专题04 （圆锥曲线基本量的运算问题)（试卷）-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

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专题四   圆锥曲线基本量的运算问题     例题1.（2020江苏，6题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是______．【答案】【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，可得，所以，
所以双曲线的离心率为：，
故答案为：．
利用双曲线的渐近线方程，求出a，然后求解双曲线的离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．思维升华(1)明确圆锥曲线中各量之间的关系是求解问题的关键.(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.基本知识离心率：椭圆标准方程：焦点在轴：焦点在轴：  双曲线标准方程：焦点在轴：焦点在轴：抛物线标准方程：离心率：例2.（2020全国，15题）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为__________．【答案】2【解析】【分析】
本题考查双曲线的几何性质以及离心率的求法，属于中档题．
分别求出A，B点坐标，再根据条件列方程即可求解．
【解答】
解：由题意可知，B在双曲线C的右支上，且在x轴上方，
垂直于x轴，
把代入，得，
 B点坐标为，
又A点坐标为，
，化简得，即，解得或舍，故．
故答案为2． 例3（2020山东，13题）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则__________．【答案】【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，焦点弦的求法，属于基础题．先求出抛物线的交点坐标，从而求出直线方程，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系从而可求得焦点弦．【解答】解：抛物线的焦点为，则直线AB的方程为，联立得，所以，从而 ，故答案为：．    变式1.已知，，为曲线C：的左、右焦点，点P为曲线C与曲线E：在第一象限的交点，直线l为C在点P处的切线，若三角形的内心为点M，直线与直线l交于N点，则M，N横坐标之差为A.  B.
C.  D. 随m的变化而变化【答案】A【解析】【分析】
本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查椭圆的切线方程和两直线交点的求法，考查化简运算能力，属于较难题．
由题意可得两曲线的焦点，根据圆的切线性质、椭圆与双曲线的定义可解，再求出P的坐标，得出切线方程，求出三角形的内切圆的半径、直线的方程，联立切线方程求出N的横坐标，即可得出结论．
【解答】
解：由题意可得曲线C，E有相同的焦点，，

且，，
在中，内切圆圆心M，设各边的切点分别为A，D，为双曲线的右顶点，
，可得，
联立，消去y可得，
设，且，，
直线l的方程为，
设三角形的内切圆的半径为r，
则由等面积可得，
即，
，
由，，可得直线的斜率为，
直线的方程为，
联立，化简可得，得，
，．
故选：A．
  变式2.已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为C的渐近线与圆的一个交点，O为坐标原点，若直线与C的右支交于点N，且，则双曲线C的离心率为_____________【答案】【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义及几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
由题设结合双曲线的定义可得到，继而可求出双曲线的离心率．
【解答】
解：如图，因为双曲线的一条渐近线为，
与圆联立解得，
则，
则直线与圆O相切于点M，且，

由双曲线定义可知：
，且，
，，
．
又，，．
双曲线的离心率．
故答案为．
 
变式3.已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆C的方程是 ______．【答案】【解析】【分析】
本题考查圆的标准方程，椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，锥曲线中的综合问题，考查运算化简得能力，属于中档题．
由椭圆C的离心率求出，可得，以为圆心，半径为R的圆方程为，联立消去x得，再由题意可得，解得即可．
【解答】
解：椭圆的离心率是，，
即，解得，
椭圆C：，即，
以为圆心，半径为R的圆方程为，
代入消去x化简得，，
以为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为，
，解得，，
故此时椭圆C的方程是．
故答案为．
   串讲1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆的左顶点，点P为椭圆C上任一点，直线AP与直线相交于点若，则椭圆C的离心率为________．【答案】【解析】【分析】
本题考查了椭圆的标准方程以及椭圆几何意义，运用直线的斜率公式，属于较难题．
由题意可得a，b的关系式，结合椭圆的系数的关系和离心率即可求解．
【解答】
解：设点P的坐标为，则，
点A的坐标为，点O的坐标为，
直线AP的斜率为，所以直线AP的方程为，
所以点Q的坐标为，
所以，
所以，又由，
所以，
所以，
所以椭圆C的离心率，
故答案为．
 串讲2.设分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为_________．【答案】2【解析】【分析】
本题考查椭圆和双曲线的定义和离心率公式，属于中档题．
可设P为第一象限的点，，，运用椭圆和双曲线的定义，可得m，n，再由勾股定理，结合离心率公式，化简可得所求值．
【详解】
解：可设P为第一象限的点，，，
由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，
可得，，
由，
故，可得，
即为，
化为，则，
即有
故答案为2．
 串讲3.，是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别为曲线，的离心率，P为曲线，的一个公共点，若，且，则___________．【答案】【解析】【分析】
本题考查椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、方程思想，考查推理能力与计算能力，属于较难题．
设双曲线的标准方程为：，半焦距为椭圆：，半焦距为利用定义可得：，在中，由余弦定理可得：代入化简利用离心率计算公式即可得出．
【解答】 
解：如图所示，

设双曲线的标准方程为：，半焦距为c，
椭圆：，半焦距为c，
不妨设点P在第一象限，设，，
，，
解得，
在中，由余弦定理可得：，
可得，
两边同除以，得，
，
，
，
故答案为．