中考数学确定圆的位置，三心专题含答案

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（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．两条弦垂直平分线的交点。
（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
（4）圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）
圆内接四边形对角互补。
【方法指导】（1）在图1中，∠BOC=2∠A；
（2）在图2中，∠BOC=90°+∠A；
（3）直角三角形的外接圆半径和内切圆半径的求法：如图3，Rt△ABC的外接圆半径O1A=；Rt△ABC的内切圆半径O1D=或O2D=
【经典例题1】（2020泰州）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C、在直角坐标系中的坐标分别为(3，6)，(-3，3)，(7，-2)，则△ABC内心的坐标为 .
【解析】根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，
根据题意可得：AB=，AC=，BC=，
∵AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
设BC的关系式为：y=kx+b，
代入B(-3，3)，C(7，-2)，
可得，
解得：，
∴BC：y=+，
当y=0时，x=3，即G（3，0），
∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，
设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，
∵∠BAC=90°，
∴四边形MEAF为正方形，
S△ABC=，
解得：r=，
即AE=EM=，
∴BE=3-=2，
∴BM=，
∵B（-3，3），
∴M（2，3），
故答案为：（2，3）．
【经典例题2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为(0，3)，点B为(2，1)，点C为(2，-3)，则经画图操作可知:△ABC外心的坐标应是( )
A.(-3，-1) B.(-1，-1)C.(-2，-1) D.(-4，-1)
【解析】∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是(−2，−1).
故选C.
练习1-1如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
【解析】连结BC，
作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点。
故选B.
练习1-2如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 O，A，B，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为 ．
【解析】连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：
在CB的垂直平分线上找到一点D，
CD=DB=DA=，
所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，
即D的坐标为(−1，−2)，
故答案为：(−1，−2)，
练习1-3如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2).若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为____.
【解析】∵点A. B. P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2).
∴PA=PB=，
∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，
∴PC=PA=PB=，
则点C的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4)；
故答案为：(7，4)或(6，5)或(1，4).
练习1-4如图，已知直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2），写出经过 A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：（ ， ）
【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）．
故答案为：2，0．
练习1-5（2020·东莞市期末）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）
【解析】根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是(3，1).
故选D.
练习1-6如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的外心是（ ）.
A.D点 B.E点 C.F点 D.G点
【解析】如图，连接BE
设小正三角形的边长为1，则AN=MN=AN=2，BN=BM=1，AP=CQ=1，
即∠APE=∠CQE=60°
∴AB⊥MN，即∠ABC=90°
∵∠AEP=∠CEQ
∴△APE≌△CEQ
∴AE=CE
∴BE=AE=CE=AC
∴点E是△ABC的外心
故选B
练习1-7 10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点，则点O是下列哪个三角形的外心（ ）
A.△AED B.△ABD C.△BCD D.△ACD
【解析】D
练习1-8如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为Rt△，点A的坐标是（1，0），∠BAO=60°，把Rt△AOB绕点A按顺时针方向旋转90°后，得到Rt△AO'B'，则Rt△AO'B'的外接圆圆心坐标是 .
答案：
练习1-9如图，在△ABC中，AB=3，AC=，点D是BC边上的一点，AD=BD=2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么=( )
A. 2 B. C. D.
【解析】如图，设O与△ABC内切于E. F. G.
∵DA=DB，DG=DF，
∴BF=AG=BE=AE，
∵AB=3，
∴AE=BE=BF=AG=，设DF=DG=m，
∵AD=2DC，
∴CD=(+m)，
∵S△ABD:S△ADC=BD:DC=2:1，
∴(3+3+2m)⋅r1:[+(+m)]⋅r2=2:1，
∴(6+2m)⋅r1:(2+2m)⋅r2═2:1，
∴r1:r2=3:2.
故选C.
【经典例题3】如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm.
【解析】设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，
∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，
∴∠BOC=120°，
作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，
∴BD=，∠OBD=30°，
∴OB=，得OB=，
∴2OB=，
即△ABC外接圆的直径是cm，
故答案为：．
练习3-1（2019·台州市期中）如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条弧所在圆的半径是（ ）
A．2B．C．D．3
【解析】连结BC，
作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点。
再根据勾股定理求得CQ=
故选B.
