专题17 情境问题的探究之数列部分-2021年高考数学微专题复习（新高考地区专用）练习

专题17  情境问题的探究之数列部分

一、题型选讲

题型一 、数列额递推关系

例1、（2020年西安三模）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且an＝，则解下5个环所需的最少移动次数为（　　）

A．7 B．13 C．16 D．22

【答案】C

【解析】由于a1＝1，所以a2＝2a1﹣1＝1，a3＝2a2+2＝4，a4＝2a3﹣1＝7，a5＝2a4+2＝16．

故选：C．

例2、【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块

【答案】C

【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，

则是以9为首项，9为公差的等差数列，，

设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分

别为，因为下层比中层多729块，

所以，

即

即，解得，

所以.

故选：C

例3、6、十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为

（参考数据：，）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】第一次操作去掉的区间长度为

       第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为

 第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为

--------

第n次操作去掉个长度为的区间，长度和为

所以最小值为6

例4、（2020年江苏南京雨花区期中模拟）九连环是中国最杰出的益智游戏．九连环有九个相互连接的环组成，这九个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来，规则如下：如果要解下（或安上）第n号环，则第（n﹣1）号环必须解下（或安上），n﹣1往前的都要解下（或安上）才能实现．记解下n连环所需的最少移动步数为an，已知a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+2an﹣2+1（n≥3），则解六连环最少需要移动圆环步数为（　　）

A．42 B．85 C．256 D．341

【答案】A

【解析】：由题意可得：a3＝a2+2a1+1＝2+2+1＝5，a4＝a3+2a2+1＝5+4+1＝10，

a5＝a4+2a3+1＝10+10+1＝21，a6＝a5+2a4+1＝21+20+1＝42．

故选：A．

题型二、数列的基本量问题

例5、（2019·湖南衡阳市八中高三月考（理））公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为

当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时，乌龟爬行的总距离为

故选

例6、（2020届山东省泰安市高三上期末）我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺.

【答案】1.5

【解析】设此等差数列的公差为，

由题意即解得

 所以夏至的日影子长为

 故答案为：

例7、（2020•衡水模拟）有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？“在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（　　）

A．35 B．75 C．155 D．315

【答案】C

【解析】：由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，

所以a1＝5，q＝2，

∴前5天所屠肉的总两数为：

．

故选：C．

二、达标训练

1、（2020届山东实验中学高三上期中）古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（    ）

A．6天 B．7天 C．8天 D．9天

【答案】C

【解析】设该女子第一天织布尺，

则，

解得，

前天织布的尺数为：，

由，得，

解得的最小值为8．

故选：．

2、（2021年江苏徐州模拟）“干支纪法”是我国记年、月、日、时的序号的传统方法，天干地支简称“干支”，天干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．“地支”指：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．如，农历1861年为辛酉年，农历1862年为壬戌年，农历1863年为癸亥年，则农历2068年为（　　）

A．丁亥年 B．丁丑年 C．戊寅年 D．戊子年

【答案】．D

【解析】：记a1＝辛，b1＝酉（1861）；a2＝壬，b2＝戌（1862）；a3＝癸，b3＝亥（1863），

由题意可知数列{an}，{bn}的最小正周期分别为10和12，

故a208＝a8＝戊，b208＝b4＝子（2068），

故选：D．

3、（2020•广东四模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个“九儿问甲歌”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a3+a4+a5+a6+a7﹣a1﹣a9＝（　　）

A．46 B．69 C．92 D．138

【答案】．B

【解析】根据题意，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则数列{an}为等差数列，

又由S9＝207，即S9＝＝9a5＝207，变形可得a5＝23，

a3+a4+a5+a6+a7﹣a1﹣a9＝a4+a5+a6＝3a5＝69；

故选：B．

4、（2021年山东开学初模拟）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（　　）

A．七尺五寸 B．六尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸

【答案】．D．

【解析】：从冬至日起，日影长构成数列{an}，则数列{an}是等差数列，

则a5+a6+a7+a8＝32，S7＝73.5，

所以

解可得，a1＝，d＝﹣1．

故a10＝＝4.5．

故选：D．

5、（2021年山东开学初模拟）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到1009这1009个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（    ）

A. 100项 B. 101项 C. 102项 D. 103项

【答案】B

【解析】因为能被2除余1且被5除余1的数就能被10整除余1，

所以按从小到大的顺序排成一列可得，

由，得，故此数列的项数为101.

故选：B.