全真模拟卷02（文科）-2021年高考数学一模测试全真模拟试卷

2021年文科数学一模模拟试卷（二）

一、单选题

1．已知集合,集合,则(    )

A． B． C． D．

2．设为虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

3．甲、乙两名党员报名参加进社区服务活动，他们分别从“帮扶困难家庭”、“关怀老人”、“参加社区义务劳动”、“宣传科学文化法律知识”这四个项目中随机选一项目报名，则这两名党员所报项目不同的概率为（    ）．

A． B． C． D．

4．已知、为直线，、为平面．在下列四个命题中：

① 若，，则； ② 若，，则；

③ 若，，则； ④ 若，，则．

正确命题的个数是（   ）

A． B． C． D．

5．设是定义在上的奇函数，且当时，.若，，大小关系为（    ）

A． B． C． D．

6．等比数列的前n项和为，已知，则

A． B． C． D．

7．函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)

A． B．

C． D．

8．已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位长度得到，则下列关于函数的说法正确的有（    ）

A．的图象关于直线对称 B．的图象关于直线对称

C．在单调递增 D．在单调递减

9．设的内角所对的边分别为，且，已知的面积等于，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

10．执行如图所示程序框图，输出的结果是(    )

A． B． C． D．

11．已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与在第一象限的交点为，直线与交于另一点．若的面积为，则的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

12．已知函数的定义域为，且，的图象关于直线对称．若当时，，则使得成立的的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．已知实数，满足，目标函数的最大值为___________.

14．如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为____________．

15．若，，若则的最小值为_________.

16．已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为__________．

三、解答题

17．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若等差数列的首项为1，公差为1，求数列的前项和.

18．2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了10月1日7:00-23：00这一时间段内顾客0这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7:00 〜11:00，11:00 〜15:00，15:00 ~19:00，19:00~23:00，依次记作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23].

（1）求该天顾客购买商品时刻的中位数t与平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）现从10月1日在该商场购买商品的顾客中随机抽取100名顾客，经统计有男顾客 40人，其中10人购物时刻在[19，23](夜晚)，女顾客60人，其中50人购物时刻在[7，19)(白天)，根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”?

附：

19．如图，三棱柱的各棱的长均为2，在底面上的射影为的重心．

（1）若为的中点，求证：平面；

（2）求四棱锥的体积．

20．已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）作直线垂直于x轴，交椭圆C于点Q，R，点P是椭圆C上异于Q，R两点的任意一点，直线，分别与x轴交于S，T两点，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

21．已知函数，恰好有两个极值点.

（Ⅰ）求证：存在实数，使；

（Ⅱ）求证：.

22．已知直线(t为参数)，曲线.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线和曲线C的极坐标方程；

（2）若射线分别交直线和曲线C于两点(N点不同于坐标原点O)，求.

23．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若为的最小值，实数，，满足，求证：．

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

化简集合和,根据交集定义,即可求得.

【详解】

化简可得

根据指数函数是减函数

,即,故

故

故选:C.

【点睛】

本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题.

2．D

【分析】

根据复合的四则运算以及共轭复数的概念即可求解.

【详解】

由，可得，

所以复数的共轭复数.

故选：D

【点睛】

本题考查了复数的四则运算以及共轭复数的概念，属于基础题.

3．D

【分析】

求出总的报名种数，再求出所报项目不同的报名种数，根据古典概型计算即可.

【详解】

甲、乙分别从“帮扶困难家庭”、“关怀老人”、“参加社区义务劳动”、“宣传科学文化法律知识”这四个项目中随机选一项目报名共有种不同的方法，

其中两名党员所报项目不同共有种不同的方法，

由古典概型可知，,

故选：D

4．C

【分析】

根据空间中的线面关系、面面关系有关定理进行判断.

【详解】

对于命题①，若，，则，命题①正确；

对于命题②，若，，则与平行、异面、相交都可以，命题②错误；

对于命题③，若，，则，命题③正确；

对于命题④，④ 若，，则与平行、相交都可以，命题④错误.

故选C.

【点睛】

本题考查空间中线面关系、面面关系有关命题的判断，判断时应严格根据线面、面面有关的定理和推论，也可以结合空间几何体来进行判断，考查推理能力，属于中等题.

