全国版2021届高考数学二轮复习专题检测三不等式与合情推理理含解析

这是一份全国版2021届高考数学二轮复习专题检测三不等式与合情推理理含解析，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．(2019·石家庄市质量检测)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a2<－ab B．|a|<|b|
C．eq \f(1,a)>eq \f(1,b)D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))b
解析：选C 法一：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))b，∴A、B、D不一定成立．∵a>0>b，∴b－a<0，ab<0，∴eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)>0，∴eq \f(1,a)>eq \f(1,b)一定成立．故选C.
法二：∵a>0>b，∴eq \f(1,a)>0>eq \f(1,b)，∴eq \f(1,a)>eq \f(1,b)一定成立．故选C.
2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b＝( )
A．1B．0
C．－1D．－3
解析：选D 由题意得，不等式x2－2x－3＜0的解集A＝(－1，3)，不等式x2＋x－6＜0的解集B＝(－3,2)，所以A∩B＝(－1,2)，即不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(－1,2)，所以a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.故选D.
3．已知a∈R，不等式eq \f(x－3,x＋a)≥1的解集为p，且－2∉p，则a的取值范围为( )
A．(－3，＋∞)B．(－3,2)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
解析：选D ∵－2∉p，∴eq \f(－2－3,－2＋a)<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.故选D.
4．若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(0，＋∞)B．[－1，＋∞)
C．[－1,1]D．[0，＋∞)
解析：选B 法一：当x＝0时，不等式为1≥0恒成立；
当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))，又－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))≤－2，当且仅当x＝1时取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．故选B.
法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a.
当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；
当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，得－1≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)．故选B.
5．(2019·浙江高考)若实数 x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y＋4≥0，,3x－y－4≤0，,x＋y≥0，))则 z＝3x＋2y的最大值是( )
A．－1B．1
C．10D．12
解析：选C 如图，不等式组表示的平面区域是以A(－1,1)，B(1，－1)，C(2,2)为顶点的△ABC区域(包含边界)．作出直线y＝－eq \f(3,2)x并平移，知当直线y＝－eq \f(3,2)x＋eq \f(z,2)经过C(2,2)时，z取得最大值，zmax＝3×2＋2×2＝10.故选C.
6．(2019·长沙市统一模拟考试)若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为( )
A．2B．4
C．6D．8
解析：选B 法一：由于a＋b＝ab≤eq \f(a＋b2,4)，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号．故选B.
法二：由题意，得eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．故选B.
法三：由题意知a＝eq \f(b,b－1)(b>1)，所以a＋b＝eq \f(b,b－1)＋b＝2＋b－1＋eq \f(1,b－1)≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．故选B.
7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－ax，x＞0，,2x－1，x≤0，))若不等式f(x)＋1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0)B．[－2,2]
C．(－∞，2]D．[0,2]
解析：选C 由f(x)≥－1在R上恒成立，可得当x≤0时，2x－1≥－1，即2x≥0，显然成立；又x＞0时，x2－ax≥－1，即为a≤eq \f(x2＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)，由x＋eq \f(1,x)≥2 eq \r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝1时，取得最小值2，可得a≤2，综上可得实数a的取值范围为(－∞，2]．故选C.
8．(2019·赤峰模拟)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“我不应负主要责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是( )
A．甲B．乙
C．丙D．丁
解析：选A ①假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故甲说的是假话；②假定乙说的是真话，则丁说“我不应负主要责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故乙说的是假话；③假定丙说的是真话，则甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故丙说的是假话．
综上可得，丁说的是真话，甲、乙、丙三人说的均为假话，即乙、丙、丁不应负主要责任，甲负主要责任．故选A.
9．(2019·江西八所重点中学联考)已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0,x＋y－1≥0,x≤3，))，则z＝eq \f(x＋y＋4,x＋1)的最小值是( )
A．eq \f(1,4)B．2
C．eq \f(5,4)D．－2
解析：选C 作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－1≥0，,x≤3))表示的平面区域如图中阴影部分所示．目标函数z＝eq \f(x＋y＋4,x＋1)＝1＋eq \f(y＋3,x＋1)，其中eq \f(y＋3,x＋1)表示点P(－1，－3)和点(x，y)的连线的斜率．结合图象得目标函数z＝1＋eq \f(y＋3,x＋1)在点A处取得最小值，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x＝3))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2，))即A(3，－2)，所以目标函数z的最小值为1＋eq \f(－2＋3,3＋1)＝eq \f(5,4).故选C.
