专题14 等差数列-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅱ专版）

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专题14 等差数列

【母题来源】【2020年高考全国Ⅱ卷文数】记为等差数列的前n项和．若，则__________．
【答案】
【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【解析】是等差数列，且，,
设等差数列的公差,
根据等差数列通项公式：，
可得，即：
整理可得：，解得：。
根据等差数列前项和公式：。
可得：。
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

【命题意图】
（1）理解等差数列的概念.
（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
（3）了解等差数列与一次函数的关系.
【命题规律】
等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.
【方法总结】
1．等差数列的判定与证明的方法：
定义法：或是等差数列；
定义变形法：验证是否满足；
等差中项法：为等差数列；
通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；
前n项和公式法：为常数为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
2．等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
3．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，d，n，，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．
4．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解.
在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：；当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：.
5．递推关系式构造等差数列的常见类型：
（1）转化为常数，则是等差数列；
（2）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列；
（3）转化为常数，则是等差数列；
（4）转化为常数，则是等差数列；
（5）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列．
6．等差数列前n项和公式的应用方法：
根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用.
7．求数列的前n项和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和．
8．当的各项都为非负数时，的前n项和就等于的前n项和；当从某项开始各项都为负数（或正数）时，求的前n项和要充分利用的前n项和公式，这样能简化解题过程．
9．当所求的前n项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示．
10．解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提．如，则，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．
11．二次函数法：，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值．但应注意，最接近的正整数有1个或2个．
注意：自变量n为正整数这一隐含条件.
12．通项公式法：求使()成立时最大的n值即可．
一般地，等差数列中，若，且，则
①若为偶数，则当时，最大；
②若为奇数，则当或时，最大．
13．不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和的最大值．
14．等差数列的常用性质
由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：
（1）通项公式的推广：，．
（2）若，则．
特别地，①若，则；
②若，则．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即

（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．
（4）数列是常数是公差为td的等差数列．
（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列．
（6）若，则．
15．与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：
设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，
（1）数列是等差数列，首项为，公差为．
（2）构成公差为的等差数列．
（3）若数列共有项，则，．
（4）若数列共有项，则，．
（5），．

1．（2020·陕西省安康中学高三三模）设等差数列的前项和为，若，则
A．2 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】根据等差数列前项和公式化简，再利用等差数列的性质：即可计算出.
【解析】，又.
故选：C
【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和以及等差数列的性质，属于基础题.
2．（2020·辽宁省大连二十四中高三）等差数列，，，的第四项等于
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据已知求出x的值，再求出等差数列的第四项得解.
【解析】由题得.
所以等差数列的前三项为0，3，6，公差为3，
所以等差数列的第四项为9.
故选：B
【点睛】本题主要考查等差中项的应用，考查等差数列的通项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．（2020·四川省棠湖中学高三一模）已知等差数列的前项和为，若，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的项的下标的性质可得，再根据计算可得结果.
【解析】
由题意得，
可得，所以，
故选：D
【点睛】本题考查了等差数列的项的下标的性质，考查了等差数列的前项和公式，属于基础题.
4．（2020·全国高三月考）设为等差数列，公差，，则
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【分析】利用等差数列的性质计算即可.
【解析】由已知，得，即，解得．
故选：B
【点睛】本题考查等差数列的定义及性质，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
5．（2020·辽宁省沈阳二中高三）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则
A．17 B．29 C．23 D．35
【答案】B
【分析】由已知可得为等差数列，由，求出，再结合公差，即可得出结论.
【解析】依题意为等差数列，且，
，
.
故选：B.
【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和以及通项的基本量运算，属于基础题.
6．（2020·广西壮族自治区高三二模）若等差数列和等比数列满足，，则为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意可得，
∴，∴．故选A．
7．（2020·山西省高三）已知，为等差数列的前n项和，若，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质与求和公式求解即可．
【解析】由等差数列的性质可得，
∴，故选：A．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
8．（2020·宁夏回族自治区高三三模）已知数列，，，…，是首项为1，公差为2得等差数列，则等于
A．9 B．5 C．4 D．2
【答案】A
【分析】由题设条件以及等差数列的性质得出，再由，即可得出答案.
【解析】，，
，

