江西省重点中学九校协作体2021届高三下学期第一次联考试题（2月） 数学（理） Word版含答案

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二、填空题
10 14. 15.2 16.
解(1)由题意得：，或(舍）
分
又分
（2）
分
18．解：取的中点，连接，，
因为是等边三角形，所以，分
且，又因为，所以，又分
因为，所以平面，分
因为平面平面，
平面平面，
所以平面，
且，，
故以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，不妨令在平面上方
取的中点，连接，，
同理可证平面，，，
设，
则，，，，
分
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，
，
令，则．分
因为平面的一个法向量为，
所以，
即平面与平面的锐二面角的余弦值为分
19.解（1）由题意可知：分
设点，在椭圆上
①
②
③
由①-②及③得分

椭圆C方程为: 分
（2）设直线联立得
,分
，
假设存在点,则的直线方程为：
，分
分
若为等边三角形则：
即，方程无实数解，
不存在这样的点分
20.解：（1）依题意得：X的所有可能取值为500,300,200，分
由表格数据知
，，，分
因此分布列为
分
(2)由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，最少为200瓶，因此只需考虑。
当时，
，
当,分
当时，
，
分
分
21.解（1），分
当定义域为，令，得，得
在单调递增，在单调递减分
当定义域为，令，得，得
在单调递增，在单调递减分
（2）要证，，即证.
令，则，
设，则，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，，则对任意的，，
所以，函数在上为增函数，
因为，，由零点存在定理可知，存在使得，可得.
当时，，即，此时函数单调递减；
当时，，即，此时函数单调递增.
，分
令，，，
则函数在时单调递减，
所以，，所以，，
因此，对任意的，即分
22.（1）曲线的普通方程为
直线的普通方程为分
（2）曲线上任意一点到的距离为
.
则，
当时，取得最小值，最小值为.
当时，取得最大值，最达值为分
23.（1）证明∵，，均为正数，
∴
以上三式相加，得
∴
即．（当且仅当时等号成立）．分
（2）因为，
，
当且仅当，即时等号成立.
所以原式的最小值为分
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序号
1
2
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5
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7
8
9
10
11
12
选项
D
C
B
B
C
D
B
C
A
C
A
C
X
200
300
500
P
0.3
0.4
0.3