练习3-2如图，在△ABC中一点D为△ABC的内心，∠A=60°，CD=2，BD=4，则△DBC的面积是 .
【解析】过点B作BH⊥CD于点H.
∵点D为△ABC的内心,∠A=60∘，
∴∠BDC=90∘+12∠A=90∘+12×60∘=120∘，
则∠BDH=60∘，
∵BD=4，BD:CD=2:1
∴DH=2,BH=2，CD=2，
∴△DBC的面积为CD⋅BH=×2×2=2，
故选：C.
练习3-3如图，在等腰△ABC中，AB=AC=2，BC=8，按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH
②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；
③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆
则的圆O的半径为 （ ）
A.2 B. 10 C.4 D. 5
【解析】如图，设OA交BC于T，AB=AC，AO平分∠BAC
∴AO⊥BC，BT=TC=4
∴AT=
在Rt△OCT中，则有r2=(r-2)2+4解得r=5
故选D．
练习3-4如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
【解析】B如图所示，
练习3-5如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，O是以BC为直径的圆，点P在AD边上运动(不与A，D重合)，BP交O于Q，连接CQ.
(1)设线段BP的长为xcm，CQ的长为ycm.求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)求当=时，△APB的外接圆及内切圆的面积.
【解析】(1)∵BC是圆的直径，∴∠BQC=90°.
∵∠ABP+∠PBC=90°，∠BCQ+∠PBC=90°.
∴∠ABP=∠BCQ.
在△ABP和△QCB中∠A=∠BQC=90°，∠ABP=∠BCQ
∴△ABP∽△QCB.
∴CQ/AB=BC/PB，即.
∵点P在AD边上运动，BD=10，
∴函数关系式为y=.(6(2)∵=，∴CQ=PB.
∴48/PB=6PB/5，解得PB=2.
AP==2.
外接圆的面积S=π()2=10πcm2.
设内切圆半径为r，则根据三角形面积有(6+2+2)r=6×2.
解得r=4−.
所以内切圆的面积S=π(4−)2=(26−8)πcm2.
练习3-6如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知:AB=24 cm，CD=8 cm.
(1)求作此残片所在的圆的圆心(不写作法，保留作图痕迹).
(2)求(1)中所作圆的半径.
【解析】(1)作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图。
(2)连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=(x−8)cm，
则根据勾股定理列方程：
x2=122+(x−8)2，
解得：x=13.
答：圆的半径为13cm.
练习3-7如图是一块含30°(即∠CAB=30°)角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0)，现有射线CP绕着点C从CA顺时针以每秒2度的速度旋转到与△ACB外接圆相切为止。在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E.
(1)当射线CP与△ABC的外接圆相切时，求射线CP旋转度数是多少?
(2)当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时，点E处的读数分别是多少?
(3)当旋转7.5秒时，连接BE，求证：BE=CE.
【解析】(1)连接OC.
∵射线CP与△ABC的外接圆相切，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴射线CP旋转度数是120°；
(2)∵∠BCA=90°，
∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆。
当CP过△ABC外心时(即过O点)，∠BCE=60°，
∴∠BOE=120°，即E处的读数为120，
当CP过△ABC的内心时，∠BCE=45°，∠EOB=90°，
∴E处的读数为90.
(3)证明：在图2中，
∵∠PCA=2×7.5°=15°，∠BCE=75°，∠ECA=∠EBA=15°，
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°，
∴BE=EC.
练习3-8如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，
则tan ∠ODA的值为( )
【解析】过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，OG⊥BC，
∴∠OGC=∠OFC=∠OED=90°，
∵∠C=90°，AC=6BC=8，
∴AB=10
∵O为△ABC的内切圆，
∴AF=AE,CF=CG(切线长相等)
∵∠C=90°，
∴四边形OFCG是矩形，
∵OG=OF，
∴四边形OFCG是正方形，
设OF=x，则CF=CG=OF=x，AF=AE=6−x，BE=BG=8−x，
∴6−x+8−x=10，
∴OF=2，
∴AE=4，
∵点D是斜边AB的中点，
∴AD=5，
∴DE=AD−AE=1，
∴tan∠ODA==2.
故选：D.