故选：A.
【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.
9．（2020·四川省棠湖中学高三二模）已知等差数列的前项和为则数列的前10项和为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，


解得



故选
10．（2020·南昌市八一中学高三三模）设是的前项和，，且，则
A．-66 B．77 C．88 D．99
【答案】C
【分析】由与的关系可得是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列前项和公式求解即可.
【解析】因为，
所以，所以.
又，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查了与的关系，重点考查了等差数列前项和公式，属基础题.
11．（2020·内蒙古自治区高三二模）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为
A．100 B．105 C．110 D．115
【答案】D
【分析】根据函数满足，利用倒序相加法求出，再求前20项和．
【解析】函数满足，①，
②，
由①②可得，，所以数列
是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题．
12．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）已知等差数列的前项和为，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可设S6=-5a，S3=a.
∵{an}为等差数列，∴S3，S6S3，S9S6，为等差数列，
即a，6a，S9-S6成等差数列，∴S9-S6=13a，即S9=18a，，
∴，故选D.
13．（2020·海南省高三）已知等差数列的前n项和为，若，则
A．7 B．10 C．63 D．18
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式，结合等差中项性质即可得到答案.
【解析】等差数列的首项为，公差为
∴，
∴，
∴，即
∴．
故选：C
【点睛】本题考查等差数列的概念与性质，属于中档题．
14．（2020·福建省高三）等差数列的前项和为，若是方程的两实根.则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由一元二次方程根与系数的关系得到，再根据等差数列的性质，最后代入前项和公式求解.
【解析】由题意可知，并且
.
故选：C
【点睛】本题考查等差数列的性质和前项和，属于基础计算题型.
15．（2020·广东省高三二模）记等差数列的前n项和为，若，，则
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】直接利用等差数列和的性质得到答案.
【解析】根据等差数列和的性质知：，
故，即.
故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列和的性质，意在考查学生的计算能力和应用能力.
16．（2020·定远县育才学校高三）设等差数列的前n项和为，若，则
A． B． C．7 D．2
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果．
【解析】因为，所以，所以，
所以，
故选：B
【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，属于基础题．
17．（2020·广东省高三）已知等差数列的前项和为，且，，则
A．170 B．190 C．180 D．189
【答案】B
【分析】把条件转化成等差数列的基本量，即和，根据条件列出方程组，解出和，利用等差数列求和公式可得答案.
【解析】设等差数列的首项为，公差为

