中考数学折叠,旋转问题专题含答案

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（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．
【解析】（1）连接AO，如右图1所示，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，
∴AG＝＝4，
∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，
∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，
∴（3k）2+42＝（5k）2，
解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），
∴5k＝5，
即⊙O的半径是5；
（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，
∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，
连接OM，则∠MOD＝60°，
∴∠MOC＝120°，
过点M作MN⊥CD于点N，
∴MN＝MO•sin60°＝5×，
∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝＝，
即图中阴影部分的面积是：．
练习1-1如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ）
A．AC＝CDB．+＝C．OD⊥ABD．CD平分∠ACB
【解析】A、过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，
由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，
∴AC＝CD'＝CD，
故①正确；
B、∵AC＝CD'，
∴，
由折叠得：，
∴＝，
故②正确；
C、∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
故③正确；
D、延长OD交⊙O于E，连接CE，
∵OD⊥AB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴CD不平分∠ACB，
故④错误；
故选：D．
练习1-2如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将在沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是（ ）
A．6B．C．2D．4
【解析】如图，延长BO交⊙O 于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H．
∵AD＝DB，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO＝90°，
∵OA＝2，AD＝DB＝4，
∴OD＝＝2，
∵BE是直径，
∴∠BAE＝90°，
∵AD＝DB，EO＝OB，
∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，
∴AE＝AD，
∴＝，
∴＝，
∴∠CAE＝∠CAH＝45°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，
∴BC＝OC＝2，
∵CH⊥AB，
∴∠CAH＝∠ACH＝45°，
∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，
在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，
∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，
∴x＝6或2（舍弃），
在Rt△ACH中，∵AC＝，
∴AC＝6．
故选：A．
练习1-3在扇形AOB中，∠AOB＝75°，半径OA＝12，点P为AO上任一点（不与A、O重合）．
（1）如图1，Q是OB上一点，若OP＝OQ，求证：BP＝AQ．
（2）如图2，将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'．
①若点O'落在上，求的长．
②当BO'与扇形AOB所在的圆相切时，求折痕的长．（注：本题结果不取近似值）
【解析】（1）证明：∵BO＝AO，∠O＝∠O，OP＝OQ，
∴△BOP≌△AOQ（SAS）．
∴BP＝AQ．
（2）解：①如图1，点O'落在上，连接OO'，
∵将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'，
∴OB＝O'B，
∵OB＝OO'，
∴△BOO'是等边三角形，
∴∠O'OB＝60°．
∵∠AOB＝75°，
∴∠AOO'＝15°．
∴的长为．
②BO'与扇形AOB所在的圆相切时，如图2所示，
∴∠OBO'＝90°．
∴∠OBP＝45°．
过点O作OC⊥BP于点C，
∵OA＝OB＝12，∠COB＝∠OBP＝45°，
∴．
又∵∠AOB＝75°，∠COB＝45°，
∴∠POC＝30°，
∴．
∴．
∴折痕的长为．
旋转类
【经典例题2】如图1，在锐角△ABC中，AB=5，AC=4，∠ACB=45∘.
计算：求BC的长；
操作：
将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.如图2，当点C1在线段CA的延长线上时。
(1)证明：A1C1⊥CC1；
(2)求四边形A1BCC1的面积；
探究：
将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.连结AA1，CC1，如图3.若△ABA1的面积为5，求点C到BC1的距离；
拓展：
将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，如图4.
(1)若点P是线段AC的中点，求线段EP1长度的最大值与最小值；
(2)若点P是线段AC上的任一点，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值。
【解析】过点A作AG⊥BC于G，
∵∠ACB=45∘
∴∠GAC=45∘，
∴AG=CG，
∴在Rt△AGC中，AG=CG==4
∴在Rt△ABG中，由勾股定理得，BG=3
∴BC=BG+CG=4+3=7；
操作：
(1)证明：∵由旋转的性质可得∠A1C1B=∠ACB=45∘，BC=BC1，
∴∠C C1B=∠C1CB=45∘，
∴∠C C1A1=∠C C1B+∠A1 C1B=45∘+45∘=90∘，
∴A1C1⊥CC1；
(2)四边形A1BCC1的面积=△C C1B的面积+△A1C1B的面积
=×7×7+×7×4=；
探究：
设△A1BA中A1B边为的高为m;△C1CB中BC1边为的高为n.
∵×5m=5，
∴m=2，
∵∠ABC=∠A1B C1
∴∠C1BC=∠A1BA
∵A1B/BC1=AB/BC=
∴△A1BA∽△C1BC
∴m/n=AB/BC=
∴n=
∴点C到BC1的距离.
拓展：
(1)如图2，过点P做PH⊥BC，得到：PH=CH=2，
∴BH=BC−CH=7−2=5.
在Rt△BHP中，根据勾股定理得：BP=.
①△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段BA的延长线上时，
EP1最小，最小值为BP1−BE=BP−BE=-；
②△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，
EP1最大，最大值为BP1+BE=BP+BE=+.
(2)如图3，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45∘=.
①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为-
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为+7=.