专题33 基本不等式中常见的方法求最值-2021年高考数学微专题复习（新高考地区专用）练习

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 专题33  基本不等式中常见的方法求最值一、题型选讲题型一 、消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1、【2020年高考江苏】已知，则的最小值是   ▲    ．【答案】【解析】∵∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.例2、.【江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研】已知，且，则的最小值为_______________.【答案】10【解析】因为,所以,所以 ,因为,所以,当且仅当,解得,此时,所以的最小值为:10.故答案为10例3、(2017苏北四市期末）. 若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．【答案】. 8　【解析】、解法1 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝，所以＋的最小值为8.解法2 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0，所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8. 题型二、双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系 例4、【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】已知，，且，则的最小值是______.【答案】【解析】设，则，∵，，∴又当时，，在题目要求范围内，即故答案为：例5、（2013徐州、宿迁三检）若，且，则的最小值为    ．【答案】：【解析】、所以，因为 所以题型三、“1”的代换1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。例6、（2020届山东省泰安市高三上期末）若，则的最小值为（    ）A．6 B． C．3 D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，且，，∴，∴，当且仅当且即时，等号成立；故选：C．例7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图可知x，y均为正，设，共线， ，，则，，则的最小值为，故选D.例8、（2020·全国高三专题练习（理））已知圆关于直线对称，则的最小值为__________．【答案】【解析】由题意可知直线过圆心，即 当且仅当时，又 即时等号成立，故的最小值为9.故答案为：9 题型四、齐次化齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解。例9、【2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题】已知为正实数，则的最小值为______.【答案】.【解析】解：令，则，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：.例10、.【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】若实数满足：，则的最小值为____.【答案】【解析】由题意得：，令，则， ，设，可得：，令，可得，其中舍去，可得当时，，单调递减；当时，，单调递增；可得当时，原式有最小值，代入可得：，故可得的最小值为，故答案为：.二、达标训练1、【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数在R上单调,若正实数满足则的最小值是(    )A．1 B． C．9 D．18【答案】A【解析】奇函数在R上单调，则故即 当即时等号成立故选：3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ）A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，转化成求的最小值，
，所以．
故选：D．4、【2020年高考天津】已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：5、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数的最小值是__________.【答案】【解析】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.故填：. 6、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知实数满足则的最大值为________.【答案】【解析】根据柯西不等式：，故，当，即，时等号成立.故答案为：.7、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）若实数满足，且，则的最大值为______.【答案】【解析】实数x、y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则xy＝2，则，当且仅当x﹣y，即x﹣y＝2时取等号故的最大值为，故答案为．8、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若正实数满足，则的最小值为______．【答案】【解析】令，则，，即，，且，，即的最小值为.