，解得

故选B项.
【点睛】等差数列通项和求和公式的考查，考查内容比较单一，综合性不高，属于简单题.
18．（2020·辽宁省高三）设等差数列的前项和为，且，则
A．18 B．24 C．48 D．36
【答案】D
【分析】由题意结合等差数列的性质可得，再由等差数列前n项公式结合等差数列的性质可得，即可得解.
【解析】数列是等差数列，，
，.
故选：D.
【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式的应用，属于基础题.
19．（2020·福建省高三一模）记为等差数列的前项和.若，，则
A．5 B．3 C．－12 D．－13
【答案】B
【分析】由题得，，解得，，计算可得.
【解析】，，
，，解得，，
.
故选：B
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前项和公式，考查了学生运算求解能力.
20．（2020·广东省高三二模）等差数列中，其前项和为，满足，，则的值为
A． B．21 C． D．28
【答案】C
【分析】利用基本量法求解首项与公差，再利用求和公式求解即可.
【解析】设等差数列的公差为，则，解得.
故.
故选：C
【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的求解以及求和公式，属于基础题.
21．（2020·河南省高三月考）已知等差数列的前项和为，若，，则
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】由等差数列的性质可得，，可求出，再结合，可求出.
【解析】由，得，解得.
又，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列的前项和公式的应用，考查等差数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
22．（2020·萍乡市上栗中学高三二模）已知等差数列的前n项和为，若，，则
A．7 B．9 C．11 D．14
【答案】D
【分析】利用等差数列的求和公式，将表示成的形式，解出，再利用等差数列求和公式则可求出.
【解析】由，，
∴，则.
故选：D.
【点睛】本题考查等差数列求和公式，考查等差数列基本量的运算，属于基础题.
23．（2020·新疆维吾尔自治区高三月考）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度
A．5.5尺 B．4.5尺 C．3.5尺 D．2.5尺
【答案】A
【分析】先设等差数列，首项为，公差为，根据题意有，，然后由两式求解.
【解析】设等差数列，首项为，公差为，
根据题意得，
，
解得，
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
24．（2020·河北省高三）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a4+a5＝2a4+7，则S7＝
A．63 B．49 C．35 D．15
【答案】B
【分析】由题意结合等差数列的性质可得a4=7，再由S7=7a4即可得解.
【解析】∵a1+a4+a5=3a4=2a4+7，∴a4=7，
则S7=7a4=7×7=49．
故选：B．
【点睛】本题考查了等差数列的性质及前n项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
25．（2020·江西省高三月考）已知等差数列满足，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设等差数列的公差为，根据题意建立有关和的方程组，解出这两个量，进而可求出的值.
【解析】由题意，设等差数列的公差为，则，
解得，，所以，
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，解答的关键就是建立首项和公差的方程组，考查计算能力，属于基础题.
26．（2020·河北省正定中学高三月考）把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为
A．5 B． C． D．10
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式或前n项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组，即可求得数列，可得出选项.
【解析】设最小的一份为，公差为d，
由题意可得，
且，解得，
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量，列出方程组，可求得数列中的量.
27．（2020·湖北省高三）设为等比数列，为等差数列，且为数列的前项和若，，且，则
A．20 B．30 C．44 D．88
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质可求出，再利用即可得解.
【解析】为等比数列，且，，
又为等差数列，.
故选：C.
【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题.
28．（2020·福建省泉州第一中学高三）记等差数列的前项和为.若，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题可利用等差数列的通项列方程求出基本量，再利用求和公式进行求解即可，也可以利用等差中项公式进行求解.
【解析】解法一：设等差数列的公差为.
由已知得
解得，所以.故选B.
解法二：设等差数列的公差为.则，
又，所以，则
故选：B
【点睛】本题考查等差数列的前项和问题，属于基础题
29．（2020·厦门市湖滨中学高三）已知等差数列中，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，
.
故选C.
30．（2020·辽宁省高三月考）已知等差数列的前项和为，，，则.
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】A
【分析】由，解得．可得．
【解析】，解得．
又，则．
故选：A．
【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
31．（2020·湖北省高三）已知正项等差数列的前n项和为，，则
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】由等差数列的前项和公式可得，结合已知式子可求出，利用等差数列的通项公式可求出的值.
【解析】因为是等差数列，设公差为，所以，
由得，所以，所以，
故选:B.
【点睛】本题考查了等差数列的前项和，考查了等差数列的通项公式，属于基础题.
32．（2020·辽宁省高三月考）“李生素数猜想”是数学史上著名的未解难题，早在1900年国际数学家大会上，由德国数学家希尔伯特提出.所谓“李生素数猜想”是指相差为2的“素数对”，例如3和5.从不超过20的素数中，找到这样的“李生素数猜想”，将每对素数作和.从得到的结果中选择恰当的数，构成一个等差数列，则该等差数列的所有项之和为
A．72 B．68 C．56 D．44
【答案】A
【分析】根据题意列举所有的孪生素数，再求和得到答案.
【解析】根据定义，可以列举出不超过20的孪生素数为3和5，5和7，11和13，17和19，它们的和依次是8，12，24，36.构成等差数列的三个数分别是12，24，36，它们的和是72.
故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列求和，属于简单题.
33．（2020·甘肃省兰州一中高三）已知正项等比数列中，，且成等差数列，则该数列公比为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为的形式，由此求得的值.
【解析】由于成等差数列，所以，
所以，即，解得.
故选：C
【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.
34．（2020·山西省高三）已知等差数列的前项和为，且，则
A．45 B．42 C．25 D．36
【答案】D
【分析】由等差数列的性质可知，进而代入等差数列的前项和的公式即可.
【解析】由题，.
故选:D
【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和.
35．（2020·四川省石室中学高三一模）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为
A．七尺五寸 B．六尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸
【答案】D
【分析】利用等差数列的通项公式以及求和公式列出方程组，求出首项和公差，由此可求得立夏日影长.
【解析】从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，
设十二节气第个节气的日影长为，则数列为等差数列，设其公差为，前项和为，
则，解得，
，因此，立夏日影长为四尺五寸.
故选：D.
【点睛】本题考查新文化中的等差数列问题，考查等差数列与前项和中基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.
36．（2020·安徽省高三月考）设为等差数列的前项和，若，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由等差数列求和的性质，结合等差数列通项公式，求得首项与公差；再将化简即可求解．
【解析】根据等差数列的求和公式
化简得，根据等差数列通项公式得
解方程组得

