中考数学圆与圆的位置关系和切线长专题含答案

这是一份中考数学圆与圆的位置关系和切线长专题含答案，共27页。试卷主要包含了圆和圆的位置关系，圆心距，圆和圆位置关系的性质与判定，两圆相切等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】圆与圆的位置关系：
1、圆和圆的位置关系
没有公共点，相离，相离分为外离和内含两种；
只有一个公共点，相切，相切分为外切和内切两种；有两个公共点，相交。
2、圆心距
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3、圆和圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
两圆外离d>R+r ；两圆外切d=R+r ；两圆相交R-r 两圆内切d=R-r（R>r）；两圆内含dr）
4、两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

【经典例题1】如图所示，已知线段AB＝8cm，⊙P与⊙Q的半径均为1cm．点P、Q分别从A、B出发，在线段AB上按箭头所示方向运动．当P、Q两点未相遇前，在下列选项中，⊙P与⊙Q不可能出现的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含
[来源:学，科，网Z，X，X，K]
【解析】因为两圆的半径相等，AB=8cm，
所以当P，Q两点未相遇前，⊙P与⊙Q不可能出现的位置关系是内含．
故选D．

练习1-1如图所示，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A、B间的距离为80cm，两车轮的直径分别为136cm、16cm，则两车轮的圆心相距__________．


练习1-2如图为某机械装置的截面图，相切的两圆O1，O2均与O的弧AB相切，且O1O2∥l1(l1为水平线)，O1，O2的半径均为30mm，弧AB的最低点到l1的距离为30mm，公切线l2与l1间的距离为100mm.则O的半径为( )
A. 70mm B. 80mm C. 85mm D. 100mm



练习1-3如图6，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为
A．35° B．40° C．50° D．80°


练习1-4已知两圆半径分别为2和3，圆心距为，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是( )
A． B． C．或 D．或

练习1-5如图所示，点A坐标为(0，3)，⊙A半径为1，点B在x轴上．
(1)若点B坐标为(4，0)，⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；
(2)若⊙B过M(－2，0)且与⊙A相切，求B点坐标．






练习1-6已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO＝．设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．
（1）求AB的长；
（2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．





练习1-7在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．
（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；
（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；
（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．

图1 图2 图3




练习1-8如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．
（1）当时，求AP的长；
（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在（2）的条件下，当时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．

图1 图2 图3
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角；
【经典例题2】如图，△ABC 是一张周长为 17 cm的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O 是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O 的右侧沿着与⊙O 相切的任意一条直线 MN 剪下△AMN， 则剪下的三角形的周长为 .

【解析】设E. F分别是O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC=17cm，O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC=5cm，
∴BD+CE=BC=5cm，则AD+AE=7cm，
故DM=MF，FN=EN，AD=AE，
∴AM+AN+MN=AD+AE=7(cm).
故选：B.
练习2-1如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　）

A．8 B．6 C．12 D．10


练习2-2如图，PA、PB切⊙O于A、B 两点，CD切⊙O于点 E，交PA、PB于C、D，若圆的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是 .





【经典例题3切线长】如图，已知⊙O上三点A，B、C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为(　　)
A. 2 B. C. D.
　



练习3-1如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是( )
`
A．2 B．2 C．3 D．4





【经典例题4—最短切线长】(2019眉山)如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为________．

【解析】如解图，连接OQ，则PQ＝，
根据题意可知OQ长为定值，若使得PQ最小，只要OP最小即可，
当OP⊥AB时能取得最小值．
∵OA＝OB＝4，
∴AB＝8，
∴OP＝4，
∴PQ＝＝2.

练习4-1如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值为　   　.

