专题08（圆锥曲线中的面积问题)（试卷）-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

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专题八   圆锥曲线中的面积问题       例题1.（2018浙江，21题）如图，已知点P是y轴左侧不含y轴一点，抛物线C：上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．Ⅰ设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；Ⅱ若P是半椭圆上的动点，求面积的取值范围．
【分析】本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，以及换元法、中点坐标公式、椭圆的范围和三次函数的单调性等，属于难题．
Ⅰ设，，，运用中点坐标公式可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得，为关于y的方程的两根，由根与系数的关系即可得到结论；
Ⅱ由题意可得，，，可得面积为，再由配方法和换元法，可得面积S关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围．
 思维升华此类问题常考察圆锥曲线的的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理，三角形的面积，弦长公式，基本不等式等。该类问题对于计算能力的要求非常高，如果学生的计算能力是“无敌的”，那么就需要有什么技巧在里面，只要“硬算”就可以。但问题在于，学生的情况是“有思路但算不出来”，所以“计算技巧”也是值得注意的地方，如何去简便计算，最快得到结果，是做题时要注意的。【答案】解：Ⅰ证明：可设，，，
AB中点为M的坐标为，
抛物线C：上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，
可得，
，
化简可得，为关于y的方程的两根，
可得，，
可得，所以点M与P的纵坐标相同，
则PM垂直于y轴；
Ⅱ若P是半椭圆上的动点，
可得，，，
由Ⅰ可得，，
由PM垂直于y轴，可得面积为


，
可令
，
可得时，t取得最大值；
时，t取得最小值2，
即，
则在递增，可得，
所以面积的取值范围为 例2.（2017天津，19题）设椭圆的左焦点为F，右顶点为A，离心率为已知A是抛物线的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．Ⅰ求椭圆的方程和抛物线的方程；Ⅱ设l上两点关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点异于点，直线BQ与x轴相交于点D，若的面积为，求直线AP的方程．【答案】解：Ⅰ设F的坐标为，
依题意可得
解得，，，
于是，
所以椭圆的方程为，抛物线的方程为．
Ⅱ直线l的方程为，设直线AP的方程为，
联立方程组
解得点，故，
联立方程组
消去x，整理得，
解得，或，
，
直线BQ的方程为
，
令，解得，故D，
，
又的面积为，
，
整理得，
解得，，
直线AP的方程为，或．【解析】本题考查椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．
Ⅰ根据椭圆和抛物线的性质列方程组求出a，b，p即可得出方程．
Ⅱ设AP方程为，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．例3（2020全国Ⅲ，20题）已知椭圆的离心率为，A，B分别为C的左右顶点．
求C的方程；
若点P在C上，点Q在直线上，且，BPBQ，求APQ的面积．【答案】解： ，即 ， ，的方程为 ．由题：，，设，显然，则，由，则，则直线BP方程为：，联立，化简得，解得，，，即，代入，解得，当时，，，，PQ方程为：，点A到直线PQ的距离为，则；当时，，，，PQ方程为：，点A到直线PQ的距离为，则，根据对称性，时面积均为，综上：的面积为．【解析】本题考查椭圆方程标准方程和性质，直线与椭圆的位置关系，以及圆锥曲线中的面积问题，涉及两点间距离公式，直线方程，点到直线距离公式的综合运用，属于较难题．
利用已知条件列出方程，求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的标准方程；
设，则直线BP方程为：，与椭圆方程联立，得到P点的坐标，根据，解得，再代入求面积即可得解．
   变式1.如图所示，已知A，B，C是焦距为4的椭圆G：上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心．且，．求椭圆G的方程；过椭圆G上异于顶点的任意一点P作圆O：的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN与x轴，y轴分别交于点E，F，当的面积最小时求与的面积之比．【答案】解：因为，，
，为等腰直角三角形，，
代入椭圆方程得，又，
，，椭圆方程为；
设，，，
PM方程为，PN方程为，
又PM与PN交于点，
，，则MN方程为，
，，
又，，的最小值为，
此时，的面积最小，不妨令，，
此时，则直线MN方程为，
原点O到MN距离为，P到MN距离为，
，，．【解析】本题考查椭圆的标准方程以及直线与圆的位置关系和圆锥曲线中的面积问题，属于较难题目．
根据条件得到，代入椭圆方程得，结合即可得到椭圆方程；
设，，，根据条件得到当，的面积最小为，再求出此时，即可得到答案．
 变式2.椭圆上动点P到两个焦点的距离之和为4，且到右焦点距离的最大值为．求椭圆C的方程；设点B为椭圆的上顶点，若直线l与椭圆C交于两点M，N不是上下顶点，且试问：直线l是否经过某一定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由；在的条件下，求面积的最大值．【答案】解：由已知得：，
，由可得，则可得，
椭圆C的方程为：
依题意可设直线必存在，
设，
将代入椭圆方程得
，

，
，

，


，
点B为椭圆的上顶点，，
且，，
即，
即，
，
，
解得或，
直线l：不过上顶点，
，
直线必过定点
不难得到：


，
令，则，


当且仅当，即时取等号．
面积的最大值为．【解析】本题考查椭圆的性质和椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，考查向量垂直的判定，圆锥曲线中的最值问题，圆锥曲线中的定点与问题，对勾函数的应用，属于难题．
根据已知求得，，，即可写出椭圆的方程．
依题意可设直线必存在，，将代入椭圆方程得，由此求得，，，进而求得和，再结合向量垂直的坐标运算即得，代入，和，即可求得m，进而判断出结论
由题意，不难得到：，由可化简得，令，再结合对勾函数性质进行计算即可．   串讲1.已知定点，圆N：，点Q为圆N上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C．
求曲线C的方程；
过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．【答案】解：由题意可得，
所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，
即曲线C的方程为：；
由题意可设的方程为，
联立方程得，
设，，
则由根与系数关系有，
所以
，
根据椭圆的对称性可得，
与的距离即为点M到直线的距离，为，
所以四边形ABDE面积为，
令得，
又对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6．【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中面积最值的求法，属于中档题．
依题意，结合椭圆的定义即可求出椭圆的标准方程；
设的方程为，与椭圆方程联立，由根与系数的关系得到两根之和及两根之积，再表示出四边形ABDE的面积，换元后利用对勾函数性质即得解．
   串讲2.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交C于，两点，．

求抛物线方程；
点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且，求面积的最小值及此时直线AD的方程．【答案】解：依题意，
当直线AB的斜率不存在时，，，
当直线AB的斜率存在时，
设
由，化简得，
由得，，
综上，所以抛物线方程．
，设，，则，
又由，可得，
因为，，所以，
故直线，
即，
由
化简得，
所以．
所以

，
设点B到直线AD的距离为d，
则，

，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最小值为16．
当时，AD：，
当时，AD：．【解析】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，属于较难题．
根据题意，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，求出p的值，综合即可得答案；
根据题意，设，，分析可得E、A的坐标，进而可得直线AD的方程，结合三角形面积公式可以用t表示面积，利用基本不等式的性质分析可得答案．