中考数学阿氏圆专题含答案

这是一份中考数学阿氏圆专题含答案，共42页。

则连接OP、OD；
第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；
第三步：计算这两条线段长度的比；
第四步：在OD上取点M，使得；
第五步：连接CM，与圆O交点即为点P.
先动心，构相似，定联姻
【经典例题1—A+B型】（1）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD+PC的最小值为 .PD−PC的最大值为 ；
（2）如图，已知正方形ABCD的边长为9，⊙B的半径为6，点P是⊙B上的一个动点，则PD+PC的最小值为 .PD−PC的最大值为 ；
（3）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，求PD+PC的最小值为 ；求PD-PC的最大值为 .
【解析】由PD-PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-PC的值最大，最大值为DG=5．
解答
在BC上取一点G，使得BG=1，如图，
∵，，
∴，
∵∠PBG=∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴，
∴PG=PC，
∴PD+PC=DP+PG，
∵DP+PG≥DG
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG=.
∵PD-PC=PD-PG≤DG
当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG=.
故答案为：5
(2)如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4.
∵PB/BG=6/4=3/2，BC/PB=9/6=3/2，
∴PB/BG=BC/PB，∵∠PBG=∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴PG/PC=BG/PB=，
∴PG=PC，
∴PD+PC=DP+PG，
∵DP+PG⩾DG，
∴当D、 G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG=.
∵PD−PC=PD−PG⩽DG，
当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG=.
故答案为，
(3)如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DF⊥BC于F.
∵PB/BG=2/1=2，BC/PB=4/2=2，
∴PB/BG=BC/PB，∵∠PBG=∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴PG/PC=BG/PB=，
∴PG=PC，
∴PD+PC=DP+PG，
∵DP+PG⩾DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF=60∘，CD=4，
∴DF=CD⋅sin60∘=2，CF=2，
在Rt△GDF中，DG=
∵PD−PC=PD−PG⩽DG，
当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大(如图2中)，最大值为DG=.
故答案为.
练习1-1如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF、ED，则EF+ED的最小值 .
【解析】
如图，当点E运动到点E′时，
在AD边上取AH=2，
∵AE′=AE=4，∴=2，
∵AD=8，∴=2，
∴=，
∵∠DAE′=∠E′AH，
∴△DAE′∽△E′AH，
∴=2，
∴E′H=DE'，
∴EF+ED=EF+E′D=EF+E′H=HF，
∴EF+ED的最小值为HF的值，
∵DH=AD-AH=6，
DF=DC-CF=6，
在Rt△DHF中，根据勾股定理，得
HF=，
故选：A．
练习1-2在矩形ABCD中，AB=1，BC=，P为AD上任意一点，求PB+PD最小值.
【解析】如图，连接BD，
在矩形ABCD中，AB=DC=1.BC=，
∴tan∠DBC=DCBC=
∴∠DBC=30∘
作∠DBN=∠DBC=30∘，
过点D作DM⊥BN于点M，BN交AD于点P.
∴∠MDB=60∘
∵AD∥BC
∴∠PDB=∠DBC=30∘
∴∠MDP=30∘∴PM=PD
此时BP+PD=BP+PM最小，最小值为BM的长，
∵∠MBD=∠CBD
∠BMD=∠C=90∘
BD=BD
∴△BMD≌△BCD(AAS)
∴BM=BC=
答：PB+PD的最小值为.
故选：C.
练习1-3如图，P是边长为8的正方形ABCD内部一点，且满足BP=4，则PD+PC的最小值是 .
【解析】在BC边上取一点E，使BE=2，连接DE，如图
∵ABCD是正方形，AB=8
∴AB=BC=CD=8，∠BCD=90∘
∵BP=4
∴，
∴=且∠PBC=∠PBC
∴△PBE∽△BCP
∴
∴PE=PC
∴PD+PC=PD+PE
在Rt△DCE中，CD=8，CE=BC−BE=6
∴DE=
∵PD+PE⩾DE
∴PD+PE⩾10
∴PD+PC的最小值是10
故选：C.
练习1-4已知在△ABO中，∠AOB=90°，AO=，BO=8，以点O为圆心，4为半径作圆，点D是圆上一个动点，连接AD、BD，则AD+BD的最小值 .
【解析】如图，在CB上取一点E，使CE=2，连接CD、DE、AE.
