中考数学圆的探究性问题专题含答案

这是一份中考数学圆的探究性问题专题含答案，共50页。

(1)若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；
(2)若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；
(3)在(2)的条件下，若AD=，求的值.
【解答】（1）连接CD、DE，⊙E中，∵ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD=α，
∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，
⊙D中，∵DC=DE=AD，
∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，
△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，
∴∠CAD==；
（2）设∠MBE=x，
∵EM=MB，
∴∠EMB=∠MBE=x，
当EF为⊙D的切线时，∠DEF=90°，
∴∠CED+∠MEB=90°，
∴∠CED=∠DCE=90°﹣x，
△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，
∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴，
∴∠CAD=45°；
（3）由（2）得：∠CAD=45°；
由（1）得：∠CAD=；
∴∠MBE=30°，
∴∠CED=2∠MBE=60°，
∵CD=DE，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE=EF=AD=，
Rt△DEM中，∠EDM=30°，DE=，
∴EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，
△ACB中，∠NCB=45°+30°=75°，
△CNE中，∠CEN=∠BEF=30°，
∴∠CNE=75°，
∴∠CNE=∠NCB=75°，
∴EN=CE=，
∴===2+．
练习1-1如图，Rt△BAC的两直角条边AC=3，BC=4，点是边上的一动点（P不与B重合），以为圆心作⊙P与BA相切于点M.设CP=x，的半径为y.
(1)求证：△BPM∽△BAC.
(2)求x与y的函数式，并确定
当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离?
(3)当点P从C点向点B移动时，是否存在这样的⊙P，使得它与△BAC的外接圆相内切?若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：∵AB切⊙P于点M，
∴∠PMB=∠C=90°．
又∵∠B=∠B，
∴△BPM∽△BAC．
（2）解：∵AC=3，BC=4，∠C=90°，
∴AB=5．
∵，
∴，
∴（0≤x＜4）．
当x＞y时，⊙P与AC所在的直线相离．
即x＞，
得x＞，
∴当＜x＜4时，⊙P与AC所在的直线相离．
（3）解：设存在符合条件的⊙P．
得OP=2.5-y，而BM=，
∴OM=2.5-，
有，
得
∴y1=0（不合题意舍去），y2=．
∴y=时，x=．
练习1-1如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G.
(1)求证:△ADF≌△BDG;
(2)填空:
①若AB=4，且点E是BD的中点，则DF的长为 ;
②取AE的中点H，当∠EAB的度数为 时，四边形OBEH为菱形.
【解析】(1)证明:∵在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=45°.
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠BDG=90°.
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴DA=DB.
∵∠CAE与∠DBG都是DE所对的圆周角，
∴∠CAE=∠DBG，
∴△ADF≌△BDG.
(2)①4-22 [解析]∵△ADF≌△BDG，
∴DG=DF.
∵点E是BD的中点，
∴∠CAE=∠BAE.
∵AB为直径，∴∠AEB=∠AEG=90°.
又AE=AE，∴△AEG≌△AEB，
∴AG=AB=4.
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=22，
∴DF=DG=AG-AD=4-22.
故填4-22.
②30° [解析]连接OE，
∵四边形OBEH为菱形，
∴BE=BO.
∵OB=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠ABE=60°.
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB=30°.
故填30°.
练习1-2已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C，D两点，CD＝2，∠DAB＝30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q.
(1)当点P运动到使Q，C两点重合时(如图①)，求AP的长．
(2)点P在运动过程中，有几个位置(几种情况)使△CQD的面积为eq \f(1,2)？(直接写出答案)
(3)当△CQD的面积为eq \f(1,2)，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时(如图②)，求AP的长．
【解析】(1)∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°.
∵∠DAB＝30°，OB＝eq \f(1,2)CD＝1，
∴AO＝2OB＝2，AC＝AO－CO＝2－1＝1.
当Q，C两点重合时，CP与⊙O相切于点C，如解图①，
则有∠ACP＝90°，
∴cs∠CAP＝eq \f(AC,AP)＝eq \f(1,AP)＝eq \f(\r(3),2)，
解得AP＝eq \f(2\r(3),3).
(2)有4个位置使△CQD的面积为eq \f(1,2).
