全国版2021届高考数学二轮复习专题检测十七圆锥曲线中的最值范围探索性问题文含解析

这是一份全国版2021届高考数学二轮复习专题检测十七圆锥曲线中的最值范围探索性问题文含解析，共4页。试卷主要包含了已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

1．(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．
(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径．
(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．
解：(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．
因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.
连接MA，由已知得|AO|＝2.又eq \(MO,\s\up7(―→))⊥eq \(AO,\s\up7(―→))，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，
解得a＝0或a＝4.
故⊙M的半径r＝2或r＝6.
(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值．
理由如下：
设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.
由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，
所以存在满足条件的定点P.
2．(2019·武汉部分学校调研)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆C上异于A，B的点，直线TA，TB的斜率之积为－eq \f(3,4).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点M(8，0)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．
解：(1)设T(x，y)(x≠±4)，则直线TA的斜率为k1＝eq \f(y,x＋4)，直线TB的斜率为k2＝eq \f(y,x－4).
于是由k1k2＝－eq \f(3,4)，得eq \f(y,x＋4)·eq \f(y,x－4)＝－eq \f(3,4)，整理得eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(x≠±4)，故椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
(2)由题意设直线PQ的方程为x＝my＋8，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋8，,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1))得(3m2＋4)y2＋48my＋144＝0，
Δ＝(48m)2－4×144×(3m2＋4)＝12×48(m2－4)＞0，
即m2＞4，
yP＋yQ＝－eq \f(48m,3m2＋4)，yPyQ＝eq \f(144,3m2＋4).
|PQ|＝eq \f(\r(m2＋1),3m2＋4)·eq \r(Δ)＝eq \f(24\r(（m2＋1）（m2－4）),3m2＋4)，
点O到直线PQ的距离d＝eq \f(8,\r(m2＋1)) .
故S△OPQ＝eq \f(1,2)×|PQ|×d＝eq \f(96\r(m2－4),3m2＋4)＝eq \f(96,3\r(m2－4)＋\f(16,\r(m2－4)))≤4eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当m2＝\f(28,3)时等号成立，且满足m2＞4))，
故△OPQ面积的最大值为4eq \r(3).
3．(2019·湖南省湘东六校联考)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq \f(1,2)，点A(b，0)，B，F分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|·|BA|＝2eq \r(6).
(1)求椭圆C的方程．
(2)若过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解：(1)设椭圆的焦距为2c，由离心率e＝eq \f(1,2)得a＝2c.①
由|BF|·|BA|＝2eq \r(6)，得a·eq \r(b2＋b2)＝2eq \r(6)，∴ab＝2eq \r(3).②
a2－b2＝c2，③
由①②③可得a2＝4，b2＝3，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋2(k＞0)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2（k＞0），,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，可知Δ＞0，∴k＞eq \f(1,2).
设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(－16k,4k2＋3)，eq \(PG,\s\up7(―→))＋eq \(PH,\s\up7(―→))＝(x1＋x2－2m，k(x1＋x2)＋4)，eq \(GH,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))．
∵菱形的对角线互相垂直，∴(eq \(PG,\s\up7(―→))＋eq \(PH,\s\up7(―→)))·eq \(GH,\s\up7(―→))＝0，
∴(1＋k2)(x1＋x2)＋4k－2m＝0，得m＝－eq \f(2k,4k2＋3)，
即m＝－eq \f(2,4k＋\f(3,k))，∵k＞eq \f(1,2)，∴－eq \f(\r(3),6)≤m＜0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当\f(3,k)＝4k时，等号成立)).
∴存在满足条件的实数m，m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),6)，0)).
4．(2019·郑州市第二次质量预测)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，△AF1F2的周长为4＋2eq \r(3)，且面积的最大值为eq \r(3).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设B是椭圆上一动点，线段AB的中点为P，OA，OB(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－eq \f(1,4)，求|OP|的取值范围．
解：(1)由椭圆的定义及△AF1F2的周长为4＋2eq \r(3)，可得2(a＋c)＝4＋2eq \r(3)，
∴a＋c＝2＋eq \r(3).①
当A在上(或下)顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即bc＝eq \r(3)，②
由①②及a2＝c2＋b2，得a＝2，b＝1，c＝eq \r(3)，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)当直线AB的斜率不存在时，k1＝－k2，∵k1k2＝－eq \f(1,4)，∴k1＝±eq \f(1,2)，不妨取k1＝eq \f(1,2)，则直线OA的方程为y＝eq \f(1,2)x，
不妨取点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(\r(2),2)))，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，－\f(\r(2),2)))，P(eq \r(2)，0)，∴|OP|＝eq \r(2).
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,x2＋4y2＝4))可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝16(4k2＋1－m2)＞0，③
∴x1＋x2＝eq \f(－8km,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(4m2－4,1＋4k2).∵k1k2＝－eq \f(1,4)，
∴4y1y2＋x1x2＝0，
∴4(kx1＋m)(kx2＋m)＋x1x2＝(4k2＋1)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝4m2－4－eq \f(32k2m2,1＋4k2)＋4m2＝0，
化简得2m2＝1＋4k2(满足③式)，∴m2≥eq \f(1,2).
设P(x0，y0)，则x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(－4km,1＋4k2)＝eq \f(－2k,m)，y0＝kx0＋m＝eq \f(1,2m).
∴|OP|2＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(4k2,m2)＋eq \f(1,4m2)＝2－eq \f(3,4m2)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，
∴|OP|∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\r(2))).
综上，|OP|的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\r(2))).