中考数学动圆专题含答案

这是一份中考数学动圆专题含答案，共23页。


∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，
∴四边形OMH′D是正方形，
∴MH′=OM=1；
由（1）知，四边形CFOE是正方形，
CF=OF=1，
∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；
又由（2）知，y=-x+4，
∴y=-y+4，解得，y=．
②当点P在AC的延长线上时，如图，P″H″与⊙O相切．此时y=1
练习1-1如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．
（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；
（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点．
【解析】（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
由勾股定理得：AC=4，
∵AB=5，BD=3，∴AD=8，
∵∠ACB=90°，DE⊥AD，
∴∠ACB=∠ADE，
∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADE，
∴DE=6，AE=10，
即⊙O的半径为3；
过O作OQ⊥EF于Q，
则∠EQO=∠ADE=90°，
∵∠QEO=∠AED，
∴△EQO∽△EDA，
∴OQ=2.4，
即圆心O到弦EF的距离是2.4；
(2)连接EG，
∵AE=10，AC=4，
∴CE=6，
∴CE=DE=6，
∵DE为直径，
∴∠EGD=90°，
∴EG⊥CD，
∴点G为CD的中点．
练习1-2如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°,AE=，MN=.
(1)求∠COB的度数；
(2)求⊙O的半径R；
(3)点F在⊙O上(弧FME是劣弧)，且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合.在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比.
【解析】(1)∵AE切⊙O于点E,
∴AE⊥CE,
又OB⊥AT,
∴∠AEC=∠CBO=90°,
又∠BCO=∠ACE,
∴△AEC∽△OBC,
又∠A=30°,
∴∠COB=∠A=30°.
(2)∵AE=∠A=30°,
∴在Rt△AEC中,
即EC=AE·tan30°=3.
∵OB⊥MN,∴B为MN的中点,
又MN=
∴MB=
连接OM,在△MOB中,
OM=R,MB=
整理得:R2+18R-115=0,
即(R+23)(R-5)=0,
解得:R=-23(舍去)或R=5,
∴⊙O的半径R为5.
(3)在EF同一侧,△COB经过平移、旋转和相似变换后,这样的三角形有6个,如图,每小图2个,顶点在圆上的三角形,如图所示:
延长EO交圆O于点D,连接DF,如图所示,
∵EF=5,直径ED=10,可得出∠FDE=30°,
∴FD=
则C△EFD=
练习1-3如图所示，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A时立即停止运动．
(1)如果∠POA＝90°，求点P运动的时间；
(2)如果点B是OA延长线上的一点，AB＝OA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．
【解析】（1）当∠POA＝90°时，点P运动的路程为⊙O周长的 eq \f(1,4)或 eq \f(3,4)．
设点P运动的时间为ts．
当点P运动的路程为⊙O周长的 eq \f(1,4)时，
2π·t＝ eq \f(1,4)·2π·12．解得t＝3；
当点P运动的路程为⊙O周长的 eq \f(3,4)时，
2π·t＝ eq \f(3,4)·2π·12．解得t＝9．
∴当∠POA＝90°时，点P运动的时间为3s或9s．
（2）如图所示，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切．
理由如下：当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm．
连结OP、PA．∵⊙O的周长为24πcm，
∴ eq \(\s\up9(︵),AP)的长为⊙O周长的 eq \f(1,6)．∴∠POA＝60°．
∵OP＝OA，∴△OAP是等边三角形．∴OP＝OA＝AP，∠OAP＝60°．
∵AB＝OA，∴AP＝AB．
∵∠OAP＝∠APB＋∠B，∴∠APB＝∠B＝30°．∴OP⊥BP．
∴直线BP与⊙O相切．
练习1-4如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．
（1）判断△AEF的形状为 ，并判断AD与⊙O的位置关系为 ；
（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；
（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为 ；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）
（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为 ．
（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cs74°≈）
【解析】（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：
∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝＝6，
设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，
∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC，
∴△EAH∽△BAC，
∴＝，即：＝，
∴AH＝4t，
∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t，
∴AH＝FH，
∵EH⊥AF，
∴△AEF是等腰三角形，
∴E为的中点，∠EAF＝∠EFA，
∵AH＝FH，
∴OH⊥AC，
∴E、H、O三点共线，
∴∠OAF+∠AOE＝90°，
∵AB平分∠DAM，
∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，
∵∠AOE＝2∠EFA，
∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF，
∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，
∵OA为⊙O的半径，
∴AD与⊙O相切；
故答案为：等腰三角形，相切；
（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示：
由（1）知：EH⊥AC，
∵EN与⊙O相切，
∴∠OEN＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形EHCN为矩形，
∴EH＝NC，
在Rt△AHE中，EH＝＝＝3t，
∴NC＝3t，
∵点N为BC的中点，
∴BC＝2NC＝6t，
∵BC＝6，
∴6t＝6，
∴t＝1，
∴AH＝4，EH＝3，
设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，
在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝（x﹣3）2+42，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为，
∴OH＝，
∴tan∠AOH＝＝，
∴∠AOH＝74°，
∵∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，
∴AE＞OA，