设点Q到CD的距离为h，
∵S△CQD＝eq \f(1,2)CD·h＝eq \f(1,2)×2·h＝eq \f(1,2)，∴h＝eq \f(1,2).
由于h＝eq \f(1,2)<1，结合解图②可得：
有4个位置使△CQD的面积为eq \f(1,2).
(3)过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，如解图③.
∵S△CQD＝eq \f(1,2)CD·QN＝eq \f(1,2)×2·QN＝eq \f(1,2)，∴QN＝eq \f(1,2).
∵CD是⊙O的直径，QN⊥CD，
∴∠CQD＝∠QND＝∠QNC＝90°，
∴∠CQN＝90°－∠NQD＝∠NDQ，
∴△QNC∽△DNQ，
∴eq \f(QN,DN)＝eq \f(NC,NQ)，∴QN2＝CN·DN.
设CN＝x，则有eq \f(1,4)＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－x))，
整理得4x2－8x＋1＝0，解得：x1＝eq \f(2－\r(3),2)，x2＝eq \f(2＋\r(3),2).
∵CQ＞QD，∴x＝eq \f(2＋\r(3),2)，∴eq \f(NC,QN)＝2＋eq \r(3).
∵QN⊥CD，PM⊥CD，
∴∠PMC＝∠QNC＝90°.
∵∠MCP＝∠NCQ，
∴△PMC∽△QNC，
∴eq \f(MC,MP)＝eq \f(NC,NQ)＝2＋eq \r(3)，
∴MC＝(2＋eq \r(3))MP.
在Rt△AMP中，
tan∠MAP＝eq \f(MP,AM)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，
∴AM＝eq \r(3)MP.
∵AC＝AM＋MC＝eq \r(3)MP＋(2＋eq \r(3))MP＝1，
∴MP＝eq \f(\r(3)－1,4)，
∴AP＝2MP＝eq \f(\r(3)－1,2).
练习1-3如图，已知直线y=−m(x−4)(m>0)与x轴、y轴分别交于A. B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C. 过A作x轴的垂线AT，M是线段OB上一动点(与O点不重合)，过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P.连接CN、CM.
(1)证明：∠MCN=90°；
(2)设OM=x，AN=y，求y关于x的函数解析式；
(3)若OM=1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积。
【解析】证明：(1)∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是C的直径，
∴AT、OM是C的切线，
又∵MN切C于点P，
∴∠CMN=∠OMN,∠CNM=∠ANM，
∵OM∥AN，
∴∠ANM+∠OMN=180∘，
∴∠CMN+∠CNM=∠OMN+∠ANM=(∠OMN+∠ANM)=90∘，
∴∠MCN=90∘；
(2)由(1)可知：∠1+∠2=90∘,而∠2+∠3=90∘，
∴∠1=∠3；
∴Rt△MOC∽Rt△CAN，
∴OM/AC=OC/AN，
∵直线y=−m(x−4)交x轴于点A，交y轴于点B，
∴0=−m(x−4)，
∴x=4，
∴A(4,0)，
∴AC=CO=2，
∵OM=x，AN=y，
∵x/2=2/y，
∴y=；
(3)∵OM=1，
∴AN=y=4,此时S四边形ANMO=10，
∵直线AB平分梯形ANMO的面积，
∴△ANF的面积为5过点F作FG⊥AN于G,则FG⋅AN=5，
∴FG=，
∴点F的横坐标为4−=，
∵M(0,1),N(4,4)，
∴直线MN的解析式为y=x+1，
∵F点在直线MN上，
∴F点的纵坐标为y=，
∴F(,)，
∵点F又在直线y=−m(x−4)上，
∴=−m(−4)，
∴m=.
【经典例题2】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，∠CAB=30°，D是直径AB上一动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与圆O的其中一个交点记为点E（点E位于直线CD上方或左侧），连接EC．己知AB=6cm，设A、D两点间的距离为xcm，、两点间的距离为，、两点间的距离为，小雪根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小雪的探究过程：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值，请将表格补充完整（保留一位小数）；
（2）在同一平面直角坐标系中，的图象如图所示，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当时，的长度约为______．
24．如图，半圆O的直径AB = 5cm，点M 在AB上且AM =1cm，点P是半圆O上的动点，过点B作BQ⊥PM交PM（或PM的延长线）于点Q .设PM = x cm ，BQ =ycm.（当点P与点A或点B重合时，y的值为0 ）
练习2-1小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 BQ与直径 AB所夹的锐角为600时， PM 的长度约为 cm.
