中考数学圆锥专题含答案

这是一份中考数学圆锥专题含答案，共28页。试卷主要包含了圆有关的计算等内容，欢迎下载使用。

(1)弧长计算公式：（R为圆的半径，n是弧所对的圆心角的度数，l为弧长）
(2)扇形面积：或（R为半径，n是扇形所对的圆心角的度数，l为扇形的弧长）
(3) 圆锥：
扇形到圆锥三个不变量
侧面积计算公式：圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，
S圆锥侧=S扇形=·2πr · l = πrl
其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。
圆锥全面积计算公式
S圆锥全=S圆锥侧＋S圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr（l ＋r）
圆锥的高：
算弧长：
【经典例题1】如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则eq \(FE,\s\up8(︵))的长为__π__．（可改面积）
【解析】如图连接OE、OF，
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
∴∠OED=90∘，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60∘，
∴∠A=∠C=60∘，∠D=120∘，
∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA=60∘，
∴∠DFO=120∘，
∴∠EOF=360∘−∠D−∠DFO−∠DEO=30∘，
E^F的长=30⋅π⋅6180=π．
故答案为：π．
练习1-1（2020吉林）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为 （结果保留π）．
【解析】在△ABD与△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，
∴∠ABC＝60°，
∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB， ∴BD⊥AC，且AO＝CO，
∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°， ∴BD＝2CD＝2，
在Rt△COD中，∵∠ACD＝30°， ∴OD＝CD＝，
∴OB＝BD﹣OD＝2﹣＝，
∴的长为：＝，
故答案为．
练习1-2(2020·南充）如图，是的直径，是弦，点在直径的两侧．若，，则的长为（ ）
B．C．D．
【解析】D
运动路径长度
【经典例题2】（2020四川南充）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【解析】由题意可得：点B运动路径的长度为=90×π×2180=π，
故选：A．
练习2-1如图，将边长为1 cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为( )
A. πcm B. (2+π)cm C. πcm D. 3cm
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60∘，
∴∠AC(A)=120∘，
点B两次翻动划过的弧长相等，
则点B经过的路径长=2×=π.
故选C.
练习2-2如图，把Rt△ABC的斜边AB放在直线L上，按顺时针方向在L上转动两次使它转到△DEF的位置，设BC=，AC=1，则点A运动到点D的位置时，点A经过的路线长是多少？点A经过的路线与直线L所围成的面积是多少？
【解析】∵BC=，AC=1，
∴tan∠ABC===，AB=，
∴∠ABC=30∘，
∴∠CBF=150∘，
∴点A经过的路线长=+=.
∴点A经过的路线与直线L所围成的面积=+=.
练习2-3如图所示，将边长为8cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动三次后，正方形ABCD的中心经过的路线长是__________cm．
【解析】正方形的对角线长是8cm，翻动一次中心经过的路线是半径是对角线的一半为半径，圆心角是90度的弧。
则中心经过的路线长是：=6πcm.
练习2-4如图，有一长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为 .
【解析】∵长方形木板的长为4cm，宽为3cm，
∴BA=cm，
∴点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为：+=πcm，
练习2-5如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为（ ）
A B. C. D.
【解析】 连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，
∴A1A4=2a，∠A1A6A5=120∘，
∴∠CA1A6=30∘，
∴A6C=a，A1C=a，
∴A1A5=A1A3=a，
当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以a，a，2a，a，a为半径，圆心角都为60∘的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长=++++，
=．
故选：A．
练习2-6以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB=90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD=60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（弧AB和弧CD）相交，那么实数a的取值范围是 ．
A. −4⩽a⩽−2 B. −5⩽a⩽−2 C. −3⩽a⩽−2 D. a⩽−4
【解析】当A. D两点重合时，PO=PD−OA=5−3=2，此时P点坐标为a=−2，
当B在弧CD时，由勾股定理得，PO=，
此时P点坐标为a=−4，
则实数a的取值范围是−4⩽a⩽−2.
故选A.
