全真模拟卷05（理科）-2021年高考数学一模测试全真模拟试卷

2021年理科数学一模模拟试卷（五）

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

求出集合后可得

【详解】

因为，，所以．

故选：C．

2．已知，若有（为虚数单位），则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据复数模的定义直接计算即可.

【详解】

因为

所以，

即，

解得，

故选：C

3．“”是直线“与平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义即可求解.

【详解】

当时，，，此时两直线斜率都是且不重合，所以，即可以得出，

若，则 ，即，解得或，

所以得不出，

所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，

故选：A

4．如图，若是线段上靠近点的一个三等分点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由，结合的共线关系及向量的加减法的应用，即可得解.

【详解】

,

即，得.

故选：D.

5．已知等差数列的前项和为，，，则（    ）

A．0 B．15 C．20 D．30

【答案】B

【分析】

根据等差数列的通项、求和公式及题干条件，可求得的值，代入公式，即可求得答案.

【详解】

因为为等差数列，所以①，

②，

①②联立可得，

所以.

故选：B

6．已知，，为两两不重合的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，，则

【答案】D

【分析】

根据空间直线、平面间的位置关系判断各选项．

【详解】

A，若，，，则或，故A错误；

B，若，，则可能与成任意角度，故B错误；

C，若，，则或，故C错误；

D，由，，得，又，得．故D正确.

故选：D．

7．已知直线与圆相交于、两点，且是顶角为的等腰三角形，则等于（    ）

A． B． C． D．或

【答案】D

【分析】

先利用已知条件求得边上的高，再利用点到直线的距离公式求得参数b即可.

【详解】

因为、两点在圆上，所以，

又是顶角为的等腰三角形，则，边上的高，

即圆心到直线上距离，

故，即，解得或.

故选：D.

8．已知，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得，由幂函数的性质可得，从而可得结果.

【详解】

∵，

∴，

，

,

∴

故选：B

【点睛】

方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

9．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.

【详解】

某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.

某班按此四类由位同学组成四个宣传小组，

其中可回收物宣传小组有位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有位同学.

现从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，基本事件总数，

每个宣传小组至少选派人包含的基本事件个数为，

则每个宣传小组至少选派人的概率为.

故选：D.

【点睛】

本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，采用“先分类，再分组”的思想即可.

10．某程序框图如图所示，若输出结果是126，则判断框中可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行后输出的结果，从而得出所求.

【详解】

根据题意可知该循环体运行情况如下:

第1次: S=0＋21=2，i=1＋1=2

第2次: S=2+22=6，i=3

第3次: S=6+23=14，i=4

第4次: S=14＋24=30，i=5

第5次: S=30＋25=62，i=6

第6次: S=62＋26=126，i=7

因为输出结果是126，结束循环，判断框应该是i>6.

故选:A

【点睛】

本题主要考查了循环结构，条件分支结构，考查了运算能力，属于中档题．

11．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，若，则双曲线离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

结合图形，由双曲线的定义及内切圆的性质可得，即，同理可得，从而可得，再由，可得，设直线的倾斜角为，在和中，分别将,用表示代入即可求出直线的斜率，再结合直线与双曲线右支交于两点，即可求出，进而可求出离心率的取值范围.

【详解】

不妨设直线的斜率大于0．如图:

连接．，，设的内切圆与三边分别切于点，，，则

，

所以，即，同理可得，所以，

设直线的倾斜角为，在中，，

在中，，

又，所以，

即，解得，

所以，即直线的斜率为，

由题意，直线与双曲线右支交于两点，故，

所以.

故选:D

【点睛】

本题主要考查了结合平面几何知识求双曲线的离心率的取值范围，属于难题.

12．已知函数与函数的图象上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

由题意可得对于恰有两个不等式的实根，等价于方程

对于恰有两个不等式的实根，令，可转化为与两个函数图象在有两个不同的交点，对求导判断单调性，作出其函数图象，数形结合即可求解.