5．B

【分析】

根据题意当时，是定义在上的奇函数,则在定义域上单调递增，，，，由函数的单调性可得出答案.

【详解】

由题意知由当时,，所以在上单调递增，且

又是定义在上的奇函数，所以在上单调递增.

所以在定义域上单调递增.

又因为，，所以，

由在定义域上单调递增，则

所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题

6．A

【解析】

设公比为q,则，选A.

7．D

【分析】

通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可.

【详解】

当x→＋∞时，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除选项B.

当0＜x＜时，y＝1＋x＋＞0，故排除选项A，C.

故选D.

【点睛】

本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．

8．BC

【分析】

根据平移变换得出的解析式，再由整体代入法、代入验证法得出的单调性、对称轴，即可得到答案.

【详解】

由题意可知

对于A，，不是的最大值也不是最小值，故A错误；

对于B，，2是的最大值，即是的对称轴，故B正确；

对于C、D，由，解得

当时，则函数在单调递增，故D错误；

又，则函数在单调递增，故C正确；

故选：BC

【点睛】

本题主要考查了求正弦型函数的对称轴，单调性，考查学生的计算能力，属于中档题.

9．D

【分析】

先利用正弦定理化简，可得，然后利用三角形的面积为10，列方程可求出的值

【详解】

，

∴由正弦定理可得，

，，即，

，

解得，或（舍去）

，的面积，

∴解得.

故选：D

【点睛】

此题考查了正弦定理、同角三角函数的关系、三角形的面积公式等知识，属于基础题.

10．A

【分析】

按照程序框图的流程执行程序，当进入循环体时，先执行后判断，直到当成立时，退出循环结构，输出的值.

【详解】

初始条件；，进入循环体：，不成立，因此，进入循环体：，不成立，因此，进入循环体：，不成立，因此，进入循环体：，不成立，因此，进入循环体：

，不成立，因此，进入循环体：

，成立，退出循环体，输出.

故选：A

【点睛】

本题考查了程序框图输出问题，考查了数学运算能力.

11．D

【分析】

设直线与轴正方向的夹角为，利用双曲线的第二定义表示出,，根据的面积以及即可求解.

【详解】

设双曲线的右准线与轴的交点为，则，

设直线与轴正方向的夹角为，

由双曲线的第二定义可得，

，，

，

即，

由，①②，可得整理，③

由①可得，即，④

将④代入③，整理可得，即.

故选：D

【点睛】

关键点点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，双曲线的第二定义，解题的关键是利用第二定义表示出，，考查了计算能力.

12．B

【分析】

根据图像的对称性得到图像的对称性也即函数为偶函数，构造函数，为偶函数，结合已知条件可知函数的单调性，由此求得不等式的解集.

【详解】

由于函数图像关于对称，故的图像关于轴对称，也即函数为偶函数.构造函数，依题意当时，，故函数在上递增，而，即函数为偶函数，所以函数在上单调递减.由于，，根据单调性和对称性有或，故选B.

【点睛】

本小题主要考查函数的图像变换，考查函数的对称性以及奇偶性，考查利用导数解不等式，属于中档题.

13．6

【分析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．

【详解】

表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数可化为，故求z的最大值，即为在上下平移时，纵截距的最小值，

如图示，过B(2,4)时，纵截距最小，z最大.

此时

故答案为：6.

【点睛】

简单线性规划问题的解题步骤：

(1)画出可行域;

(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值；

(3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值；

(4)下结论．

14．

【分析】

将三视图还原为几何体为内接于正方体的直四棱锥，如图所示，则该几何体的外接球的直径为正方体的直径，通过计算即可得球的表面积.

【详解】

将三视图还原为几何体为内接于正方体的直四棱锥，如图所示，

所以该几何体的外接球的直径为正方体的直径，故半径为，

所以其表面积为.

故答案为：

15．9.

【分析】

先整理已知条件得，则，再利用基本不等式求解即可.

【详解】

由，

得，

又，，

得，

则，

当且仅当即时取等号.