练习4-2如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于点E，DE的最小值是（    ）

A.1       B.     C.     D.2



练习4-3如图，点A的坐标为(−3，−2)，A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切A于点Q，则当PQ最小值时，点P的坐标为( )
A. (−4，0) B. (−2，0) C. (−4，0)或(−2，0) D. (−3，0)


练习4-4如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8



【经典例题5】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝_______．

【解析】设大圆的圆心为M点，连接MA，MP，MB，连接PM并延长与AB交于点E，交小圆于Q点，
由对称性可知P、Q为切点，E为AB的中点；
设AB=2a(正方形的边长)，在直角三角形MAE中，
∵小圆在正方形的外部且与CD切于点Q.
∴PQ⊥CD，
∵CD∥AB，
∴PE⊥AB，
∴AE=BE，
∴AM2=ME2+AE2，
∵PQ=3，
∴ME=2a+3−5=2a−2，
∴52=(2a−2)2+a2
解得，a=3或−1.4(舍去)
所以AB=6.



练习5-1如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，点P从点A出发沿A B以2cm/s 的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点 B出发沿B C以1cm/s的速度向点C匀速运动，P、Q中有一点到达终点时，另一点随之停止运动．
（1） 秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
（2） 秒后，△DPQ是直角三角形；
（3）在运动过程中，经过 秒，以 P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD 相切.



练习5-2如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD = 90°，以AD为直径的半圆D与BC相切．
（1）求证：OB⊥OC；
（2）若AD = 12，∠BCD = 60°，⊙O1与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积．






练习5-3如图，⊙E与边长分别为18cm、25cm的矩形ABCD的3边相切，⊙E与⊙F外切，与BC、CD相切.求⊙F的半径.





练习5-4如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E、点F分别在边AD，BC上，且EF⊥AD，点B关于EF的对称点为G点，连接EG，若EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M，则AE的长度为（　　）

A．3 B． C．6+ D．6﹣




练习5-5如图，⊙O的直径AB=12cm ，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O 相切于点E，并与AM，BN分别交于D，C两点，设AD=x ，BC=y ，求y关于x的函数解析式，并画出它的图象.




参考答案：
练习1-1
答案：100

练习1-2

【解析】如图，设O的半径为Rmm，依题意，得
CE=100−30=70(mm)，
∵l2∥O1O2，∴CD=O1D=30(mm)，
DE=CE−CD=70−30=40(mm)，
OD=OE−DE=R−40(mm)，
在Rt△OO1D中，O1O=R−30(mm)，O1D=30mm，
由勾股定理，得O1D2+OD2=O1O2，
即302+(R−40)2=(R−30)2，
解得R=80mm.
故选：B.

练习1-3
【解析】连接OA、OB，
∵四边形AODB内接于圆，∠ADB=100°，
∴∠AOB=180°-100°=80°，
∵∠ACB=∠AOB，
∴∠ACB=×80°=40°．
故答案为40°．

练习1-4
【解析】解：若两圆没有公共点，则可能外离或内含，
外离时的数量关系应满足d＞5；
内含时的数量关系应满足0≤d＜1．
故选D．

练习1-5
【解析】（1）∵OA=3，OB=4，
∴d=AB=5，r+R=4，
∴d＞r+R，
∴⊙A与⊙B位置关系是：外离；

（2）①当两圆外切，设⊙B半径为R，
AB=R+r，r=1，AO=3，OB=2-R，
解得：R=2，
即BM=2，∵M（-2，0），
∴圆心B坐标为（0，0）；

②当两圆内切，设⊙B半径为R，
AB=R-1，OA=3，OB=BM-OM=R-2，
则AB2=OA2+BO2，
即(R-1)2=32+(R-2)2，
解得：R=6，
∴圆心B坐标为（4，0）；
∴B点坐标为：（0，0）（4，0）．


练习1-6
【解析】（1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE．
在Rt△AOE中，cos∠BAO＝，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2．
（2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H．
由△OAB∽△PAC，得．所以．所以．
在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝，得．
所以，．
在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得．
整理，得．定义域为x＞0．

