中考数学圆中定值问题专题含答案

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（2）求 sin∠CMD；
（3）直线 BM 交直线 CD 于点 E，直线 MH 交⊙O 于点 N，连接 BN 交 CE 于点
F，求 HE•HF 的值．
【解析】 解：（1）如图1中，连接OC．
∵AB⊥CD，
∴∠CHO=90°，
在Rt△COH中，∵OC=r，OH=r-2，CH=4，
∴r2=42+（r-2）2，
∴r=5．
（2）如图1中，连接OD．
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴弧AD=弧AC=CD，
∴∠AOC=∠COD，
∵∠CMD=∠COD，
∴∠CMD=∠COA，
∴sin∠CMD=sin∠COA==．
（3）如图2中，连接AM．
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠MAB+∠ABM=90°，
∵∠E+∠ABM=90°，
∴∠E=∠MAB，
∴∠MAB=∠MNB=∠E，
∵∠EHM=∠NHF
∴△EHM∽△NHF，
∴HE/HN=HM/HF，
∴HE•HF=HM•HN，
∵HM•HN=AH•HB，
∴HE•HF=AH•HB=2•（10-2）=16．
练习1-1如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=1，求HG•HB的值．
【解析】（1）∵DF⊥AC，△ABC为Rt△，
∴∠CDE=∠EBF=90°
∵∠CED=∠FEB，
∴∠DCE=∠EFB，
在△ABC和△EBF中，
∠ACB=∠EFB，BC=BF
∠ABC=∠EBF=90°
∴△ABC≌△EBF，（ASA）．
（2）结论：BD与⊙O相切．
理由：连接OB，
∵DF是AB的中垂线，∠ABC=90°，
∴DB=DC=DA，
∴∠DBC=∠C．
由（1）∠DCB=∠EFB，而∠EFB=∠OBF，
∴∠DBC=∠OBF，
∴∠DBO=∠DBC+∠EBO=∠OBF+∠EBO=90°，
∴DB⊥OB，
∴BD与⊙O相切．
（3）连接EH，
∵BH是∠EBF的平分线，
∴∠EBH=∠HBF=45°．∠HFE=∠HBE=45°．
又∠GHF=∠FHB，
∴△GHF∽△FHB，
∴HF/HB=HG/HF，
∴HG•HB=HF2，
∵⊙O是Rt△BEF的内接圆，
∴EF为⊙O的直径，
∴∠EHF=90°，
又∠HFE=45°，
∴EH=HF，
∴EF2=EH2+HF2=2HF2，
在Rt△ABC中，AB=1，tan∠C=，
∴BC=2，AC==，
由（1）知△ABC≌△EBF，
∴EF=AC=，
∴2HF2=EF2=5，
∴HF2=，
故HG•HB=HF2=．
练习1-2如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）求证：BC= AB；
（3）点 M为弧AB的中点，CM 交 AB 于点 N，若 AB=4，求 MN•MC 的值．
【解析】（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．
（2）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC．
∴BC=AB．
（3）连接MA，MB，
∵点M是弧AB的中点，
∴弧AM＝弧BM，
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴BM/MC＝MN/BM．
∴BM2=MN•MC．
又∵AB是⊙O的直径，
弧AM＝弧BM，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=4，
∴BM=2．
∴MN•MC=BM2=8．
练习1-3已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．
（1）如图1，若∠PCB＝∠A．
①求证：直线PC是⊙O的切线；
②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；
（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC＝9，求BM的值．
【解析】（1）①证明：如图1中，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠PCB＝∠A，
∴∠ACO＝∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
②∵CP＝CA，
∴∠P＝∠A，
∴∠COB＝2∠A＝2∠P，
∵∠OCP＝90°，
∴∠P＝30°，
∵OC＝OA＝2，
∴OP＝2OC＝4，
∴．
（2）解：如图2中，连接MA．
∵点M是弧AB的中点，
∴＝，
∴∠ACM＝∠BAM，
∵∠AMC＝∠AMN，
∴△AMC∽△NMA，
∴，
∴AM2＝MC•MN，
∵MC•MN＝9，
∴AM＝3，
∴BM＝AM＝3．
【经典例题2】如图，已知⊙O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦，AB 与CD 交于点M，将弧 CD 沿着 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合，延长 OA 至 P，使 AP=OA，连接
PC。
（1）求 CD 的长；
（2）求证：PC 是⊙O 的切线；
（3）点 G 为弧 ADB 的中点，在 PC 延长线上有一动点 Q，连接 QG 交 AB 于点
E，交弧 BC 于点 F（F 与 B、C 不重合）。问 GE▪GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由。
【解析】.(1)如答图1，连接OC
∵弧CD沿CD翻折后，A与O重合
∴OM=OA=1，CD⊥OA
∵OC=2
∴CD=2CM=2
(2)∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM=
又∵∠CMP=∠OMC=90°
∴PC==2
∵OC=2,PO=4
∴PC2+OC2=PO2
∴∠PCO=90°
∴PC与☉O相切
(3)GE.GF为定值，证明如下：
如答图2，连接GA、AF、GB
∵G为弧ADB中点
∴弧GA=弧GB
∴∠BAG=∠AFG
∵∠AGE=∠FGA
∴△AGE∽△FGA
∴AG/GE=FG/AG
∴GE.GF=AG2
∵AB为直径，AB=4
∴∠BAG=∠ABG=45°
∴AG=2
∴GE.GF=AG2=8
[注]第(2)题也可以利用相似倒角证∠PCO=90° 第(3)题也可以证△GBE∽△GFB
练习2-1如图，在平面直角坐标系 xy 中，点 M 在 x 轴的正半轴上， ⊙ M 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于C、D 两点，且C 为的弧AE中点，AE 交 y 轴于G 点，若点 A 的坐标为（－2， 0）， AE  8
（1）求点C 的坐标.