所以选C
【点睛】本题考查了等差数列通项公式、求和公式的简单应用，利用等差数列的性质可简化运算过程，属于基础题．
37．（2020·山东省山东师范大学附中高三）对n个不同的实数a1，a2，…，an可得n！个不同的排列，每个排列为一行写成一个n！行的数阵.对第i行ai1，ai2，…，ain，记bi=－ai1+2ai2－3ai3+…+(－1)nnain，i=1，2，3…，n！.例如用1，2，3可得数阵如图，对于此数阵中每一列各数之和都是12，所以bl+b2+…b6=－12+2×12－3×12=－24.那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…b120等于

A．－3600 B．－1800 C．－1080 D．－720
【答案】C
【分析】根据用1，2，3，4，5形成的数阵和每个排列为一行写成一个n！行的数阵，得到数阵中行数，然后求得每一列各数字之和，再代入公式求解.
【解析】由题意可知：数阵中行数为：，
在用1，2，3，4，5形成的数阵中，
每一列各数字之和都是：，
.
故选：C
【点睛】本题主要考查数列的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
38．（2020·湖南省高三三模）《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列，斤，则
A．2.5斤 B．2.75斤 C．3斤 D．3.5斤
【答案】D
【分析】由题意可求出等差数列的公差，结合等差数列的通项公式，即可求出第二项的值.
【解析】由题意可知，斤，斤，则公差斤，
故斤.
故选:D.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式.本题的关键是公差的求解.
39．（2020·首都师范大学附属中学高三开学考试）已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】由题意可知：数列1，a1，a2，4成等差数列，设公差为d，
则4=1+3d，解得d=1，∴a1=1+2=2，a2=1+2d=3.
∵数列1，b1，b2，b3，4成等比数列，设公比为q，
则4=q4，解得q2=2，∴b2=q2=2.
则.
本题选择A选项.
40．（2020·四川省泸县第一中学高三二模）已知为等差数列，，，则等于.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．
【解析】为等差数列，，，
，，
，，，
，
．
故选：
【点睛】本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
41．（2020·四川省棠湖中学高三一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝2，（a2+a10）（2a3+a9）＝12，则S5＝
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质，可得，代入可得，结合，可得，可解得，利用等差数列前n项和公式可得解
【解析】由题意，数列{an}为等差数列，故
故
，又