故答案为：9.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

16．

【分析】

先用正弦定理边化角，得，再结合诱导公式和内角和代换，进而求得最值

【详解】

由正弦定理可转化为，两边同时除以可得，，

即

则，

当且仅当时取到等号；

故答案为

【点睛】

本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属于中档题

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）由等差数列的前项和公式，等比数列的性质列出关于和的方程组，解方程组后可得通项公式；

（2）由等差数列通项公式求得后得，然后由错位相减法求得和．

【详解】

（1）设公差为，则.

（2）由题意，

，（1）

，（2）

（1）－（2）得：，

.

【点睛】

本题考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：

设数列是等差数列，是等比数列，

（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；

（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；

（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；

（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．

18．中位数为，平均数为；（2）2×2列联表见解析，没有的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”.

【分析】

（1）利用频率之和为列方程，解方程求得中位数，利用平均数的估计方法，求得平均数的估计值.

（2）填写2×2列联表，计算出的值，由此判断出没有的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”.

【详解】

（1）设中位数为，则＝，解得＝．平均数.

（2）列联表如图：

的观测值．

∴   没有的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”．

【点睛】

本小题主要考查根据频率分布直方图计算中位数和平均数，考查列联表独立性检验，属于基础题.

19．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）连接交于点，连接，易知为的中位线，再根据线面平行的判定定理即可证明结果；

（2）由重心的性质可知，，由勾股定理可得，再根据

和柱体体积公式，即可求出结果．

【详解】

解：（1）连接交于点，连接，则为的中点，

又∵为的中点，∴为的中位线，

∴，

又平面，平面，

∴平面；

（2）在中，为重心，则，

在中，，

则．

20．（1）；（2）是，4.

【分析】

（1）由题意可得，在中，利用余弦定理可得，即求.

（2）根据题意，设，，则，写出直线的方程与直线的方程，求出S，T两点，从而可得，化简计算即可求解.

【详解】

（1）依题意得：，.

由椭圆定义知，

又，则，

在中，，由余弦定理得：

即，解得

又

故所求椭圆方程为

（2）依题意得知：Q，R两点关于x轴对称

设，，则

则，

∴，同理

又直线的方程为

由得点S的横坐标

同理直线的方程为

由得点R的横坐标

∴

为定值.

【点睛】

关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系中的定值问题，解题的关键是出S，T两点，此题考查了运算、求解能力，综合性较强.

21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.

【分析】

（Ⅰ）求出函数导数，题目等价于存在两个不同正根，先考虑与相切，可得，构造函数，可求出，即可证明；

（Ⅱ）可得，，得，设，，求出导数可得，即可证明.

【详解】

（Ⅰ），.

根据题意，，即存在两个不同正根.

先考虑与相切，记切点横坐标为，如图.

则，

设，，则，令，得.

故在上单调递减，在上单调递增.

且，，故存在唯一，使成立.

取，则时，恰存在两个极值点，得证.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，且.

所以，代入，得，

设，.

，，

则容易判断，；，.

故，单调递减；，单调递增.

所以.

且，

由，且，得.

所以，从而，证毕.

【点睛】

本题考查利用导数证明不等式，解题得关键是先考虑与相切，求出切点横坐标取值范围，也可对第二问起到作用.

22．（1）：，C：；（2）.

【分析】

（1）先由直线的参数方程化为普通方程，再把代入直线和曲线C的普通方程可得答案；

（2）设，则可得答案.

【详解】

（1）由直线的参数方程可得直角坐标方程为，

代入，得直线的极坐标方程为，

即，

将代入，

得曲线C的极坐标方程为.

（2）由已知可设，

则，

.

【点睛】

本题考查了参数方程、普通方程、极坐标方程之间的转化，关键点是熟记和正确理解极坐标方程的意义，属于基础题.

23．（1）；（2）证明见解析.

【分析】

（1）将写成分段函数的形式，逐个范围解不等式，最后求各个范围的并集，得到所求不等式的解集.

（2）首先确定的值，再利用基本不等式中的“1”的活用技巧，对乘“1”处理.

再利用基本不等式即可证得题中不等式.

【详解】

解：（1），

当时，由得，

当时，由得，

当时，由得，

综上知：不等式的解集为．

（2）由（1）知：为减函数

为减函数

为增函数

故在时取得最小值，故，则，则

．

（当且仅当，，时取等号）

【点睛】

绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．