（2）连结 MG、BC ，求证： MG ∥ BC
（3）如图 10－2，过点 D 作⊙ M 的切线，交 x 轴于点 P .动点 F 在⊙ M 的圆周上运动时，的比值是否发生变化，若不变，求出比值：若变化，说明变化规律。
【解析】（1）连接ME，DM。
易知A，C是弧AE，弧CD的中点，
且弧AE=弧CD
∴DC=AE=8
∴OC=4
∴C坐标为（0，4）或（0，-4）。
（2）连接MC，交AE于H。
则MC⊥AE，易知MH=MO
∴MG为∠CMA的角平分线
∵∠CMA=∠ACD+∠CAE（∠CAE=∠ACD）
∴1/2∠CMA=∠ACE
∴Rt△GOM∽Rt△AOC
∵Rt△AOC∽Rt△OCB
∴Rt△GOM∽Rt△0CB
∴∠GMO=∠CBO
∴MG‖CB。
(3)连接MF。
设圆M的半径为R，
在RT△ODM中，DM2=OD2+OM2
R2=42+（R-2）2
∴R=5
∴MO=MA-OA=5-2=3
易知△ODM为Rt△，
∴OD2=OM×OP
∴OP=16/3，OM=25/3
MF=5，OM=3
∵OM/MF=3/5， MF/PM=3/5
∴OM/MF=MF/PM
∴△OMF∽△FMP
∴OF/PF=OM/MF=3/5。
练习2-2如图 1，以点 M（－1,0）为圆心的圆与 y 轴、x 轴分别交于点 A、B、C、D，
直线y=与⊙M 相切于点 H，交 x 轴于点 E，交 y 轴于点 F．
（1）请直接写出 OE、⊙M 的半径 r、CH 的长；
（2）如图 2，弦 HQ 交 x 轴于点 P，且 DP:PH＝3:2，求 cs∠QHC 的值；
（3）如图 3，点 K 为线段 EC 上一动点（不与 E、C 重合），连接 BK 交⊙M 于点 T，弦 AT 交 x 轴于点 N．是否存在一个常数 a，始终满足 MN·MK＝a，如果存在，请求出 a 的值；如果不存在，请说明理由．
图 1 图 2 图 3
【解析】（1）OE=5，r=2，CH=2
如图1，△CHP相似△DQP，DP/PH=DQ/CH,
DQ=3,CD=4,cs∠QHC=cs∠QDC==
如图，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则∠GTA=90°
∠BKO=∠1，∠2=∠1
在△AMK和△NMA中，∠2=∠1，∠AMK=∠NMA
故△AMK相似△NMA
MN/AM=AM/MK
即MN·MK=AM2=4
故存在常数a，始终满足MN·MK=a
常数a=4
解法二：连结BM，证明△MBN相似△MKB
得MN·MK=BM2=4=a
练习2-3已知平面直角坐标系中，B（-3，0），A为y轴正半轴上一动点，半径为的⊙A交y轴于点G、H（点G在点H的上方），连接BG交⊙A于点C．
（1）如图①，当⊙A与x轴相切时，求直线BG的解析式；
（2）如图②，若CG=2BC，求OA的长；
（3）如图③，D为半径AH上一点，且AD=1，过点D作⊙A的弦CE，连接GE并延长交x轴于点F，当⊙A与x轴相离时，给出下列结论：① 的值不变；②OG•OF的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．
(1)⊙A与x轴相切，OA=，G（0，5）．
设直线BG的解析式为：y=kx+b，将B、G两点的坐标代入一次函数关系式y=kx+b中，
-3k+b=0 ,b=5 ，
解得： k= ,b=5
得出直线BG的解析式为：y= x +5，
y= x+5．
（2）过点C作CM⊥GH于点M，则CM∥BO，
∴△GCM∽△GBO，
∴ CG/BC = CM/BO ，
∵CG=2BC，B0=3，
∴ CM/3 = 2/3 ，
∴CM=2．
设GM=x，则MH=5-x，
∴x（5-x）=22，
解得：xl=1，x2=4，
∴MG=1或MG=4．
GO=6或GO= ，
当GO= ＜，
则A点在y轴的负半轴，不合题意，故舍．
∴GO=6．∴OA=GO-AG=．
（3）的值不变，其值为7．
证明：连接CH、EH，作DN⊥EG于点N，则DN∥HE．
OG=OB• ①，
同理OG=FO• ②，
=OB• =7，故值不变为7.