故选：D
【点睛】本题考查了等差数列的综合应用，考查了等差数列的性质，通项公式，求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
42．（2020·福建省高三）原始的蚊香出现在宋代.根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫.”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下:在水平直线上取长度为1的线段，做一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据画圆弧的规律：分别以B，C，A为圆心，抽象半径长度的数列，明确圆弧与直线的交点情况，再根据当“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，确定数列的项数，求得最后圆弧的半径即可.
【解析】当以B为圆心，半径为：1，4，7，10，…除起点外，与直线无交点，①
当以C为圆心，半径为：2，5，8，11，…与直线有一个点，②
当以A为圆心，半径为：3，6，9，12，…除终点（即①的起点，点A除外）外，与直线无交点，③
所以当“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，则完成整数个循环，
所以以B为圆心的弧与直线只有交点A，以C为圆心的弧与直线10个交点，以A为圆心的弧与直线有10个交点，即数列②有10项，数列③有10项，
所以最后一个圆弧的半径为，
所以“螺旋蚊香”的总长度的最小值为.
故选：A
43．（2020·山东省高三三模）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是

A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．立冬的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长短
【答案】D
【分析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，可求出，利用等差数列知识即可判断各选项.
【解析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸），
同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差（单位都为寸）.故选项A正确；
春分的晷长为，
秋分的晷长为，，所以B正确；
立冬的晷长为，，即立冬的晷长为一丈五寸，C正确；
立春的晷长，立秋的晷长分别为，，
，，
，故D错误.
故选：D
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列在实际问题中的应用，数学文化，属于中档题.
44．（2020·安徽省高三二模）已知数列的首项为，第2项为，前项和为，当整数时，恒成立，则等于
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合题目条件，计算公差，证明该数列为等差数列，计算通项，结合等差数列前n项和公式，计算结果，即可．
【解析】结合可知，，得到
，所以，所以
所以，故选D．
【点睛】本道题考查了等差数列的通项计算方法，考查了等差数列前n项和计算方法，难度中等．
45．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模）已知等差数列满足，，则数列的前项的和等于
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用等差数列的通项公式和求和公式计算得到答案.
【解析】，，则，
解得，故.
故选：C.
【点睛】本题考查了等差数列通项公式，等差数列求和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.
46．（2020·北京高三一模）设数列是等差数列，，.则这个数列的前7项和等于
A．12 B．21 C．24 D．36
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质可得，由等差数列求和公式可得结果.
【解析】因为数列是等差数列，，
所以，即，
又，所以，，
故
故选：B
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.
47．（2020·黑龙江省哈九中高三二模）在数列中，，，，，数列的前项和为，下列结论正确的是
A．数列为等差数列 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数列的递推关系式判断出数列的规律，由此判断出正确结论.
【解析】当为奇数时，，即数列中的偶数项构成以为首项，公差为的等差数列，所以，B选项错误.
当为偶数时，，则，两式相减得，即数列中的奇数项从开始，每间隔一项的两项相等，即数列从第三项起的奇数项呈周期变化.
在中，令得，则，
所以，C选项错误.
在中，令得，所以数列不是等差数列，A选项错误.
根据上述分析可知，在数列中，；偶数项构成以为首项，公差为的等差数列，
所以.
故选：D
【点睛】本小题主要考查根据数列的递推关系式研究数列的规律，属于中档题.
48．（2020·广东省高三）已知正项数列的前n项和为，满足，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，利用数列通项与前n和之间的关系求解.
【解析】，
当时，，
或（舍去）；
当时，，，
两式相减得：.
，，
所以数列是首项，公差的等差数列，
，
故选：D.
49．（2020·安徽省高三）《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为
A．升 B．升 C．升 D．升
【答案】B
【解析】设自上而下各节的容积分别为，公差为，
∵上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，
∴，
解得∴自上而下取第1，3，9节，
则这3节的容积之和为：（升）．
故选B．
50．（2020·深圳市高级中学高三月考）假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为，，，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设三种方案第n天的回报分别为，，，则，为常数列；是首项为10，公差为10的等差数列；是首项为0.4，公比为2的等比数列.由数列的求和公式可得选项.
【解析】设三种方案第n天的回报分别为，，，则，为常数列；
是首项为10，公差为10的等差数列；是首项为0.4，公比为2的等比数列.
设投资10天三种投资方案的总收益为，，，则；
；，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于根据生活中的数据，转化到数列中所需的基本量，公差，公比等，属于中档题.
51．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三）数列的首项为，为等差数列，且（），若，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可设等差数列的首项为，公差为，
所以所以，
所以，即=2n-8，
=，
所以，选B.
52．（2020·全国高三月考）已知等差数列的前项和为.若，，则数列前2019项的和为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求和.
【解析】由等差数列性质可知，，解得；
而，故，则，故，
，
设的前项和为，
则，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查等差数列基本量运算、裂项相消法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
53．（2019·河南省高三月考）“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为
A．134 B．135 C．136 D．137
【答案】B
