专题21 圆锥曲线综合-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅲ专版）

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专题21 圆锥曲线综合

【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，文数】已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）因为，可得，，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；
（2）点在上，点在直线上，且，，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为，可得，可求得点坐标，求出直线的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得的面积．
【详解】（1）
，，
根据离心率，
解得或（舍），
的方程为：，
即；
（2）不妨设，在x轴上方
点在上，点在直线上，且，，
过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为
根据题意画出图形，如图

，，，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
又，，
，
根据三角形全等条件“”，
可得：，
，
，
，
设点为，
可得点纵坐标为，将其代入，
可得：，
解得：或，
点为或，
①当点为时，
故，
，
，
可得：点为，
画出图象，如图

，，
可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：；
②当点为时，
故，
，
，
可得：点为，
画出图象，如图

，，
可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：，
综上所述，面积为：．
【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
【母题原题2】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．
【答案】（1）见解析；（2）或．
【解析】（1）设，则．
由于，所以切线DA的斜率为，故．
整理得
设，同理可得．
故直线AB的方程为．
所以直线AB过定点．
（2）由（1）得直线AB的方程为．
由，可得．
于是．
设M为线段AB的中点，则．
由于，而，与向量平行，所以．解得t=0或．
当=0时，=2，所求圆的方程为；
当时，，所求圆的方程为．
【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小．
【母题原题3】【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）设，，则，．
两式相减，并由得．
由题设知，，于是．
由题设得，故．
（2）由题意得F（1，0）．设，则
．
由（1）及题设得，．
又点P在C上，所以，从而，．
于是
．
同理．
所以．
故．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及简单几何性质、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系、向量的坐标运算与向量的模等，考查运算求解能力、数形结合思想，考查的数学核心素养是数学抽象、数学运算．圆维曲线中与中点弦有关的问题常用点差法，建立弦所在直线的斜率与中点坐标间的关系，也可以通过联立直线方程与圆锥曲线方程，消元，根据根与系数的关系求解．

【命题意图】主要考查考生的数学运算能力及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考的命题热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁；直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上．
【命题规律】圆锥曲线是高考的必考内容，主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用，圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题，综合性较强，常与向量、圆等知识结合，难度较大．在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧，注意掌握．
【知识总结】
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）=0，消去y（或x）得到一个关于x（或y）的一元二次方程，即联立两个方程得消去y（或x）得ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）．以ax2+bx+c=0为例进行讨论．
（1）当a≠0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线l与圆锥曲线C相交；Δ=0⇔直线l与圆锥曲线C相切；Δb>0）
k=–
双曲线：–=1（a>0，b>0）
k=
抛物线：y2=2px（p>0）
k=
其中k=（x1≠x2），（x1，y1），（x2，y2）为弦的端点坐标．
【方法总结】
1．直线与圆锥曲线的位置关系问题的常见类型及解题策略：
一是判断位置关系；二是依据位置关系确定参数的范围．
这两类问题在解决方法上是一致的，都是将直线与圆锥曲线方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解．
（1）直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与圆锥曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．
（2）直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要通过数形结合求解．
2．与圆锥曲线有关的弦长、面积和弦中点问题
（1）有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
①解决涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时，往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
②面积问题常采用S三角形=×底×高求解，其中底往往是弦长，而高用点到直线的距离公式求解即可，注意选择容易坐标化的弦长为底．有时也可根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式．有关求多边形的面积问题，常转化为求三角形的面积问题进行求解．
③求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．
（2）弦中点问题的解决方法
①用“点差法”求解弦中点问题的步骤

②对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
点差法的用途：
（i）已知弦的中点，求弦所在的直线的斜率或方程；
（ii）求弦（过定点或平行于某条弦）的中点的轨迹方程；
（iii）寻找圆锥曲线方程中系数的关系．
3．与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题
（1）最值问题的求解方法
①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．
②建立不等式模型，利用基本不等式求最值．
③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．
（2）求参数取值范围的常用方法
①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数取值范围．
③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的取值范围．
④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
4．与圆锥曲线有关的定点、定值问题
（1）求解定点问题常用的方法
①“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明；
②“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．
③求证直线过定点（x0，y0），常利用直线的点斜式方程y–y0=k（x–x0）来证明．
（2）求解定值问题常用的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
5．有关存在性问题的求解策略
（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在并设出，列出关于待定系数的方程（组），若方程（组）有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在．
（2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．
（3）解决存在性问题时要注意解题的规范性，一般先作出结论，后给出证明（理由）．
注意：存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．