【解析】(1)当x=2时，PM⊥AB，此时Q与M重合，BQ=BM=4，
当x=4时，点P与B重合，此时BQ=0.
故答案为4；0.
(2)函数图象如图所示：
(3)如图，
在Rt△BQM中,∵∠Q=90∘,∠MBQ=60∘，
∴∠BMQ=30∘，
∴BQ=0.5BM=2，
观察图象可知y=2时，对应的x的值为1.1或3.7.
故答案为1.1或3.7.
练习2-3如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=6，BO=，以点O为圆心，以2为半径作优弧DE，交AO于点D，交BO于点E，点M在优弧DE上从点D开始移动，到达点E时停止，连接AM，
（1）当AM=时，判断AM与优弧DE的位置关系，并加以证明；
（2）当MO∥AB时，求点M在优弧DE上移动的路线长及线段AM的长.
（3）连接BM，设△ABM的面积为5，直接写出S的取值范围.
练习2-4如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ(弧)上且不与A点重合，但Q点可与B点重合。
发现：AP(弧)的长与QB(弧)的长之和为定值l，求l；
思考：点M与AB的最大距离为___，此时点P，A间的距离为___；点M与AB的最小距离为___，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为___.
探究：当半圆M与AB相切于T时，求AT的长。
（注：结果保留π，cs35°=，cs55°=）
【解析】发现：如图1，连接OP、OQ，
∵AB=4，∴OP=OQ=2，
∵PQ=2，
∴△OPQ是等边三角形，∴∠POQ=60°，
∴弧PQˆ=，
又∵半圆O的长为：π×4=2π，
∴弧APˆ+弧QBˆ=2π−π=π，
∴l=π;
思考：如图2，过点M作MC⊥AB于点C，
连接OM，
∵OP=2，PM=1，
∴由勾股定理可知：OM=，
当C与O重合时，
M与AB的距离最大，最大值为，
连接AP，此时，OM⊥AB，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OP，∴△AOP是等边三角形，
∴AP=2，
如图3，当Q与B重合时，
连接DM，
∵∠MOQ=30°，∴MC=OM=，
此时，M与AB的距离最小，最小值为，
设此时半圆M与AB交于点D，
DM=MB=1，
∵∠ABP=60°，
∴△DMB是等边三角形，
∴∠DMB=60°，
∴扇形DMB的面积为：，
△DMB的面积为：MC⋅DB=××1=，
∴半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为：；
故答案为3√，2，3√2，π6−3√4；
探究：当半圆M与AB相切时，
此时，MC=1，
如图4，当点C在线段OA上时，
在Rt△OCM中，
由勾股定理可求得：OC=，
∴cs∠AOM=OC/OM=，
∴∠AOM=35°，
∵∠POM=30°，
∴∠AOP=∠AOM−∠POM=5°，
∴弧APˆ=，
当点C在线段OB上时，
此时，∠BOM=35°，
∵∠POM=30°，
∴∠AOP=180°−∠POM−∠BOM=115°
∴弧APˆ=，
综上所述，当半圆M与AB相切时，弧APˆ的长为或.
练习2-5 问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为________.