练习2-4如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为-1，直线l: y=-x-与坐标轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（4，1） ，⊙B与x轴相切于点M。
（1）点A的坐标及∠CAO的度数；
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线l绕点A顺时针匀速旋转。当⊙B第一次与⊙O相切时，直线l也恰好与⊙B第一次相切。问：直线AC绕点A每秒旋转多少度？
（3）如图2，过A，O，C三点作⊙O1 ，点E是劣弧AO上一点，连接EC，EA，EO，当点E在劣弧AO上运动时（不与A，O两点重合），的值是否发生变化？如果不变，求其值，如果变化，说明理由。
【解析】（1）A（-，0），
∵C（0，-），∴OA=OC
∵OA⊥OC
∴∠CAO=45°；
（2）如图，设⊙B平移t秒到⊙B1处与⊙O第一次相切，此时，直线l旋转到l'恰好与⊙B1第一次相切于点P, ⊙B1与x轴相切于点N，
连接B1O，B1N，则MN=t，OB1=，B1N⊥AN
∴MN=3 即t=3
连接B1A ，B1P，则B1P⊥AP B1P=B1N
∴∠PAB1=∠NAB1
∵OA=OB1=
∴∠AB1O=∠NAB1
∴∠PAB1=∠AB1O
∴PA∥B1O
在Rt⊿NOB1中,∠B1ON=45°
∴∠PAN=45°
∴∠1= 90°
∴直线AC绕点A平均每秒30°；
（3）的值不变,等于
如图在CE上截取CK=EA，连接OK
∵∠OAE=∠OCK, OA=OC
∴⊿OAE≌⊿OCK
∴OE=OK ∠EOA=∠KOC
∴∠EOK=∠AOC=90°
∴EK=EO
=
练习2-5如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，连接AC、FC．
（1）求证：∠ACF＝∠ADB；
（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF＝n，求线段CD的长；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
【解析】（1）证明：连接AB，
∵OP⊥BC，
∴BO=CO，
∴AB=AC，
又∵AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵∠ABD=∠ACF，
∴∠ACF=∠ADB．
（2）解：过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A作AN⊥BF于N，连接AF，
则AN=m，
∴∠ANB=∠AMC=90°，
在△ABN和△ACM中
∠ANB=∠AMC
∠ABN=∠ACM
AB=AC，
∴Rt△ABN≌Rt△ACM（AAS）
∴BN=CM，AN=AM，
又∵∠ANF=∠AMF=90°，
在Rt△AFN和Rt△AFM中
AN=AM
AF=AF，
∴Rt△AFN≌Rt△AFM（HL），
∴NF=MF，
∴BF+CF=BN+NF+CM-MF，
=BN+CM=2BN=n，
∴BN=，
∴在Rt△ABN中，AB2=BN2+AN2=m2+()2=m2+，
在Rt△ACD中，CD2=AB2+AC2=2AB2=2m2+，
∴CD=．
（3）解：的值不发生变化，
过点D作DH⊥AO于N，过点D作DQ⊥BC于Q，
∵∠DAH+∠OAC=90°，∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠OAC=∠ADH，
在△DHA和△AOC中
∠DHA=∠AOC
∠OAC=∠ADH
AD=AC，
∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS），
∴DH=AO，AH=OC，
又∵BO=OC，
∴HO=AH+AO=OB+DH，
而DH=OQ，HO=DQ，
∴DQ=OB+OQ=BQ，
∴∠DBQ=45°，
又∵DH∥BC，
∴∠HDE=45°，
∴△DHE为等腰直角三角形，
∴，
∴．
练习2-6如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．
（1）求证：AB＝AD；
（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
【解析】（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P，
∴OB＝OC，
在△AOB和△AOC中，，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴AB＝AC，
∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD，
∴AD＝AC，
∴AB＝AD；
（2）如图1，过点A作AM⊥BD于M，
由（1）知，AB＝AD，
∴DM＝BD，
∵BF＝4，DF＝6，
∴BD＝10，
∴DM＝5，
∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，
∴△ADM∽△FDA，
∴，
∴，
∴AD＝，
在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；
（3）的值是不发生变化，
理由：如图2，过点D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，
∴∠AHD＝90°＝∠COA，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠CAO+∠DAH＝90°，
∴∠ADH＝∠CAO，
∵AD＝AC，
∴△ADH≌△ACO（AAS），
∴DH＝AO，AH＝OC，
∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，
∴四边形OQDH是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH，
又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，
∴DQ＝BQ，
∴△DBQ为等腰直角三角形，
∴∠DBQ＝45°，
∴∠DEH＝∠BEO＝45°，
∴sin∠DEH＝，
∴＝，
∴，
∴．
练习2-7如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．
【解析】解：（1）如图1，连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
又∵OD是半径，
∴OD⊥BC，
∵MN∥BC，
∴OD⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，
∵AH是直径，