练习2-7如图扇形AOB中，OA =10，AOB=36。若固定B点，将此扇形依顺时针方向旋转，得一新扇形A’O’B，其中A点在O’B上， 则O点旋转至O’点所经过的路线长度是 ( )
A．  B．2 C． 3 D． 4
【解析】根据题意，知OA=OB.
又∵∠AOB=36∘，
∴∠OBA=72∘.
∴点旋转至O′点所经过的轨迹长度==4π.
故选D.
练习2-8如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于 .
【解析】5π
练习2-9如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF，两者相交于点P.将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是 .
【解析】如图点P运动的路径是以G为圆心的弧EF
，在 G上取一点H，连接EH、FH．
∵四边形AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFP=0.5∠AOC=45°，
∵EF是 O直径，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，
∴∠H=∠APF=45°，
∴∠EGF=2∠H=90°，
∵EF=4，GE=GF，
∴EG=GF=2，
∴弧EF的长=．
故答案为．
练习2-10 如图在扇形OAB中，∠AOB＝150°，AC＝AO＝6，D为AC的中点，当弦AC沿eq \(AB,\s\up8(︵))运动时，点D所经过的路径长为( )
A．3π B.eq \r(,3)π C.eq \f(3,2) eq \r(,3)π D．4π
【解析】∴OD⊥AC，
∴AD=AO，
∴∠AOD=30°，OD=3，
同理可得：∠BOE=30°，
∴∠DOE=150°-60°=90°
∴点D所经过路径长为：．
故答案为：
练习2-11(2019·资阳中考)如图，直径为2 cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为( )
A．5π B．6π C．20π D．24π
【解析】A
练习2-12在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．
（1）取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为6cm，开口圆的直径为6cm．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；
（2）假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm，开口圆直径为7.2cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
图1
图2
【解析】（1）表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇
形，
表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．
由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系．将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆，则围成的圆锥形的侧面积．
它的侧面展开图是半圆，其圆心角为．
如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，
展开的扇形弧长为．
该侧面展开图的圆心角为．
由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等．
该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁．

圆锥的相关概念：
圆锥的高：h=顶点到底面的垂线，等于顶点与底面圆心的连线AO
圆锥的母线：l=顶点到底面圆周上一点连线AB
圆锥的底面半径：r=OB
圆锥的侧面：
（1）展开后是一个扇形，扇形半径R = 母线l；
（2）展开后扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；
高h、底面半径r、母线l关系：
和圆锥有关
【经典例题3】（2020·哈尔滨）一个扇形的面积是13πcm2，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 度.
【解析】130
练习3-1已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ的值为 .
【解析】
练习3-2如图所示，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形纸片的圆心角度数是（ ）
A. 150°B. 200°C. 180°D. 240°
【解析】B
练习3-3一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( )
A.120°B.180°C.240°D.300°
【解析】A
练习3-4现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为 .
【解析】18°
【经典例题4】如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为 .
【解析】2π
练习4-1 如图，圆锥的底面半径OB＝6 cm，高OC＝8 cm，则这个圆锥的侧面积是( )
A．30 cm2 B．60π cm2C．30π cm2 D．48π cm2
【解析】B
练习4-2 一个圆锥的高为3 eq \r(,3)，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）
A．9πB．18πC．27πD．39π
【解析】设圆锥的母线为R，底面圆的半径为r，
则 eq \f(180πR,180)＝2πr，∴R＝2r，
∵R2＝r2＋（3 eq \r(,3)）2，即（2r）2＝r2＋27，∴r＝3，R＝6，
∴S侧＝ eq \f(180π×62,360)＝18π．
故选B．
练习4-3 如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆．
求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；
（2）求的度数；
（3）圆锥的侧面积（结果保留）．
【解析】（1）设此圆锥的高为，底面半径为，母线长．
A
B
O
C
h
l
r
∵，
∴．
（2）∵，
∴圆锥高与母线的夹角为，则
（3）由图可知，
∴，即．
解得 ．
∴．
∴圆锥的侧面积为．
【经典例题5】（2020青海）如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．3.6B．1.8C．3D．6
【解析】设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr＝， 解得r＝3.6，
即这个圆锥的底面半径是3.6． 故选：A．
练习5-1（2020·新疆）如图，⊙O的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下转成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为_______．
【解析】
练习5-2如图，点A在以BC为直径的☉O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥(AB和AC重合)，若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是( )
A.B.C.D.