问题探究
（2）如图②，已知矩形ABCD，AB=4，AD=6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；
问题解决
（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦BC与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口D到弧BC上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB=45°，BD=120米，BC=160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交弧BC于点F，又测得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？
【解析】（1）如图，若AO交BC于K，
∵点O是△ABC的外接圆的圆心，AB=AC，
∴AK⊥BC，BK=BC＝6，
∴AK==8
在Rt△BOK中，OB2=BK2+OK2，设OB=x，
∴x2=62+（8-x）2，
解得x=，
∴OB=；
故答案为：．
（2）如图，连接EO，延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的距离最大，
∵在弧BC是任意取一点异于点P的P′，连接OP′，P′E，
∴EP=EO+OP=EO+OP′>EP′，即EP>EP′，
∵AB=4，AD=6，
∴EO=4，OP=OC=BC＝3，
∴EP=OE+OP=7，
∴E、P之间的最大距离为7．
（3）作射线FE交BD于点M，
∵BE=CE，EF⊥BC，弧BC是劣弧，
∴弧BC
所在圆的圆心在射线FE上，
假设圆心为O，半径为r，连接OC，则OC=r，OE=r-40，BE=CE=BC＝80，
在Rt△OEC中，r2=802+（r-40）2，
解得：r=100，
∴OE=OF-EF=60，
过点D作DG⊥BC，垂足为G，
∵AD∥BC，∠ADB=45°，
∴∠DBC=45°，
在Rt△BDG中，DG=BG=＝120，
在Rt△BEM中，ME=BE=80，
∴ME>OE，
∴点O在△BDC内部，
∴连接DO并延长交弧BC
于点P，则DP为入口D到弧BC
上一点P的最大距离，
∵在弧BC
上任取一点异于点P的点P′，连接OP′，P′D，
∴DP=OD+OP=OD+OP′>DP′，即DP>DP′，
过点O作OH⊥DG，垂足为H，则OH=EG=40，DH=DG-HG=DG-OE=60，
∴OD＝，
∴DP=OD+r=+100
∴修建这条小路最多要花费40×(+100)＝(800+4000)元．
【经典例题3】已知在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(−3，0)，C(−3，8)，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD.
(1)求证：直线OD是⊙E的切线；
(2)点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；
①当tan∠ACF=时，求所有F点的坐标___(直接写出)；
②求BGCF的最大值。
【解析】(1)证明：如图1，连接DE，
∵BC为圆的直径，
∴∠BDC=90°，∴∠BDA=90°
∵OA=OB
∴OD=OB=OA ，∴∠OBD=∠ODB
∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB
∴EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB
即：∠EBO=∠EDO
∵CB⊥x轴
∴∠EBO=90°，∴∠EDO=90°
∵点D在⊙E上
∴直线OD为⊙E的切线。
(2)①如图2，当F位于AB上时，过F作F1N⊥AC于N，
∵F1N⊥AC
∴∠ANF1=∠ABC=90°
∴△ANF∽△ABC
∴AN/AB=NF1/BC=AF1/AC
∵AB=6，BC=8，
∴AC==10，即AB:BC:AC=6:8:10=3:4:5
∴设AN=3k，则NF1=4k，AF1=5k
∴CN=CA−AN=10−3k
∴tan∠ACF=F1N/CN=4k/(10−3k)=1/7，解得：k=
∴AF1=5k=
OF1=3−=
即F1(，0)
如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M⊥CA于M，
∵△AMF2∽△ABC
∴设AM=3k，则MF2=4k，AF2=5k
∴CM=CA+AM=10+3k
∴tan∠ACF=F2M/CM=4k/(10+3k)=1/7
解得：k=
∴AF2=5k=2
OF2=3+2=5
即F2(5，0)
故答案为：F1(，0)，F2(5，0).
②方法1:如图4，过G作GH⊥BC于H，
∵CB为直径∴∠CGB=∠CBF=90°
∴△CBG∽△CFB
∴BGBF=BCCF=CGBC
∴BC2=CG⋅CF
∴
∴当H为BC中点，即GH=BC时，BGCF的最大值=.
练习3-1已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为(0，2)，以OA为直径作圆B. 若点D是x轴上的一动点，连接AD交圆B于点C.
(1)当tan∠DAO=时，求直线BC的解析式；
(2)过点D作DP∥y轴与过B. C两点的直线交于点P，请任意求出三个符合条件的点P的坐标，并确定图象经过这三个点的二次函数的解析式；
(3)若点P满足(2)中的条件，点M的坐标为(−3，3)，求线段PM与PB的和的最小值，并求出此时点P的坐标。
【解析】(1)如图所示，当点D在x轴的正半轴上时，连接OC，过C点作CK⊥y轴于点K.
∵OA为圆B的直径，点C在圆B上
∴∠ACO=90°
∴∠1=∠2
∵tan∠1=
∴tan∠2=
设OK的长为x，则KC=2x，可得AK=4x
∵点A的坐标为(0，2)，OK+KA=OA
∴点B的坐标为(0，1)，5x=2
∴x=
∴KC=
∴点C的坐标为(，)
设直线BC的解析式为y=kx+1(k≠1)，
得：=k+1
∴k=−34
∴直线BC的解析式为y=−x+1
当点D在x轴的负半轴上时，同理可得直线BC的解析式为y=x+1
∴满足题意的直线BC的解析式为y=−x+1或y=x+1.