∵AC=6，BC=8，AB=10，所以AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90∘，
∵CD=4，
∴CE/CD=CD/CB=，
∴△CED∽△CDB，
∴ED/DB=CE/CD=，
∴ED=BD，
∴AD+BD=AD+ED⩾AE，
当且仅当E、D、A三点共线时，AD+BD取得最小值AE=.
练习1-5如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上。
(1)试说明CE是O的切线；
(2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示O的直径AB；
(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求O的直径AB的长。
【解析】(1)连接OC，如图1，
∵CA=CE，∠CAE=30∘，
∴∠E=∠CAE=30∘，∠COE=2∠A=60∘，
∴∠OCE=90∘，
∴CE是O的切线；
(2)过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，
由题可得CH=h.
在Rt△OHC中，CH=OC⋅sin∠COH，
∴h=OC⋅sin60∘=OC，
∴OC==，
∴AB=2OC=；
(3)作OF平分∠AOC，交O于F，连接AF、CF、DF，如图3，
则∠AOF=∠COF=∠AOC=(180∘−60∘)=60∘
∵OA=OF=OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO.
过点D作DH⊥OC于H，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30∘，
∴DH=DC⋅sin∠DCH=DC⋅sin30∘=DC，
∴CD+OD=DH+FD.
根据两点之间线段最短可得：
当F. D. H三点共线时，DH+FD(即CD+OD)最小，
此时FH=OF⋅sin∠FOH=OF=6，
则OF=4，AB=2OF=8.
∴当CD+OD的最小值为6时，O的直径AB的长为8.
练习1-6如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE=3，CE=2，
①求BC/AE的值；
②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值。
【解析】
（1）证明：连接OE
∵OA=OE ∴∠OAE=∠OEA
∵AE平分∠BAF ∴∠OAE=∠EAF
∴∠OEA=∠EAF ∴OE∥AD
∵ED⊥AF ∴∠D=90°
∴∠OED=180°-∠D=90°
∴OE⊥DE
∴DE是⊙O的切线
（2） ①连接BE
∵AB是⊙O直径 ∴∠AEB=90°
∴∠BED=∠D=90°，∠BAE+∠ABE=90°
∵BC是⊙O的切线
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°
∴∠BAE=∠CBE
∵∠DAE=∠BAE ∴∠DAE=∠CBE
∴△ADE∽△BEC
∴AE/BC＝DE/CE
∵DE=3，CE=2
∴BC/AE＝
②过点E作EH⊥AB于H，过点G作GP∥AB交EH于P，过点P作PQ∥OG交AB于Q
∴EP⊥PG，四边形OGPQ是平行四边形
∴∠EPG=90°，PQ=OG
∵BC/AE＝
∴设BC=2x，AE=3x
∴AC=AE+CE=3x+2
∵∠BEC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△BEC∽△ABC
∴BC/AC＝CE/BC
∴BC2=AC•CE 即（2x）2=2（3x+2）
解得：x1=2，x2=-（舍去）
∴BC=4，AE=6，AC=8
∴sin∠BAC=，
∴∠BAC=30°
∴∠EGP=∠BAC=30°
∴PE=EG
∴OG+EG=PQ+PE
∴当E、P、Q在同一直线上（即H、Q重合）时，PQ+PE=EH最短
∵EH=AE=3
∴OG+EG的最小值为3.