【解析】连接OA，
∵AC=AB，CO=BO，
∴AO⊥BC，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠ACB=30°，
∴AC=CO/cs∠ACB=4，
则弧BC的长=π，
设圆锥底面圆的半径是为r，
则2πr=π，
解得，r=，
故选：A．
练习5-3如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点．以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF.把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1，将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2.则r1∶r2＝________．
练习5-4用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为________．
【解析】12
练习5-5如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，的值为 ．
【解析】
练习5-6如图，C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在eq \(AB,\s\up8(︵))上的点D处，且eq \(BD,\s\up8(︵))l∶eq \(AD,\s\up8(︵))l＝1∶3(eq \(BD,\s\up8(︵))l表示eq \(BD,\s\up8(︵))的长)．若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为( )
A．1∶3 B．1∶π C．1∶4 D．2∶9
【解析】D，提示连接OD,
练习5-7如图，用邻边长分别为a，b(aA. B.b=
C.b= D.
【解析】∵半圆的直径为a，
∴半圆的弧长为
∵把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，
∴设小圆的半径为r，则：2πr=
解得：r=
如图小圆的圆心为B，半圆的圆心为C，作BA⊥CA于A点，
则：AC2+AB2=BC2
即：（）2+（）2=（）2整理得：b=a
故选D．
练习5-8如图所示，在矩形纸片ABCD中，AD=6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为( )
A.3.5 cmB.4 cmC.4.5 cmD.5 cm
【解析】B
练习5-9（2020云南）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．B．1C．D．
【解析】设圆椎的底面圆的半径为r，
根据题意可知：AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，∴2πr＝，
解得r＝．答：该圆锥的底面圆的半径是．故选：D．
【经典例题6】如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高OC 的长度是_______．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，
∵AC＝6，∠ACB＝120°，
∴lAB=120π×6180=2πr，
∴r＝2，即：OA＝2，
在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC=AC2-OA2=42，
故答案为：42．
练习6-1圆锥的底面半径是5 cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是( )
A.5 cmB.10 cmC.6 cmD.5 cm
【解析】B
练习6-2用半径为10cm，圆心角为216°的扇形做成的一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为________cm.
【解析】8
练习6-3如图，圆锥的高h=2，底面圆半径r=2cm，则圆锥的全面积为______cm2.
【解析】A
练习6-4如图所示的扇形纸片半径为5cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4cm，则该圆锥的底面周长是( )
A. 3π cm B. 4π cm C. 5π cm D. 6π cm

【解析】D
运动最短距离（收集）
【经典例题7】已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点。
圆锥侧面展开图的圆心角；（2）求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离。
【解析】圆锥的底面周长是8π，则8π=，
∴n=120°，
即圆锥侧面展开图的圆心角是120度．
∴∠APB=60°，
∵PA=PB，
∴△PAB是等边三角形，
∵C是PB中点，
∴AC⊥PB，
∴∠ACP=90度．
∵在圆锥侧面展开图中AP=12，PC=6，
∴在圆锥侧面展开图中AC=cm．
最短距离是6cm．
练习7-1如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6cm的正三角形ABC，母线AC的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路径是_______m（结果保留根号）
【解析】（1）根据圆锥的侧面积等于展开扇形的面积得：
πrl=π×3×6=18π=，
解得n=180°．
答：圆锥侧面展开图的圆心角的度数为180°．
（2）根据第（1）中的结论，知：展开的半个侧面的圆心角是90°，
根据勾股定理得：BP=．
答：小猫经过的最短路程是m．
练习7-2如图，一个圆柱形水杯深20cm，杯口周长为36cm，在杯子外侧底面A点有一只蚂蚁，它想吃到杯子相对的内壁上点B处的蜂蜜，已知点B距离杯子口4cm，不考虑杯子的厚度，蚂蚁爬行的最短距离为_______.