1．（2020·云南省云南师大附中高三月考（文））已知椭圆的长轴长为4，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率为，且与椭圆相交于，两点（异于点），过作的角平分线交椭圆于另一点.证明：直线与坐标轴平行.
2．（2020·禄劝彝族苗族自治县第一中学高二期中（文））已知椭圆：的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆相交于，两点，若，试用表示.
3．（2020·云南省高三其他（文））已知椭圆：（）的右顶点为．左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线交椭圆于点（在第象限），直线的斜率为，与轴交于点．
（1）求椭圆的标准方程;
（2）过点的直线与椭圆交于、两点（、不与、重合），若，求直线的方程．
[来源:学&科&网]4．（2020·云南省高三三模（理））已知椭圆左焦点为，经过点的直线与圆相交于，两点，是线段与的公共点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）与的交点为，，且恰为线段的中点，求的面积．
5．（2020·云南省高三三模（文））经过椭圆左焦点的直线与圆相交于两点，是线段与的公共点，且．
（1）求；
（2）与的交点为，且恰为线段的中点，求的面积．
6．（2020·云南省昆明一中高三其他（理））已知圆M：，直线l：（）过定点N，点P是圆M上的任意一点，线段的垂直平分线和相交于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l交C于A，B两点，D，B关于x轴对称，直线与x轴交于点E，且点D为线段的中点，求直线l的方程.
7．（2020·云南省云南师大附中高三月考（理））已知椭圆E：，过右焦点F的直线l与椭圆E交于A，B两点（A，B两点不在x轴上），椭圆E在A，B两点处的切线交于P，点P在定直线上.
（1）记点，求过点与椭圆E相切的直线方程；
（2）以为直径的圆过点F，求面积的最小值.
8．（2020·云南省高三月考（理））如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线，过动点作于点，的平分线交轴于点，且，记动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；
（2）过点作两条直线，分别交曲线于两点（异于点）．当直线的斜率之和为2时，直线是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
9．（2020·云南省高三其他（理））已知的两个顶点坐标是，，的周长为，是坐标原点，点满足.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设不过原点的直线与曲线交于两点，若直线的斜率依次成等比数列，求面积的最大值.
10．（2020·云南省高三其他（文））已知的两个顶点坐标是，，的周长为，是坐标原点，点满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若互相平行的两条直线，分别过定点和，且直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，若四边形的面积为，求直线的方程.
11．（2020·云南省昆明一中高三月考（理））已知点，直线：，点为上一动点，过作直线，为的中垂线，与交于点，设点的轨迹为曲线Γ.
（1）求曲线Γ的方程；
（2）若过的直线与Γ交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求与的比值.
12．（2020·云南省高三月考（文））已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为.
（1）若，求直线的方程；
（2）若，求线段的长度.
13．（2020·云南省高三一模（文））椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，为旋杆上的一点，且在，两点之间，且，当滑标在滑槽内作往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.

（1）求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆的左､右顶点，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积为，求点的坐标.
14．（2020·西藏自治区高三二模（文））已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点、，设为直线上一点，且直线、的斜率的积为．证明：点在轴上．
15．（2020·西藏日喀则区南木林高级中学高三月考）已知是椭圆C： 上一点，点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A，B是椭圆C上异于点P的两点，直线PA与直线交于点M，
是否存在点A，使得？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.
16．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（理））已知椭圆，其左、右焦点分别为，离心率，为椭圆上一点，，且的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过左焦点的直线交椭圆于两点，记和的面积分别为和，且，求的方程.
17．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知抛物线：，过点的直线与抛物线相交于，两点，且．
（1）求的值；
（2）设动直线：与抛物线相切于点，点是直线上异于点的一点，若以为直径的圆恒过轴上一定点，求点的横坐标．
18．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值.
19．（2020·贵州省高三其他（理））设、分别是椭圆的左、右焦点，、两点分别是椭圆的上、下顶点，是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上异于、的动点，直线、与直线分别相交于、两点，点，试问：外接圆是否恒过轴上的定点（异于点）？若是，求该定点坐标；若否，说明理由.
20．（2020·贵州省高三其他（文））已知圆的圆心为，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的重直平分线与半径相交于点．[来源:学科网ZXXK]
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）给定点，若过点的直线与轨迹相交于两点（均不同于点）．证明：直线与直线的斜率之积为定值．
21．（2020·遵义市南白中学高三其他（理））已知在上任意一点处的切线为，若过右焦点的直线交椭圆于两点，已知在点处切线相交于.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）①若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于两点，证明为定值.
②四边形的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若没有请说明理由.
22．（2020·遵义市南白中学高三其他（文））已知在上任意一点处的切线为，若过右焦点的直线交椭圆:于、两点，在点处切线相交于．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于两点，证明：为定值．
23．（2020·贵州省高三其他（理））抛物线，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，.
（1）证明：直线过定点；
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的面积.
24．（2020·贵州省高三其他（文））设，分别是椭圆的左，右焦点，两点分别是椭圆的上，下顶点，是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上异于的动点，直线与直分别相交于两点，点，求证：的外接圆恒过原点.
25．（2020·西藏自治区拉萨中学高三月考（文））已知椭圆的离心率为，点在上
（1）求的方程
（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.