图2 图3
（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC．
因此．所以．
解方程，得．此时⊙P的半径为．
②如图4，图5，当⊙P与⊙O内切时，同样的△OAB∽△PAC，．
如图5，图6，如果∠OCA＝∠OPC，那么△ACO∽△APC．
所以．因此．
解方程，得．此时⊙P的半径为．

图4 图5 图6
第（3）题②也可以这样思考：
如图4，图5，图6，当∠OCA＝∠OPC时，3个等腰三角形△OAB、△PAC、△CAO都相似，每个三角形的三边比是3∶3∶2．
这样，△CAO的三边长为、、3．△PAC的三边长为、、．
练习1-7
【解析】（1）在Rt△ABC中，AC＝6，，
所以AB＝10，BC＝8．
过点M作MD⊥AB，垂足为D．
在Rt△BMD中，BM＝2，，所以．
因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离．
（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．

图4
②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形．
在Rt△BOM中，BM＝2，，所以．此时．
③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．
在Rt△BOE中，BE＝，，所以．此时．

图5 图6
（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．
当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．
在Rt△BNF中，BN＝y，，，所以，．
在Rt△ONF中，，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．
于是得到．
整理，得．定义域为0＜x＜5．

图7 图8
考点伸展
第（2）题也可以这样思考：
如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，，．
在Rt△OMF中，OF＝，所以．
在Rt△BPQ中，BP＝1，，．
在Rt△OPQ中，OF＝，所以．
①当MO＝MP＝1时，方程没有实数根．
②当PO＝PM＝1时，解方程，可得
③当OM＝OP时，解方程，可得．

练习1-8
【解析】（1）如图4，过点O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．
在Rt△OAH中，OA＝3，，设OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m)2＝32．
解得．所以．
（2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．
又因为底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP．
因此，即．
由此得到．定义域是0＜x≤6．

图4 图5
（3）如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交AP于Q，垂足为D，那么QP、QO是⊙Q的半径．
在Rt△QPD中，，，因此．
如图7，设⊙M的半径为r．
由⊙M与⊙O内切，，可得圆心距OM＝3－r．
由⊙M与⊙Q外切，，可得圆心距．
在Rt△QOM中，，OM＝3－r，，由勾股定理，得
．解得．

图6 图7 图8
考点伸展
如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M与⊙O、⊙Q都内切，那么⊙M的半径是多少？
同样的，设⊙M的半径为r．
由⊙M与⊙O内切，，可得圆心距OM＝r－3．
由⊙M与⊙Q内切，，可得圆心距．
在Rt△QOM中，由勾股定理，得．解得r＝9．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角；
练习2-1
【解析】∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA=PB，
同理可得：CA=CE，DE=DB．
∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD的周长=10，
故选D．

练习2-2
【解析】连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F.
∵PA，PB切O于A. B两点，CD切O于点E
∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，
∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，
∴PA=PB=.
在Rt△PBF和Rt△OAF中，
{∠FAO=∠FBP，∠OFA=∠PFB，
∴Rt△PBF∽Rt△OAF.
∴，
∴AF=FB，
在Rt△FBP中，
∵PF2−PB2=FB2
∴(PA+AF)2−PB2=FB2
∴(+BF)2−()2=BF2，
解得BF=，
∴tan∠APB==，
故答案为：.

练习3-1
【解析】A


练习4-1
【解析】连接OP、OQ．
∵PQ是 O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=4，
∴AB=OA=4，
∴OP=，
∴PQ=，
故答案为：．


练习4-2
【答案】B
【解答】解：如图，连接AE，AD，作AH⊥BC于H，
∵DE与⊙A相切于E，
∴AE⊥DE，
∵⊙A的半径为1，
∴DE=，
当D与H重合时，AD最小，
∵等边△ABC的边长为2，
∴BH＝CH＝1，
∴AH=，
∴DE的最小值为：．
故选：B．






练习4-3
【解析】连接AQ，AP.
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
根据垂线段最短，可知当AP⊥x轴时，AP最短，
∴P点的坐标是(−3，0).
故选：D.
PQ=


练习4-4
【解析】
如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP−OF，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5
∵∠OPB=90∘，
∴OP∥AC
∵点O是AB的三等分点，
∴OB=×5=，OP/AC=OB/AB=，
∴OP=，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴OD/BC=OA/AB=，
∴OD=1，
∴MN最小值为OP−OF=−1=，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值=+1=，
∴MN长的最大值与最小值的和是6.
故选：B.