(2)∵DP∥y轴
∴DP⊥x轴
当点D位于如图的位置时，有D(1，0)
可得P点的纵坐标为y=−×1+1=
∴点P的坐标为(1，)
如图所示，当点D的坐标为(2，0)时，△AOD为等腰三角形
连接OC
∵OA为圆B的直径
∴OC⊥AD
∴C为AD中点
∴BC∥OD
又∵DP1∥y轴
∴点P1的坐标为(2，1)
如图所示，类似地，可得点P2的坐标为(−2，1)
设图象经过P、P1、P2、三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，得：
①=a+b+c；②1=4a+2b+c；③1=4a−2b+c
解得a=，b=0，c=0
∴图象经过这三点的二次函数的解析式为y=x2.
(3)如图所示
∵AB∥PD，
∴PD⊥x轴，AB/DP=BC/PC
∵AB=BC
∴DP=PC
∴PM+PB=PM+PC+BC
=PM+PD+BC
由几何知识可知，当直线DP经过点M(−3，3)时，PM+PD的值最小
又∵BC是圆B的半径
∴当直线BP过点M时，PM+PB的值最小
∴PM+PB的最小值是MD+BC=3+1=4
∵OD=3，OA=2
由勾股定理有AD=
又可证DO是圆B的切线
∴OD2=DC⋅AD
∴CD=，
则AC=AD−CD=
由△PDC∽△BAC，得：PD/AB=DC/AC
即DP==
∴点P的坐标为(−3，).
练习3-2如图，一次函数的图象y=-x+4交y轴于点A，交x轴于点B，点C与点B关于y轴对称，点P在射线AB（不包括A，B两点）上运动，连接CP与y轴交于点D，连接BD，过P，D，B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连接EF，BF．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）试说明当点P在射线AB（不包括A，B两点）上运动时，△DEF始终是等腰直角三角形；
（3）请你探究：点P在运动过程中，说法存在这样的⊙Q，其圆心恰好在x轴上？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）令x=0得：y=4，
∴点A的坐标为（0，4）．
令y=0得：-x+4=0，解得：x=4，
∴点B的坐标为（4，0）．
∵点C与点B关于y轴对称，
∴点C（-4，0）．
（2）如图1所示：连结EP．
∵点B的坐标为（4，0），点A的坐标为（0，4），
∴OA=OB．
∴∠OAB=45°．
∵点B与点C关于y轴对称，
∴∠CDO=∠BDO．
又∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP．
又∵∠BDE=∠BPE，
∴∠ADP=∠BPE．
∵∠DAP+∠ADP=∠DPE+∠BPE=∠DPB，
∴∠DPE=∠DAP=45°．
∴∠DFE=45°．
∵DF为⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．
如图2所示：连结BE．
∵点B与点C关于y轴对称，
∴∠ADB=∠ADC．
又∵∠ADC=∠EDP，∠DEP=∠EBP，
∴∠ADB=∠EBP．
∵∠ADB+∠DAB=∠BEP+∠DBE，
∴∠DBE=∠DAB=45°．
∴∠DFE=45°．
∵DF为⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．
（3）如图3所示：
由（2）可知△DEF为等腰直角三角形，则∠EDF=45°．
∵∠DOB=90°，∠DOQ=45°，
∴△DOQ为等腰直角三角形．
∴OD=OQ．
设DO=OQ=a，则QD=a，则QB=QD=a．
∵OQ+BQ=4，
∴a+a=4，解得：a=4-4．
设CD的解析式为y=kx+4-4．将点C的坐标代入得：-4k+4-4=0，解得k=-1．
∴直线CD的解析式为y=（-1）x+4-4．
将y=-x+4与y=（-1）x+4-4联立，解得x=4-4，y=8-4．
∴点P的坐标为（4-4，8-4）．
练习3-3阅读资料：小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：
如图1，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、OC．
因为PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP＝∠ACB＝90°，所以∠1＝∠2．
又因为∠B＝∠1，所以∠B＝∠2．
在△PAC与△PCB中，又因为：∠P＝∠P，所以△PAC∽△PCB，所以＝，即PC2＝PA•PB．
问题拓展：
（Ⅰ）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2）等式PC2＝PA•PB，还成立吗？请证明你的结论；