∴∠ABH＝90°＝∠AFC，
又∵∠AHB＝∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴，
∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；
（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，
∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，
∴DQ＝DP，
∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），
∴BQ＝CP，
∵DQ＝DP，AD＝AD，
∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），
∴AQ＝AP，
∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，
∵cs∠BAD＝，
∴AD＝，
∴＝＝2csα．
练习2-8如图示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF．
（1）求证：DE与⊙O相切：
（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；
（3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF•EF的最大值．
【解析】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAF，
∴∠OAD＝∠FAD，
∴∠ODA＝∠FAD，
∴OD∥AF，
∵DE⊥AF，
∴DE⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切：
（2）解：连接BD，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠AED＝90°＝∠ADB，
又∵∠EAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴AD：AB＝AE：AD，
∴AD2＝AB×AE＝10×8＝80，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝4；
（3）连接DF，过点D作DG⊥AB于G，如图3所示：
在△AED和△AGD中，，
∴△AED≌△AGD（AAS），
∴AE＝AG，DE＝DG，
∵∠FAD＝∠DAB，
∴＝，
∴DF＝DB，
在Rt△DEF和Rt△DGB中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DGB（HL），
∴EF＝BG，
∴AB＝AG+BG＝AF+EF＝AF+EF+EF＝AF+2EF，
即：x+2y＝10，
∴y＝﹣x+5，
∴AF•EF＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣5）2+，
∴AF•EF有最大值，当x＝5时，AF•EF的最大值为．
练习2-9某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）
（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；
（2）求证：，且其比值k＝；
（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．
【解析】（1）连接圆心O与正五边形各顶点，
在正五边形中，
∠AOE＝360°÷5＝72°，
∴∠ABE＝∠AOE＝36°，
同理∠BAC＝×72°＝36°，
∴AM＝BM，
∴△ABM是等腰三角形且底角等于36°，
∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝72°+72°＝144°，
∴∠BAD＝∠BOD＝72°，
∴∠BNA＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝72°，
∴AB＝NB，即△ABN为等腰三角形；
（2）∵∠ABM＝∠ABE，∠AEB＝∠AOB＝36°＝∠BAM，
∴△BAM∽△BEA，
∴，而AB＝BN，
∴，
设BM＝y，AB＝x，则AM＝AN＝y，AB＝AE＝BN＝x，
∵∠AMN＝∠MAB+∠MBA＝72°＝∠BAN，∠ANM＝∠ANB，
∴△AMN∽△BAN，
∴，即，则y2＝x2﹣xy，
两边同时除以x2，得：，设＝t，
则t2+t﹣1＝0，解得：t＝或（舍），
∴＝；
（3）∵∠MAN＝36°，根据对称性可知：∠MAH＝∠NAH＝∠MAN＝18°，
而AO⊥BE，
∴sin18°＝sin∠MAH＝
＝
＝．
练习2-10如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于⊙O点E，连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，CD＝3，则DE的长为 ；
（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．
【解析】（1）证明：如图1中，连接AC，OC，OA．
∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝60°，
∵＝，
∴AB⊥OC，
∴∠OAD＝∠OAC＝30°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠OAD，
∴OA∥BF，
∵AF⊥BF，
∴OA⊥AF，
∴AF是⊙O的切线．
（2）解：∵＝，
∴∠CBD＝∠BEC，
∵∠BCD＝∠BCE，
∴△BCD∽△ECB，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝12，
∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9．
故答案为9．
（3）解：结论：＝，的值不变．
理由：如图2中，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N．
∵＝，
∴OC⊥AB，CB＝CA，
∴BH＝AH＝AB，
∵∠ABC＝30°，
∴BH＝BC，
∴AC＝AB，
∵CE∥AN，
∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝∠ABC＝30°，
∴∠CEA＝∠ABC＝30°，∠EAN＝∠N，
∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，
∵∠ACE＝∠ABN，
∴△ACE∽△ABN，
∴＝＝，
∴＝，
∴的值不变．