10．(2019·大庆模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )
A．2 097B．2 112
C．2 012D．2 090
解析：选C 当三角形在移动时，观察其规律，如果设三角形内部第一行的数为a∈Z*，则第二行的数为a＋7，a＋8，a＋9，其和为3(a＋8)，第三行的数为a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，其和为5(a＋16)，所以这九个数的和为S＝a＋3(a＋8)＋5(a＋16)＝9a＋104，代入到各个选项中看能否算出a即可．通过计算可得9a＋104＝2 012时，a＝212.由图示规律知212位于第27行第4列，符合题意．故选C.
11．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )
A.15万元B．16万元
C．17万元D．18万元
解析：选D 设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，,y≥0，))
z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时取得最大值，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y＝12，,x＋2y＝8))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，))
∴M(2,3)，故z＝3x＋4y过点M(2,3)时取最大值，最大值zmax＝3×2＋4×3＝18.故选D.
12．若两个正实数x，y满足eq \f(1,3x)＋eq \f(3,y)＝1，且不等式x＋eq \f(y,4)－n2－eq \f(13n,12)＜0有解，则实数n的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25,12)，1))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(25,12)))∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞)D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(25,12)))
解析：选B 因为不等式x＋eq \f(y,4)－n2－eq \f(13n,12)＜0有解，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,4)))min＜n2＋eq \f(13n,12)，
因为x＞0，y＞0，且eq \f(1,3x)＋eq \f(3,y)＝1，
所以x＋eq \f(y,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3x)＋\f(3,y)))＝eq \f(13,12)＋eq \f(3x,y)＋eq \f(y,12x)≥eq \f(13,12)＋2 eq \r(\f(3x,y)·\f(y,12x))＝eq \f(25,12)，
当且仅当eq \f(3x,y)＝eq \f(y,12x)，即x＝eq \f(5,6)，y＝5时取等号，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,4)))min＝eq \f(25,12)，
故n2＋eq \f(13n,12)－eq \f(25,12)＞0，解得n＜－eq \f(25,12)或n＞1，
所以实数n的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(25,12)))∪(1，＋∞)．故选B.
二、填空题
13．不等式eq \f(3x－1,2－x)≥1的解集为________．
解析：不等式eq \f(3x－1,2－x)≥1可转化成eq \f(3x－1,2－x)－1≥0，
即eq \f(4x－3,2－x)≥0，
等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3x－2≤0，,2－x≠0，))解得eq \f(3,4)≤x＜2，
故不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))≤x＜2)).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))≤x＜2))
14．若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,2x＋y≤6，,x＋y≥2，))则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．
解析：由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2)，(1,1)，(4，－2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)．由线性规划的知识可知，目标函数z＝x＋3y在点(2,2)处取得最大值，在点(4，－2)处取得最小值，则最小值zmin＝4－6＝－2，最大值zmax＝2＋6＝8.
答案：－2 8
15．(2019·洛阳市统考)已知x>0，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．
解析：∵eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝1，∴2x＋y＝xy，∴xy＋x＋y＝3x＋2y，∵3x＋2y＝(3x＋2y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝7＋eq \f(6x,y)＋eq \f(2y,x)，且x>0，y>0，∴3x＋2y≥7＋4eq \r(3)，∴xy＋x＋y的最小值为7＋4eq \r(3).
答案：7＋4eq \r(3)
16．(2019·北京高考改编)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 eq \r(2)；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是________．
解析：由x2＋y2＝1＋|x|y，当x＝0时，y＝±1；当y＝0时，x＝±1；当y＝1时，x＝0，±1.故曲线C恰好经过6个整点：A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，D(1,1)，E(－1,0)，F(－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y>0时，x2＋y2＝1＋|x|y＝1＋|xy|≤1＋eq \f(x2＋y2,2)，所以x2＋y2≤2，所以 eq \r(x2＋y2)≤eq \r(2)，故②正确．如图，由①知长方形CDFE面积为2，三角形BCE面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．
答案：①②
甲
乙
原料限额
A/吨
3
2
12
B/吨
1
2
8