【详解】

若函数与函数的图象上恰有两对关于轴对称的点，则对于恰有两个不等式的实根，

即对于恰有两个不等式的实根，

可得对于恰有两个不等式的实根，

令，

则与两个函数图象在有两个不同的交点，

，

由可得，由可得，

所以在单调递减，在单调递增，

所以图象如图所示：

当时，，

当时，，

若与两个函数图象在有两个不同的交点，

由图知，

所以实数的取值范围是，

故选：B

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

二、填空题

13．设实数x、y满足约束条件 ，则目标函数的最大值为__________.

【答案】

【分析】

画出不等式组对应的可行域，再结合目标函数的几何意义可得目标函数的最大值.

【详解】

不等式组对应的可行域如图阴影部分所示，

表示的几何意义为可行域中的动点到直线的距离，

由可得，同理，

到直线的距离为，

到直线的距离为，

故.

故答案为：.

14．已知向量，的夹角为，，，则___________.

【答案】1

【分析】

由，化简得到，即可求解.

【详解】

由题意，向量，的夹角为，，，

可得，

即，解得.

故答案为：1.

15．已知点在抛物线上，过点的直线交抛物线于，两点，若直线，的斜率分别为，，则等于___________.

【答案】

【分析】

由题意将的坐标代入抛物线的方程可得的值，进而求出抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立求出两根之和及两根之积，求出直线，的斜率之积，化简可得定值.

【详解】

由题意将的坐标代入抛物线的方程可得，解得，

所以抛物线的方程为；

由题意可得直线 的斜率不为0，

所以设直线的方程为：，设，，，，

联立直线与抛物线的方程：，

整理可得：，则，，

由题意可得

，

所以．

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

16．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为______．

【答案】

【分析】

先根据是的零点，是图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对赋值验证找到适合的最大值即可．

【详解】

由题意可得，

即，解得，

又因为在上单调，

所以，即，

因为要求的最大值，令，因为是的对称轴，

所以，

又，解得，

所以此时，

在 上单调递减，即在上单调递减，在上单调递增，故在不单调，

同理，令，，

在 上单调递减，因为，

所以在单调递减，满足题意，所以的最大值为5.

【点睛】

本题综合考查三角函数图像性质的运用，在这里需注意：

两对称轴之间的距离为半个周期；

相邻对称轴心之间的距离为半个周期；

相邻对称轴和对称中心之间的距离为个周期．

三、解答题

17．已知数列中，，，其前项和满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，记数列的前项和为，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】

（1）将已知变形成，可知，可判断为等差数列，由等差数列求通项公式即可.

（2）求出通项公式，利用裂项相消法求，再证明即可.

【详解】

解：（1）由题意知，，

从而，即，

又，

∴数列是以1为首项，公差为2的等差数列，

故；

（2）

∴.

【点睛】

数列求和的方法技巧：

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.

18．如图，已知四棱锥，其中，，，，侧面底面，是上一点，且是等边三角形.

（1）求证：平面；

（2）当点到的距离取最大值时，求平面与平面的夹角.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，证明出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设点，，根据题中条件求出、的值，可得出点的坐标，进而利用空间向量法可求得平面与平面的夹角.

【详解】

（1），，，

侧面底面，侧面底面，平面，

平面，

平面，，

如下图所示，取的中点，连接、，

，且为的中点，则，

，则，所以，四边形为平行四边形，则，

平面，

、平面，，，

为等边三角形，则，

所以，，，

由，，即，

，因此，平面；

（2），由（1）可知，四边形为矩形，且，

，所以，是以为直角的等腰直角三角形，可得，

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

设点到直线的距离为，则，

当且仅当时，取最大值，此时，

平面，平面，，

，平面，

设点，设点，则，，

由，可得，①

由可得，②

所以，，解得，，即点，

设平面的法向量为，，，

由，可得，取，则，，则，

设平面的法向量为，，，

由，可得，取，则，，则，

，

因此，平面与平面所成的夹角为.

