭圆方程得．
设，，利用斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系即可证明．
 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、  考查了推理及运算能力，属于难题．
    串讲1.如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为，若为定值，则   
A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【试题解析】【分析】
本题考查椭圆的概念及标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的定点与定值问题，考查运算化简和解方程的能力，属于综合题．
设点在椭圆上，过点P的直线与联立，由于相切，则，形成k的二次方程，由韦达定理，得为定值，解得即可．
【解答】
解：设点在椭圆：上，
则，
设过点P的直线为，
与联立消去y得，
，
由于直线与椭圆：相切，
则，
化简整理得，，
由韦达定理，得，
为定值，，解得．
故选C． 串讲2.已知椭圆的焦距为，连接其四个顶点构成的四边形的面积为．求椭圆C的方程；设A，B是C上关于原点对称的两点，且A，B不在x轴上，则在x轴上是否存在一点M，使得直线MA与直线MB的斜率积为定值？若存在，求出点M的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【答案】解：由题意可知，，因此，，
所以椭圆的C的方程；
在x轴上存在一点使得直线MA与直线MB的斜率积为定值．
理由如下：
假设存在x轴上是存在一点，使得为定值，
设，则，则由题意可得，，
即，
由，
所以，
所以当时，，此时M的坐标为，
所以在x轴上是存在一点，使得直线MA与直线MB的斜率积为定值．【解析】【试题解析】
根据椭圆的性质，即可求得a和b的值，即可求得椭圆C的方程；
根据题意，利用直线的斜率公式即可求得当时，．
本题考查椭圆的标准方程，考查直线的斜率公式，考查点差法的应用，考查计算能力，属于基础题．