综合应用：
（Ⅱ）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P；
（1）当AB＝PA，且PC＝12时，求PA的值；
（2）D是BC的中点，PD交AC于点E．求证：＝．
【解析】（Ⅰ）当PB不经过⊙O的圆心O时，等式PC 2＝PA•PB仍然成立．
证法一：如图2﹣1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，
∴∠B＝∠E，∠BPD＝∠APE，
∴△PBD∽△PEA，
∴，
即PA•PB＝PD•PE，
由图1知，PC2＝PD•PE，
∴PC2＝PA•PB．
证法二：如图2﹣2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥CD，
∴∠CAD＝∠PCD＝90°，
即∠1+∠2＝90°，∠D+∠1＝90°，
∴∠D＝∠2．
∵∠D＝∠B，
∴∠B＝∠2，
∠P＝∠P，
∴△PBC∽△PCA，
所以，
即PC 2＝PA•PB．
（Ⅱ）由（1）得，PC2＝PA•PB，PC＝12，AB＝PA，
∴PC2＝PA•PB＝PA（PA+AB）＝2PA2，
∴2PA2＝144，
∴PA＝±6（负值无意义，舍去）．
∴PA＝6．
（2）证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，
∴＝，＝．
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴＝，
∴＝．
∵PC 2＝PA•PB，
∴＝＝＝，
即＝．
证法二：过点A作AG∥DP，交BC于点G，
∴＝，＝．
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴＝，
∴＝．
∵PC 2＝PA•PB，
∴＝＝＝，
即＝．
练习3-4【问题学习】
小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα＝，求sin2α的值；
小娟是这样给小芸解的：构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC＝α，则sinα＝，则AB＝3x，…．
【问题解决】
（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）
（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P＝β，sinβ＝，求sin2β的值．
【解析】（1）作CD⊥AB于D．如图1，
设∠BAC＝α，则sinα＝＝，
设BC＝x，则AB＝3x，
在Rt△ABC中，AC＝，
又∵AC×BC＝AB×CD
∴CD＝，
∴sin∠COD＝sin2α＝；
（2）如图2，作直径NQ，连接NO，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NQ于点R，
∵NQ为直径，
∴∠NMQ＝90°．
∵∠Q＝∠P＝β，
∴∠MON＝2∠Q＝2β，
在Rt△QMN中，∵sinβ＝，
∴设MN＝3k，则NQ＝5k，易得OM＝NQ＝．
∴MQ＝，
∵MN×MQ＝NQ×MR
∴MR＝，
在Rt△MRO中，sin2β＝sin∠MON＝．
练习3-5如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE＝∠B．
（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；
（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？
【解析】（1）∵∠ACB＝90°，点O是AB的中点，
∴OC＝0B＝OA＝5．
∴∠OCB＝∠B，∠ACO＝∠A．
∵∠DOE＝∠B，
∴∠FOC＝∠OCF．
∴FC＝FO．
∴△COF是等腰三角形．
过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，
∵FC＝FO，FH⊥OC，
∴CH＝OH＝，∠CHF＝90°．
∵∠HCF＝∠B，∠CHF＝∠BCA＝90°，
∴△CHF∽△BCA．
∴＝．
∵CH＝，AB＝10，BC＝6，
∴CF＝．
∴CF的长为．
（2）①若△OMN∽△BCO，如图2，
则有∠NMO＝∠OCB．
∵∠OCB＝∠B，
∴∠NMO＝∠B．
∵∠A＝∠A，
∴△AOM∽△ACB．
∴＝．
∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8．
∵AO＝5，AC＝8，AB＝10，
∴AM＝．
∴CM＝AC﹣AM＝．
②若△OMN∽△BOC，如图3，
则有∠MNO＝∠OCB．
∵∠OCB＝∠B，
∴∠MNO＝∠B．