【解析】30
练习7-3问题探究：
（1）如图①所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB'A'则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB'的长）
（2）如图②所示是一个底面半径为，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程．
（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．
B
A
图①
P
A
图②
P
A
图③
【解析】（1）易知
即蚂蚁爬行的最短路程为5．
（2）连结则的长为蚂蚁爬行的最短路程，设为圆锥底面半径，为侧面展开图（扇形）的半径，则由题意得：
即
是等边三角形
最短路程为
（3）如图③所示是圆锥的侧面展开图，过作于点则线段的长就是蚂蚁爬行的最短路程．
蚂蚁爬行的最短距离为
B
A
图①
图③
P
C
A
60°
图②
P
A
练习7-4在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10 m．拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S(m2)．
(1)如图1，若BC＝4 m，则S＝_____m2.
(2)如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变．则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为______m.

【解析】(1)因为AB＋BC＝10 m，BC＝4 m，
则AB＝6 m，小狗活动的范围包括三个部分，
第一部分是以点B为圆心，10为半径，圆心角为270°的扇面；
第二部分是以C为圆心，6为半径，圆心角为90°的扇形，
第三部分是以A为圆心，4为半径，圆心角为90°的扇形，
则S＝eq \f(270π·102,360)＋eq \f(90π·62,360)＋eq \f(90π·42,360)＝88πm2；
(2)当在右侧有一个等边三角形时，设BC＝x米，
根据题意得S＝eq \f(270π·102,360)＋eq \f(30π·（10－x）2,360)＋eq \f(90π·x2,360)＝eq \f(π,3)x2－eq \f(5,3)πx＋eq \f(250,3)π，
所以当x＝－(－eq \f(5,3)π)÷(2×eq \f(π,3))＝eq \f(5,2)时，S最小，即此时BC的长为eq \f(5,2)米．
练习7-5已知等边△ABC边长为a，D、E分别为AB、AC边上的动点，且在运动时保持DE∥BC，如图（1），⊙O1与⊙O2都不在△ABC的外部，且⊙O1、⊙O2分别与∠B和∠C的两边及DE都相切，其中和DE、BC的切点分别为M、N、M′、N′．
（1）求证：⊙O1和⊙O2是等圆；
（2）设⊙O1的半径长为x，圆心距O1O2为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当⊙O1与⊙O2外切时，求x的值；
（4）如图（2），当D、E分别是AB、AC边的中点时，将⊙O2先向左平移至和⊙O1重合，然后将重合后的圆沿着△ABC内各边按图（2）中箭头的方向进行滚动，且总是与△ABC的边相切，当点O1第一次回到它原来的位置时，求点O1经过的路线长度？
【解析】（1）连接MM′、NN′．
∵DE和BC是⊙O1的切线，DE∥BC，
∴MM′过点O1．同理NN'过点O2．∵MM′⊥BC，MM′⊥DE，NN′⊥BC
∴四边形MM′N′N是矩形．
∴MM′=NN′，即⊙O1和⊙O2是等圆；
（2）连接OlB，OlO2，O2C，OlM′，O2N′．
易证四边形O1BCO2是等腰梯形，四边形O1M′N′O2是矩形．
在Rt△O1BM′中，∠O1BM′=30°，OlM′=x，
则BM′=x．
∵y=O1O2=M′N′，BM′=N′C=x，BC=BM′+M′N′+N′C，
∴y+2=a，
∴y=a-2x，
求得0＜x≤a；
（3）当⊙Ol和⊙O2外切时，OlO2=2x，2x=a-2x，
∴x=（-1）；
（4）当DE是△ABC的中位线时，求得x=a．
此时BM'=x=a．
⊙O1的圆心O1所经过的路线是与△ABC相似，且各边与△ABC各边距离为a的正三角形．
其边长为a-a×2=，
∴所求的圆心O1走过的长度为：×3=．
类型
公式
展开后扇形半径R
扇形半径R=母线长l，即R=l
展开后扇形弧长

侧面积
全面积