【分析】由题意得出，求出，即可得出数列的项数.
【解析】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故.由得，故此数列的项数为，故答案为B.
【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.
54．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模）设等差数列的前n项和为，，，则__________．
【答案】
【分析】设出首项和公差，根据等差数列的前n项和公式和通项公式可列出两个方程，即可求出，从而得到通项公式，求出．
【解析】设等差数列的首项为和公差为，则，
解得，所以，即有．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等差数列前n项和公式和通项公式中基本量的计算，以及通项公式的应用，属于基础题．
55．（2020·湖南省长郡中学高三月考）已知数列的前项和，则__________．
【答案】7
【分析】利用求解.
【解析】由题得.
故答案为：7
【点睛】本题主要考查数列项和公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
56．（2020·东北育才学校高三）等差数列中，，公差，是其前项和，若，则__________．
【答案】46
【分析】利用等差数列的基本量计算．
【解析】由题意，，
所以，又，所以．
故答案为：46．
【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，用首项和公差表示项与前项和是解题的基本方法．
57．（2020·四川省棠湖中学高三一模）已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则，__________．
【答案】
【分析】根据题意列出关于、的方程组，即可解出这两个量的值.
【解析】由题可得，，故有，
又因为，即，所以.
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键就是根据题意列出关于首项和公差的方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.
58．（2020·广东省高三期末）已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n为__________．
【答案】6
【分析】由，根据等差数列的前n项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大．
【解析】因为等差数列中，，
所以，
，，
∴Sn达到最大值时对应的项数n的值为6．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，属于容易题．
59．（2020·河北省高三一模）等差数列的前项和为，若，则__________．
【答案】70
【分析】由等差数列的定义与性质，求出的值，再利用等差中项公式即可求得结果.
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
由，得，
所以，
所以.
故答案为：70.
【点睛】本题考查了等差数列的定义与前项和公式，其中涉及到等差中项公式的应用，属于基础题.如果为等差数列，若，则.
60．（2020·绵阳南山中学实验学校高三月考）若数列为等差数列，且，则的值等于___________．
【答案】
【解析】因为，
所以，故答案为24.
61．（2020·梅河口市第五中学高三零模）已知为等差数列，为其前n项和，若，，则__________．
【答案】6
【解析】因为是等差数列，所以，即，又，所以，
所以．故答案为6．
【名师点睛】在等差数列五个基本量，，，，中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.
62．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三二模）定义为数列的“均值”，已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的范围为__________．
【答案】
【分析】根据题意，得到，求出，得到数列是等差数列，再由数列的前项和为，对任意正整数恒成立，得到，即可求出结果.
【解析】由题意可得：，
即，
所以，
因此，所以，
显然数列是等差数列，
又数列的前项和为，对任意正整数恒成立，
所以，即，解得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查由数列的最值求参数的问题，熟记等差数列的概念与等差数列的增减性即可，属于常考题型.
63．（2020·四川省泸县五中高三二模）已知数列满足，，则__________．
【答案】
【分析】根据递推关系式以及等差数列的定义可得是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解.
【解析】由，则，得，
所以是等差数列，，，
所以.故答案为：
【点睛】本题考查了由递推关系式证明数列为等差数列、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.
64．（2020·浙江省高三）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱令上二人所得与下三人等问各得几何.”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相同，若甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列问五人各得多少钱?（“钱”是古代的一种重量单位），则丁所得为__________钱．
【答案】
【分析】设出甲、乙、丙、丁、戊所得钱，根据题意列方程组求解，代入即可求得丁所得钱.
【解析】根据题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，
则，即，
又，则，
所以丁所得为钱.
故答案为：
【点睛】本题考查等差数列的应用，属于基础题.
65．（2020·江苏省高三三模）已知等差数列中，，，则其前项和的最小值为__________．
【答案】﹣4
【分析】由题意结合等差数列的通项公式可得，求出后，可得，即可得解.
【解析】设等差数列的公差为，
，，，解得，
，
当时，的最小值为．
故答案为：.
【点睛】本题考查了等差数列基本量运算与前n项和最值的求解，属于基础题.
66．（2020·江苏省南京师大附中高三）设等差数列的前n项和为.已知，.若存在正整数k，使得对任意的都有恒成立，则k的值为__________．
【答案】10
【分析】根据等差数列解出首项与公差，写出，找到取最大值时的值即为答案.
【解析】因为为等差数列，
所以.
所以.
故答案为:10.
【点睛】本题考查等差数列前项和的最值.属于基础题.熟练掌握等差数列的通项公式与前项和公式是解本题的关键.
67．（2020·江苏省高三三模）中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．意思是把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次排列分绵，每个弟弟都比前面的哥哥多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵的斤数为__________．
【答案】184
【分析】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成等差数列，若以第8个儿子分的绵得斤数为首项则公差d=-17，即可根据等差数列的和求出答案.
【解析】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成以第8个儿子分到的绵的斤数为首项，公差为d=-17的等差数列，其中n=8，S8=996，所以，
解得a1=184，故答案为：184
68．（2020·上海高三专题练习）如图，能够在图中的的正方形的21个空格中各填入一个正整数，使得每一行和每一列的数都成等差数列，那么标有*号的空格应填入的数是__________．