∴劣弧长度的大于半径；
（3）当点E运动到B点时，t＝10÷5＝2，
∴AF＝2×8＝16，AE＝EF＝AB＝10，
此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，
∴△AEF的内心运动的路径长为AG，
作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，如图3所示：
S△AEF＝AF•BC＝×16×6＝48，
设CG＝PG＝NQ＝a，
则S△AEF＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AF•CG+AE•PG+EF•NQ＝×（16+10+10）a＝48，
解得：a＝，
在Rt△AGC中，AC2+CG2＝AG2，即82+（）2＝AG，
∴AG＝，
故答案为：；
（4）分别讨论两种极限位置，
①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1；
②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，
连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，如图4所示：
则四边形OKCH为矩形，OA＝OE＝ON，
∴OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，
设⊙O的半径为x，
则在Rt△AOH中，AH2+OH2＝OA2，即（4t）2+（x﹣3t）2＝x2，
解得：x＝t，
∴OH＝CK＝t﹣3t＝t，
在Rt△OKN中，OK2+KN2＝ON2，即（8﹣4t）2+（3+t）2＝（t）2，
解得：t＝，
∴线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为：1＜t≤，
故答案为：1＜t≤．
【经典例题2】如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN．
（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；
（2）当t为何值时，线段EN与⊙M相切？
（3）若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围．
【解答】解：（1）连接MF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8，
在Rt△AOB中，AB==10，
∵MB=MF，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=∠MFB，
∴MF∥AD，
∴=，
∴=，
∴BF=t（0＜t≤8）．
（2）当线段EN与⊙M相切时，易知△BEN∽△BOA，
∴=，
∴=，
∴t=．
∴t=s时，线段EN与⊙M相切．
（3）①由题意可知：当0＜t≤时，⊙M与线段EN只有一个公共点．
②当F与N重合时，则有t+2t=16，解得t=，
关系图象可知，＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点．
综上所述，当0＜t≤或＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点．
练习2-1如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以2cm/s的速度从点A出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜4），连接EF，当t值为 s时，△BEF是直角三角形．
解：如图，作FM⊥AB于M．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝2cm，∠B＝60°，
∴AB＝2BC＝4（cm），
在Rt△FBM中，∵BF＝CF＝1cm．
∴BM＝BF＝，
由题意当点E运动到与O或M重合时，△EFB是直角三角形，
∴时间t的值为1或1.75或2.25或3s时，△BEF是直角三角形．
故答案为1或1.75或2.25或3．
练习2-2已知点A（1，0）、点B（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．若点P在y轴的负半轴上，且∠APB＝30°，则满足条件的点P的坐标为 ．
解：∵∠APB＝30°，
∴点A、B、P在以C点为圆心，CA为半径的圆上，且∠ACB＝2∠APB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CA＝CB＝AB＝4，
⊙C交y轴于P和P′点，连接CP，如图，
作CD⊥AB于D，CE⊥y轴于E，则AD＝DB＝2，PE＝P′E，
∵AD＝2，CA＝4，
∴CD＝2，OD＝OA+AD＝3，
在Rt△PCE中，PE＝＝，
∵OE＝CD＝2，
∴OP′＝2﹣，OP＝2+，
∴P（0，﹣2﹣），P′（0，﹣2+），
∴满足条件的点P的坐标为（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．
故答案为（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．
练习2-3如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝6cm，AC＝8cm．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t的值为 ．
解：如图，∵AB是直径，
∴∠C＝90°．
又∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴根据勾股定理得到AB＝＝10cm．
则AP＝（10﹣2t）cm，AQ＝t．
∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，
∴0＜t≤2.5．
①如图1，当PQ⊥AC时，PQ∥BC，则
△APQ∽△ABC．
故＝，即＝，解得t＝．
②如图2，当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB，则＝，即＝，
解得t＝．
综上所述，当t＝s或t＝时，△APQ为直角三角形．
故答案是：s或s．
练习2-4如图，直线y=分别与y轴、x轴相交于点A，点B，且AB=5．一个圆心在坐标原点，半径为1的圆，以0.8个单位/秒的速度向y轴正方向运动．设此动圆圆心离开坐标原点的时间为t（）（秒）
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图（1），t为何值时，动圆与直线AB相切？
（3）如图（2），若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以1个单位/秒的速度运动，设t秒时点P到动圆圆心C的距离为s，求s与t的关系式；
（4）在（3）中，动点P自刚接触圆面起，经多长时间后离开了圆面？
【解析】
（1）由-k=0，k≠0，得x=3，
∴B点坐标为（3，0），
∵AB=5，
∴A点坐标为（0，4），
∴直线AB的解析式为y=-x+4；
（2）设t秒时圆与AB相切，此时圆心为C1或C2，切点为D1，D2，如图所示，连接C1D1，C2D2，
由△AC1D1∽△ABO，得AC1/AB=C1D1/OB，
即：，
∴t=，
同理由△AC2D2∽△ABO，
可求得t=，
∴当t=秒或秒时，圆与直线AB相切；
（3）如图2，①当t=0时，s=3，
②当0＜t＜5时，设t秒时动圆圆心为C，连接PC．=，
∴PC∥OB，
∴PC/OB=AC/AO，即，
∴s=-t+3，
③当t=5时，s=0，
④当t＞5时，设动圆圆心为C1，动点P在P1处，连接C1P1．
由②同理可知P1C1∥OB．
∴，即s=t-3，
又当t=0或5时，②中s=3或0，
所以综上所述：
当0≤t≤5时，s=-t+3；
当t＞5时，s=t-3；
（4）当动点P与圆面刚接触时，或刚离开时，s=1，
当s=1时，由s=-t+3，代入得t=；
由s=t-3，代入得t=．-=（秒），
∴动点P自刚接触圆面起，经秒后离开了圆面．