全真模拟卷04（理科）-2021年高考数学一模测试全真模拟试卷

2021年理科数学一模模拟试卷（四）

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足 （其中为虚数单位），则复数的虚部为（    ）

A．1 B． C．2 D．

3．若平面向量与的夹角为，，，则（    ）

A． B． C．18 D．12

4．已知定义在R上的奇函数满足，若，则（    ）

A． B． C．0 D．2

5．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（    ）

A．120种 B．156种 C．192种 D．240种

6．如图，若，则输出的数等于（    ）

A．  B． C． D．

7．在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是 （    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

8．已知点是圆上任意一点，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

9．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

10．已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴长为4，点为其右支上一点，点在以为圆心、半径为1的圆上，若的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

11．已知正方体内切球的表面积为，是空间中任意一点：

①若点在线段上运动，则始终有；

②若是棱中点，则直线与是相交直线；

③ 若点在线段上运动，三棱锥体积为定值；

④为中点，过点且与平面平行的正方体的截面面积为

⑤若点在线段上运动，则的最小值为

以上命题为真命题的个数为（    ）

A． B． C． D．

12．已知数列满足：，且，下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．向量，，若，则实数______.

14．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为等边三角形，则其边长为___________.

15．已知函数在区间内取极大值，在区间内取极小值，则的取值范围为______.

16．在中，角的对边分别为， ，，若有最大值，则实数的取值范围是______.

三、三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线处，并作出解答.在中，内角所对的边分别为，的面积为，且          ．

（1）求角;

（2）若，求的周长.

注;如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.

18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

19．（12分）已知椭圆，，为椭圆的左、右顶点，点，连接交椭圆于点，为直角三角形，且

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆相交于另一点，线段的垂直平分线与轴的交点满足，求点的坐标.

20．（12分）已知函数（是自然对数的底数）．

（1）设，，求证：；

（2）设，若，试讨论在上的零点个数．（参考数据）

21．（12分）某商场调研了一年来日销售额的情况，日销售额ξ（万元）服从正态分布．为了增加营业收入，该商场开展“游戏赢奖券”促销活动，购物满300元可以参加1次游戏，游戏规则如下：有一张共10格的方格子图，依次编号为第1格、第2格、第3格、……、第10格，游戏开始时“跳子”在第1格，顾客抛掷一枚均匀的硬币，若出现正面，则“跳子”前进2格（从第k格到第k+2格），若出现反面，则“跳子”前进1格（从第k格到第k+1格），当“跳子”前进到第9格或者第10格时，游戏结束．“跳子”落在第9格可以得到20元奖券，“跳子”落在第10格可以得到50元奖券．

（1）根据调研情况计算该商场日销售额在8万元到14万元之间的概率；（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）

（2）记“跳子”前进到第n格（1≤n≤10）的概率为，证明：（2≤n≤9）是等比数列；

（3）求某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额的期望．

（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。

22．（10分）「选修4-4:坐标系与参数方程」

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，交极轴于点，交直线于点．

（1）求，点的极坐标方程；

（2）若点为椭圆上的一个动点，求面积的最大值及取最大值时点的直角坐标．

23．（10分）「选修4-5:不等式选讲」

已知函数，．

（1）当时，解不等式；

（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围．