【答案】142
【分析】设第一列从下到上的公差为，最下面一行从左到右等差数列的公差为，进而得到第三行等差数列的公差为，计算可得到第三行的第二和第三个数，然后由第二列和第三列利用等差中项求解.
【解析】如图所示：






74







186


103


0




设第一列的公差为，最下面一行等差数列的公差为，则第三行等差数列的公差为，
所以第三行的第二和第三个数分别是和，
再由第二列和第三列是等差数列得：，
解得，所以第二列等差数列是50，58，66，74，82，
所以的标有的空格中应填的数是.
故答案为：142
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和等差中项的应用，还考查分析求解问题的能力，属于中档题.
69．（2020·河北省邢台一中高三月考）已知等差数列的前项和为，若，，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】设数列的公差为，由等差数列的求和公式和性质求出，并求出和的最大值.
【解析】设数列的公差为，则，，
又，，，
时，，又
.
故答案为：.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前项和、最值的求法，属于中档题.
70．（2020·江西省高三月考）已知数列满足，则的最小值为__________．
【答案】.
【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式.代入中，由数列中的性质，结合数列的单调性即可求得最小值.
【解析】因为，所以，
从而
…，

，
累加可得
而所以，则，
因为在递减，在递增
当时，，当时，，
所以时取得最小值，最小值为.
故答案为:
【点睛】本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法，数列单调性及自变量取值的特征，属于中档题.
71．（2020·山西省高三）在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么的值为__________．