练习5-1
【解析】(1)设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，
∴PD=2PQ，∴PD2=4 PQ2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
∴PD2=AP2+AD2，PQ2=BP2+BQ2，
∵PD2=4 PQ2，
∴62+(2t)2=4[(8−2t)2+t2]，
解得：t1=，t2=；
∵0⩽t⩽4，
∴t=，
答：秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
(2)∵△DPQ是直角三角形，
∴∠DPQ=90°或∠DQP=90°.
当∠DPQ=90°时，∠ADP=∠BPQ，
∴tan∠ADP=tan∠BPQ，
∴AP/AD=BQ/BP，即，
解得：t=，或t=0(舍去)；
当∠DQP=90°时，∠CDQ=∠BQP，
∴tan∠CDQ=tan∠BQP，
∴，
即，
解得：t=11−，或t=11+(舍去)，
综上所述，当运动时间为秒或(11−)秒时，△DPQ是直角三角形。
(3)设经过x，秒以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切于点E，连接PE、PD，如图所示：
则PE⊥BD，PE=AP，
在Rt△APD和Rt△EPD中，{PD=PD，PA=PE，
∴Rt△APD≌Rt△EPD(HL)，
∴AD=ED=6，
∵BD=，
∴BE=BD−ED=4，
∵PE=PA=2x，则BP=8−2x，
在Rt△BPE中，由勾股定理得：(2x)2+42=(8−2x)2，
解得：x=，
即经过秒，以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切，
故答案为：.


练习5-2
【解析】（1）因为AB，BC，CD与半圆O相切，
所以∠ABO=∠CBO，∠DCO=∠BCO。
又因为AB//CD，
所以∠ABC+∠BCD=180°，即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°，
所以∠CBO+∠BCO=90°，
所以∠BOC=180°−(∠CBO+∠BCO)=180°−90°=90°，
即OB⊥OC。

（2）设CD切⊙O1于点M，连接O1M，则O1M⊥CD，
设⊙O1半径为r。
因为∠BCD=60°，∠BCO=∠O1CM，
所以∠O1CM=30°。在Rt△O1CM中，CO1=2O1M=2r。
在Rt△OCD中，OC=2OD=AD=12。
因为⊙O1半圆O外切，所以OO1=6+r。
因为OO1+O1C=OC，即6+r+2r=12，解得：r=2。
根据面积公式，得⊙O1的面积为4π。


练习5-3【解析】大圆半径=9cm
连接O1O2，分别过O1，O2做长方形边的平行线交于E
则O1E⊥O2E
在Rt△
O1O2E中用勾股定理
(9+r2)2=(9-r2)2+(25-9-r2)2
解出r2=4cm或64(舍去)

练习5-4
【解析】如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．
由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE=BH=x，
由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，
∵B、F关于EH对称，
∴HF=BH=x，ED=EM=8−x，FC=FM=8−2x，EF=16−3x，
在Rt△EFH中，∵EF2=EH2+HF2，
∴42+x2=(16−3x)2，
解得x=6−6√或6+（舍弃），
∴AE=6−，
答案选D.

练习5-5
【解析】作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN与O切于点定A. B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN.
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x，DF=AB=12，
∵BC=y，
∴FC=BC−BF=y−x；
∵DE切O于E，
∴DE=DA=xCE=CB=y，
则DC=DE+CE=x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：(x+y)2=(y−x)2+122，
整理为y=，
∴y与x的函数关系式是y=，
y是x的反比例函数。