∵∠ACO＝∠A，
∴△CON∽△ACB．
∴＝＝．
∵BC＝6，AB＝10，AC＝8，CO＝5，
∴ON＝，CN＝．
过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，
∵∠MNO＝∠B，∠MON＝∠B，
∴∠MNO＝∠MON．
∴MN＝MO．
∵MG⊥ON，即∠MGN＝90°，
∴NG＝OG＝．
∵∠MNG＝∠B，∠MGN＝∠ACB＝90°，
∴△MGN∽△ACB．
∴＝．
∵GN＝，BC＝6，AB＝10，
∴MN＝．
∴CM＝CN﹣MN＝﹣＝．
∴当CM的长是或时，△OMN与△BCO相似．
练习3-5如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．
（1）AG＝ ；
（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．
①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；
②当半圆O'交BC于P，R两点时，若的长为π，求此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积；
③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．
【解析】（1）连接OG，如图1，
∵正方形ABCD中，AB＝10，
∴AD＝CD＝AB＝10，∠ADC＝90°，
∵CE＝2，DO＝3，
∴OG＝OE＝CD﹣CE﹣OD＝10﹣2﹣3＝5，
∴DG＝，
∴AG＝AD﹣DG＝10﹣4＝6，
故答案为：6；
（2）①如图2，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M，反向延长HO′交AD于点Q，则∠QHC＝90°，
根据三点共线及垂线段最短可得此时点M到BC的距离最短，
∵∠C＝∠D＝∠QHC＝90°，
∴四边形QHCD是矩形，
∴HQ＝CD＝10，HQ∥CD．
∵点O′是EF′的中点，点Q是DF′的中点，
∵DE＝8，
∴，
∴O'H＝6，
∵CE＝2，DO＝3，
∴OE＝10﹣2﹣3＝5，即半圆的半径为5，
∴MH＝1，
即点M到BC的最短距离为1；
②由①可知半圆O的半径为5，如图3，设∠PO'R的度数为β，
由题意得，的长为＝，
∴∠PO'R＝60°，
∴∠F'O'P+∠EO'R＝120°，
∴，
∵O'R＝PO'，
∴△O'RP是等边三角形，
∴，
∴此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积为；
③当半圆O'与正方形ABCD的边BC相切时，如图4，过点D作DH⊥NE，与NE的延长线交于点H，作EG⊥O′N于点G，则NG＝CE＝2，O′N＝O′E＝5，
∴O′G＝5﹣2＝3，
∴CN＝GE＝，
∴，
NE＝，
∵，
∴，
∴NH＝，
∴tan∠END＝；
当半圆O'与正方形ABCD的边AB相切时，如图5，此时N与F′重合，则EF′⊥AB，
∵AB∥CD，
∴EF′⊥CD，
∴tan∠END＝，
综上，tan∠END＝．
练习3-7如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形ABCD的中心在原点O处，且AB∥x轴，点P在正方形ABCD的边上，点P从点A处沿A→B→C→D→A→B→…匀速运动，以点P为圆心，以1为半径长画圆，在运动过程中：
（1）当⊙P第1次与x轴相切时，则圆心P的坐标为 ；（直接写出结果）
（2）当圆心P的运动路程为2019时，判断⊙P与y轴的位置关系，并说明理由；
（3）当⊙P第一次回到出发的位置时，即⊙P运动一周，求⊙P运动一周覆盖平面的区域的面积．
【解析】（1）当⊙P第1次与x轴相切时，圆心P在正方形的BC边上，且点P到x轴的距离为1，
∴圆心P的坐标为（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）；
（2）⊙P与y轴相切，
理由：∵正方形ABCD的边长为4，
∴⊙P运动一周时，圆心P的运动路程为4×4＝16，
∵，
∴⊙P运动了126周多，圆心P在AB上，且AP＝3，
∴圆心P的坐标为（﹣1，2），
∴圆心P到y轴的距离d＝1，
∵⊙P的半径r＝1，
∴d＝r，
∴⊙P与y轴相切；
（3）S＝1×4×4﹣1×1×4+×4＝16﹣4+π＝12+π，
∴⊙P运动一周覆盖平面的区域的面积为12+π．
0
1
2
3
4
5
6
5.2
4.4
3.6
3.0
2.7
2.7
______
5.2
4.6
4.2
______
4.8
5.6
6.0
x / cm
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y / cm
0
3.7
3.8
3.3
2.5