【答案】
【分析】由第一行构成等差数列，求得，由第二行构成等差数列，求得，由第三列构成等比数列，求得，由第四列构成等比数列，求得，即可求解的值，得到答案.
【解析】由题意，设第一行构成等差数列，可得，
则，即，解得，所以，
设第二行构成等差数列，可得，则，解得，
所以，
设第三列构成等比数列，可得，则，所以，
设第四列构成等比数列，可得，
则，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式的基本量的运算，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与计算能力.
72．（2020·辽宁省高三月考）记为正项等差数列的前项和，若，则__________．
【答案】
【分析】设等差数列的公差为，根据已知求出，再利用等差数列求和公式求解.
【解析】设等差数列的公差为，由题得，
所以所以.
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
73．（2020·辽宁省高三二模）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”.其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为__________．
【答案】
【分析】设第天织布的尺数为，可知数列为等差数列，根据题意得出关于公差的方程，解出这个量的值，即可得出结果.
【解析】设第天织布的尺数为，可知数列为等差数列，
设等差数列的公差为，前项和为，则，，，
则，解得，
，解得，
因此，每天比前一天少织布的尺数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
74．（2020·四川省高三三模）设数列的前项和为，若，，且是等差数列.则的值为__________．
【答案】
【分析】首先求出的通项公式，即可得到，再利用作差法求出，最后利用分组求和计算可得；
【解析】因为，，且是等差数列，设公差为，
所以，，所以，
所以，所以①；
当时，②；
①减②得，显然符号
故，当时，时
所以


故答案为：
【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题.
75．（2020·四川省高三三模）设数列的前项和为，若，，且（且），则的值为__________．
【答案】
【分析】设，则由此可知为等差数列，即可求出的通项公式，进而得到，再根据即可求出数列的通项公式，然后根据裂项相消法即可求出．
【解析】设，则，由等差中项法可判断为等差数列．
因为，，所以，即．
当时，．
当时，也符合，所以．
由于，所以，

．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用等差中项法判断等差数列，等差数列的通项公式的求法，与的关系的应用，以及利用裂项相消法求和，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
76．（2020·北京高三一模）中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列，则__________；__________．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）
【答案】8，
【分析】根据题意分别把三三数之余二的正整数和五五数之余三的正整数，从小到大排列，构成二个数列，再求出三三数之余二，五五数之余三的正整数从小到大排列，所构成的数列，这样利用等差数列的通项公式进行求解即可；
【解析】三三数之余二的正整数从小到大排列得到数列为：
；
五五数之余三的正整数，从小到大排列，构成数列为：
.
所以三三数之余二，五五数之余三的正整数，从小到大排列得到数列为：
，数列是以首项为8，公差为15的等差数列.
空1：；
空2：.
故答案为：8；
【点睛】本题考查了等差数列的判定和通项公式的求法，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
77．（2020·北京高三月考）已知是数列的前项和，且，则__________，的最小值为__________．
【答案】，
【分析】由可求得的值，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【解析】，.
，所以，当或时，取得最小值.
故答案为：；.
【点睛】本题考查利用求，同时也考查了利用二次函数的基本性质求的最值，考查计算能力，属于基础题.
78．（2020·浙江省高三）等差数列的前项和为，若，则公差__________；通项公式__________．
【答案】1，
【解析】因为，
所以
79．（2020·江西省高三月考）在数列中，，前项和满足.令，则______；若数列满足，，则__________．
【答案】，
【分析】利用的关系，即可容易求得；根据所求，容易得是等差数列，根据基本量求解结果即可.
【解析】由题知，当时，，
因为，所以，所以.
当时，有，①
，②
①－②得，即，
于是；
又因为，，
所以，即是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
故答案为：；.
【点睛】本题考查利用的关系求数列的通项公式，以及等差数列通项公式的求解，属综合中档题.
80．（2020·浙江省高三）在公差为d的等差数列中，若，，则__________，__________．
【答案】，
【分析】因为数列为公差为d的等差数列，可得，解得，由，即可求得，进而求得.
【解析】数列为公差为的等差数列
根据等差数列的通项公式，得，解得，
，
，
令，故：．
故答案为：；.
【点睛】本题解题关键是掌握等差数列通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.