练习1-7如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝3，CE＝2，
①求的值；
②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值．
【解析】（1）证明：连接OE
∵OA＝OE
∴∠OAE＝∠OEA
∵AE平分∠BAF
∴∠OAE＝∠EAF
∴∠OEA＝∠EAF
∴OE∥AD
∵ED⊥AF
∴∠D＝90°
∴∠OED＝180°﹣∠D＝90°
∴OE⊥DE
∴DE是⊙O的切线
（2）解：①连接BE
∵AB是⊙O直径
∴∠AEB＝90°
∴∠BEA＝∠D＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°
∵BC是⊙O的切线
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝90°
∴∠BAE＝∠CBE
∵∠DAE＝∠BAE
∴∠DAE＝∠CBE
∴△ADE∽△BEC
∴
∵DE＝3，CE＝2
∴
②过点E作EH⊥AB于H，过点G作GP∥AB交EH于P，过点P作PQ∥OG交AB于Q
∴EP⊥PG，四边形OGPQ是平行四边形
∴∠EPG＝90°，PQ＝OG
∵
∴设BC＝2x，AE＝3x
∴AC＝AE+CE＝3x+2
∵∠BEC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C
∴△BEC∽△ABC
∴
∴BC2＝AC•CE 即（2x）2＝2（3x+2）
解得：x1＝2，x2＝﹣（舍去）
∴BC＝4，AE＝6，AC＝8
∴sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°
∴∠EGP＝∠BAC＝30°
∴PE＝EG
∴OG+EG＝PQ+PE
∴当E、P、Q在同一直线上（即H、Q重合）时，PQ+PE＝EH最短
∵EH＝AE＝3
∴OG+EG的最小值为3
练习1-8如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（﹣5，0），交y轴于点F（0，）．
（1）求⊙M的半径r；
（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cs∠QHC＝，求的值；
（3）如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．
【解析】（1）如图1，连接MH，
∵E（﹣5，0），F（0，﹣），M（﹣1，0），
∴OE＝5，OF＝，EM＝4，
∴在Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝，
∴∠OEF＝30°，
∵EF是⊙M的切线，
∴∠EHM＝90°，
∴sin∠MEH＝sin30°＝，
∴MH＝ME＝2，
即r＝2；
（2）如图2，连接DQ、CQ，MH．
∵∠QHC＝∠QDC，∠CPH＝∠QPD，
∴△PCH∽△PQD，
∴，
由（1）可知，∠HEM＝30°，
∴∠EMH＝60°，
∵MC＝MH＝2，
∴△CMH为等边三角形，
∴CH＝2，
∵CD是⊙M的直径，
∴∠CQD＝90°，CD＝4，
∴在Rt△CDQ中，cs∠QHC＝cs∠QDC＝，
∴QD＝CD＝3，
∴；
（3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP＝2，G（﹣2，0），
∴MG＝CM＝1，
∴，
又∵∠PMG＝∠EMP，
∴△MPG∽△MEP，
∴，
∴PG＝PE，
∴PF+PE＝PF+PG，
当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值＝FG，
在Rt△OGF中，OG＝2，OF＝，
∴FG＝＝＝．
∴PF+PE的最小值为．
练习1-9如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B.
(1)求抛物线解析式及B点坐标；
如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由。
【解析】y=x2-6x+5，B（5，0）
【解析】(3)如图2，在x轴上取点D(4，0)，连接PD、CD
∴BD=5−4=1
∵AB=4，BP=2
∴BD/BP=BP/AB=
∵∠PBD=∠ABP
∴△PBD∽△ABP
∴PD/AP=PD/BP=
∴PD=AP
∴PC+PA=PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA=PC+PD=CD最小
∵CD==
∴PC+PA的最小值为.
【经典例题2-其它类】在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，D、E是BC、AC上的动点，且DE=4，P为DE的中点，求PA+PB最小值.
【解析】如图，在BC上截取CF=，连接PF，CP，AF，
∵DE=4，P是DE的中点，
∴CP=DE=2，
∵，
∴，且∠FCP=∠BCP，
∴△BCP∽△PCF，
∴=，
∴PF=BP，
∵PA+PB=PA+PF，
∴当点A，点P，点F共线时，PA+PB的最小值为AF，
∴AF==
故答案为：
【经典例题3】（2020九上·常州期末）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，6为半径画圆弧，与两坐标轴分别交于点A、B，已知点C（5， 0）、D（0， 3），P为AB上一点，则2PD+CP的最小值为________.
【解析】32. 13
【解答】在y轴上找一点E，使AE=OA=6，
∵D（0， 3），
∴OD=3，
∵∠DOP=∠POE， ，
∴∆DOP~∆POE，
∴ ，即：PE=2PD，
∴2PD+CP=PE+CP，
当点C，P，E三点共线时，2PD+CP=PE+CP的值最小，
∴2PD+CP的最小值= .
故答案是：13.
【经典例题4】如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC与点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+的最小值是（ ）
A. B. C. D.10
【解析】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠ABE＝90°，
∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴BE＝2a＝4，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝＝，
∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
故选：B．
【经典例题5】在△ABC中，∠A=15°，AB=2，P为AC上一动点（不与A、C重合），连接BP，求AP+PB的最小值.