26．（2020·贵州省高三其他（理））已知椭圆上的点到左、右焦点，的距离之和为，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于，两点，点与点关于轴对称，求面积的最大值.
27．（2020·四川省石室中学高三月考（理））已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
28．（2020·广西壮族自治区高三月考（理））已知椭圆C：（0＜b＜2）的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过中心O的弦．
（1）求面积的最大值；
（2）动直线与椭圆交于A，B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．
[来源:学,科,网Z,X,X,K]29．（2020·四川省高三二模（理））已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.
30．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））如图，椭圆的右焦点为，过焦点，斜率为的直线交椭圆于、两点（异于长轴端点），是直线上的动点．

（1）若直线平分线段，求证：．
（2）若直线的斜率，直线、、的斜率成等差数列，求实数的取值范围．
31．（2020·四川省泸县第四中学高三二模（文））已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．
（1）求的值；
（2）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．
32．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（文））定义：过椭圆上的一点（不与长轴的端点重合）与椭圆的两个焦点确定的三角形称为椭圆的焦点三角形；已知过椭圆上一点P（不与长轴的端点重合）的焦点三角形，且．

（1）求证：焦点三角形的面积为定值；
（2）已知椭圆的一个焦点三角形为，；
①若，求点的横坐标的范围；
②若，过点的直线与轴交于点，且，记，求的值．
33．（2020·四川省高三二模（文））在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为，，P是坐标平面内的动点，且直线，的斜率之积等于，设点P的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程；
（2）设过点且倾斜角不为0的直线与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线，的交点在直线上.
34．（2020·四川省高三三模（理））已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.
（i）求证：；
（ii）求的面积的取值范围.
35．（2020·四川省高三三模（文））已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.
（i）当直线，的斜率都存在时，记直线，的斜率分别为，.求证：；
（ii）求的取值范围.
36．（2020·广西壮族自治区南宁三中高三月考（文））如图，椭圆：（）的离心率，左、右焦点分别为，，过，分别作两条相互垂直的直线，，分别交椭圆于，，，四点，，的交点为，三角形面积的最大值为1.

（1）求椭圆的方程；
（2）当四边形的面积最小时，求点的坐标.
37．（2020·广西壮族自治区高三其他（理））已知抛物线与直线相交于A，B两点，线段AB的长为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点的直线l与抛物线C交于M．N两点，点P为直线上的任意一点，设直线PM，PQ，PN的斜率分别为，且满足，能否为定值？若为定值，求出的值；若不为定值，请说明理由．
38．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））已知椭圆的两个焦点为F1、F2，椭圆上一点满足
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆恒有两上不同的交点A、B，且（O是坐标原点），求k的范围．
39．（2020·广西壮族自治区桂林十八中高二期中（理））已知椭圆：的离心率为，圆：与轴交于点、，为椭圆上的动点，，面积最大值为．　
（1）求圆与椭圆的方程；
（2）圆的切线交椭圆于点、，求的取值范围．
40．（2020·四川省阆中中学高三二模（文））已知椭圆过点，且离心率.

（1）求椭圆的方程；
（2）设直交椭圆于两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.

41．（2020·广西壮族自治区高三其他（文））已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.

（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
42．（2020·广西壮族自治区高三其他（理））已知椭圆的焦点坐标是，过点且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，问三角形内切圆面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在，请说明理由.
43．（2020·广西壮族自治区高三月考（理））已知椭圆.
（1）直线过点与椭圆交于两点，若，求直线的方程；
（2）在圆上取一点，过点作圆的切线与椭圆交于两点，求的值.
[来源:学.科.网]44．（2020·广西壮族自治区高三月考（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，且的离心率为，抛物线，点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作的切线，若，直线与交于两点，求面积的最大值．
45．（2020·广西壮族自治区田阳高中高二月考（理））已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的弦分别与椭圆交于点，求点到直线距离的最大值.
46．（2020·广西壮族自治区高三三模（文））已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆上的两个动点，直线，的斜率分别为，，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.
47．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二期中（理））已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值。