【点睛】

思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：

（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；

（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；

（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.

19．2020年10月份黄山市某开发区一企业顺利开工复产，该企业生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(单位：)与尺寸x(单位： )之间近似满足关系式(b､c为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数试求随机变量的分布列和期望；

（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：

①根据所给统计量，求y关于x的回归方程；

②已知优等品的收益z(单位：千元)与x，y的关系为，则当优等品的尺寸x为何值时，收益z的预报值最大？(精确到0.1)

附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.

【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望为；（2）① ；② .

【分析】

（1）由题意首先确定的取值，然后求对应的概率，即可列分布列，求出数学期望；

（2）①结合题中所给的数据计算回归方程即可；②结合计算求得回归方程得到收益的函数，讨论函数的最值即可得最终结果.

【详解】

（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即

则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品.

现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数

，，

，

的分布列为

∴

（2）对两边取自然对数得，

令，得，且，

①根据所给统计量及最小二乘估计公式有：

，得，故

所求y关于x的回归方程为

② 由① 可知，，则

由优等品质量与尺寸的比，即.

令，

当时，取最大值，

即优等品的尺寸，收益的预报值最大.

【点睛】

思路点睛：

求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：

（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）

20．已知点在椭圆上 ，的离心率为.

（1）求的方程；

（2）点与点关于原点对称，点是椭圆上第四象限内一动点，直线、与直线分别相交于点、，设，当时，求面积的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆的方程；

（2）设点的坐标为，求出、关于、的表达式，由可求得的取值范围，进而可求得的取值范围，再利用不等式的基本性质可求得面积的取值范围.

【详解】

（1）点在椭圆上，且椭圆的离心率为，

由题意可得，解得，

因此，椭圆的方程为；

（2）点与点关于原点对称，所以，点的坐标为，

设点的坐标为，点在第四象限，则，

，

又，所以，解得，

是椭圆上，且在第四象限，则，

直线的方程为，点到直线的距离为，

又，，

，，且随着的增大而增大，

所以，，.

面积的取值范围是.

【点睛】

方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求取值范围；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的值域问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求值域．

21．已知函数.

（1）若，求函数单调区间；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）.

【分析】

（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；

（2）时，原问题利用分离参数变形为恒成立，引入函数，利用导数求得有单调性，求出取值范围，从而可得的取值范围．

【详解】

（1）定义域为，由得，

，

令得，

令得或

函数的单调增区间为，单调减区间为.

（2），

即.

，

原问题等价于恒成立

令，

令，

则，

当时，，

当时，

在区间上是增函数，在区间上是减函数

又，

当时，，

，

函数，在区间上是增函数，

，

即实数的取值范围为.

【点睛】

方法点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，用导数研究不等式恒成立问题．不等式恒成立问题的解题方法一般是分离参数，然后引入新函数，再由导数求出函数的单调性，确定最值或取值范围，从而可得参数范围．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;

（2）点为曲线上的动点，求点到直线的距离的最大值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）将除到等式的另一边，两式平方，消去参数即可得到曲线的普通方程；利用两角差的正弦公式展开，由 即可求解.

（2）设曲线上的点，利用点到直线的距离公式以及三角函数的性质即可求解.

【详解】

曲线的普通方程为

将代入上式，

得直线的直角坐标方程为

设曲线上的点，

到直线的距离

当时，取得最大值为

23．已知函数.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若函数的最小值为M，正数a，b满足，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.

【分析】

（Ⅰ）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后分类讨论求解不等式的解集；

（Ⅱ）由绝对值三角不等式求出函数的最小值为M，再利用基本不等式计算可得；

【详解】

解：（Ⅰ）

由，得

或或

解得或，

故不等式的解集为

（Ⅱ）由绝对值三角不等式的性质，可知，

当且仅当时取“=”号，

∴，∴，所以.

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为1

【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．