【解析】如图，以AP为斜边向△ABC外作等腰直角三角形，
∵cs∠APD=cs45°=PD/AP=
∴PD=AP
∴当D、P、B在同一直线上时，
AP+PB=PD+PB取得最小值
在Rt△ABD中，∠D=90°，AB=2，∠DAB=∠DAP+∠BAC=45°+15°=60°，
∴sin∠DAB=sin60°=BD/AB，
∴BD=×2=
【经典例题6】已知，如图，PAB是⊙O的割线，直线PC是⊙O有公共点，且PC2  PA PB。
（1）求证：∠PCA＝∠PBC；直线PC是⊙O的切线；
（2）如图（2），作弦CD，使CD⊥AB，连接AD、BC，若AD＝2，BC＝6，求⊙O的半径；
（3）如图（3），若⊙O 的半径为，PO＝，MO＝2，∠POM＝90°，⊙O上是使得PQ+QM有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理
【解析】（1）证明：∵PC2=PA×PB，
∴PC/PA=PB/PC，
∵∠CPA=∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
∴∠PCA=∠PBC，
作直径CF，连接AF，则∠CAF=90°，
∴∠F+∠FCA=90°，
∵∠F=∠B，∠PCA=∠PBC，
∴∠PCA+∠FCA=90°，
∵PC经过直径的一端点C，
∴直线PC是⊙O的切线；
（2）解：作直径BE，连接CE、AE．则∠BCE=∠BAE=90°，
∵CD⊥AB，
∴AE∥CD，
∴弧AD^=弧CE^，
∴AD=CE=2，
∵BC=6，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：
BE2=CE2+BC2=22+62=40，
∴BE=2，
∴R=；
（3）解：取OM中点G，连接PG与⊙O的交点就是符合条件的点Q，
连接QO、QM，
∵MO=2，
∴OG=OM=1，
∵⊙O的半径r=OQ=，
∴OQ2=OG•OM，
∵∠MOQ=∠QOG，
∴△MOQ∽△QOG，
∴QG/QM=OQ/OM=，
∴QG=QM，
∴PQ+QM=PQ+QG=PG，
根据两点之间线段最短，
此时PQ+QM=PQ+QG=PG最小，
∴PQ+QM最小值为PG=．
【经典例题7】在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2(a>0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE+的最小值．
【解析】（1）；y=+
；E（，）
作E关于x周的对称点F，连接EF交x周与点G，过点F作FH垂直AE于点H，交x轴于点P，
PE+=PF+PH=FH=3
【经典例题8】问题提出：
如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值
（1）尝试解决：
为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）
如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠
△ ∽△
∴
∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．
（2）自主探索：
如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为 ．（请在图3中添加相应的辅助线）
（3）拓展延伸：
如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
【解析】（1）如图1，
连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，
∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：AP+BP最小值为AD，
∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°
∴CF＝，AF＝，
∴DF＝CF﹣CD＝3﹣＝2，
∴AD＝＝
∴AP+BP的最小值为；
故答案为：；
（2）如图2，
在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，
∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，
∴＝＝，且∠ABP＝∠ABP，
∴△ABP∽△PBF，
∴＝＝，∴PF＝AP
∴AP+PC＝PF+PC，
∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，
∴CF＝＝＝2，
∴，AP+PC的值最小值为2，
故答案为：2；
（3）如图3，
延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，
∵OC＝4，FC＝4，
∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴＝＝，且∠AOP＝∠AOP
∴△AOP∽△POF
∴＝＝，
∴PF＝2AP
∴2PA+PB＝PF+PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD＝120°，
∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM
∴OM＝4，FM＝4
∴MB＝OM+OB＝4+3＝7
∴FB＝＝
∴2PA+PB的最小值为．
练习8-1如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点 C，且圆的直径 AB在线段 AE上．
（1）试说明 CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中 AE边上的高为 h，试用含 h的代数式表示⊙O的直径 AB；
设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接 OD，当CD+OD的最小值为 6 时， 求⊙O 的直径 AB 的长．
【解析】（1）连接 OC，如图 1，
∵CA=CE，∠CAE=30°，
∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，
∴∠OCE=90°，
∴CE 是⊙O 的切线；
（2）过点 C 作 CH⊥AB 于 H，连接 OC，如图 2，
由题可得 CH=h．
在 Rt△OHC 中，CH=OC•sin∠COH，
∴h=OC•sin60°
=OC，∴OC==h，
∴AB=2OC=h；
（3）作 OF 平分∠AOC，交⊙O 于 F，连接 AF、CF、DF，如图 3，
则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°．
∵OA=OF=OC，
∴△AOF、△COF 是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形 AOCF 是菱形，
∴根据对称性可得 DF=DO． 过点 D 作 DH⊥OC 于 H，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC，
∴CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得：当 F、D、H 三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，
此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6， 则OF=4，AB=2OF=8．
∴当CD+OD 的最小值为 6 时，⊙O 的直径 AB 的长为 8．
点评：本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、 特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等 知识，把CD+OD 转化为 DH+FD 是解决第（3）小题的关键．