全国版2021届高考数学二轮复习专题检测十八函数的图象与性质文含解析

这是一份全国版2021届高考数学二轮复习专题检测十八函数的图象与性质文含解析，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.函数y＝lg2(2x－4)＋eq \f(1,x－3)的定义域是( )
A.(2，3) B.(2，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)
解析：选D 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－4＞0，,x－3≠0，))解得x＞2且x≠3，
所以函数y＝lg2(2x－4)＋eq \f(1,x－3)的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选D.
2.若函数f(x)满足f(1－ln x)＝eq \f(1,x)，则f(2)＝( )
A.eq \f(1,2) B.e
C.eq \f(1,e) D.－1
解析：选B 法一：令1－ln x＝t，则x＝e1－t，
于是f(t)＝eq \f(1,e1－t)，即f(x)＝eq \f(1,e1－x)，故f(2)＝e.
法二：由1－ln x＝2，得x＝eq \f(1,e)，这时eq \f(1,x)＝eq \f(1,\f(1,e))＝e，
即f(2)＝e.
3.(2019·长沙市统一模拟考试)下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是( )
A.f(x)＝sin x－x
B.f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1)
C.f(x)＝eq \f(ex＋e－x,2)
D.f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)
解析：选D 由题意，f(x)＝sin x－x，该函数是奇函数，满足图象关于原点对称的条件，而f′(x)＝cs x－1≤0，即在定义域内f(x)＝sin x－x单调递减，故A不满足；对于B，研究定义域可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1>0，,x＋1>0，))即该函数的定义域为(1，＋∞)，所以该函数是非奇非偶函数，故B不满足；对于C，函数的定义域为R，f(－x)＝f(x)，所以该函数是偶函数，不满足图象关于原点对称的条件，故C不满足；对于D，函数的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数，满足图象关于原点对称的条件，又f′(x)＝eq \f(ex＋e－x,2)>0，所以该函数在其定义域内单调递增，满足题目中的条件，故选D.
4.(2019·江西九江两校3月联考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1，3]上的值域为( )
A.[0，12] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，12))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，12)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，12))
解析：选B 因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，
所以f(0)＝0，则b＝0.
由f(－x)＝f(－1＋x)，可知函数的图象的对称轴为直线x＝－eq \f(1,2)，即－eq \f(a,2×1)＝－eq \f(1,2)，所以a＝1，
则f(x)＝x2＋x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，
所以当x＝－eq \f(1,2)时，f(x)取得最小值，且最小值为－eq \f(1,4).
又f(－1)＝0，f(3)＝12，
所以f(x)在[－1，3]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，12)).故选B.
5.函数f(x)＝eq \f(ln|x|＋1,ex)的图象大致为( )
解析：选C 函数f(x)＝eq \f(ln|x|＋1,ex)是非奇非偶函数，排除A、B；函数f(x)＝eq \f(ln|x|＋1,ex)的零点是x＝±e－1，当x＝e时，f(e)＝eq \f(2,ee)6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( )
A.f(－25)B.f(80)C.f(11)D.f(－25)解析：选D 因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，
则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3).
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1).
因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，
所以f(－1)7.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，1))上的图象，则f(2 019)＋f(2 020)＝( )
A.2 B.1
C.－1 D.0
解析：选B 因为函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 019)＝f(2 019－673×3)＝f(0)，f(2 020)＝f(2 020－673×3)＝f(1)，由题中图象知f(0)＝0，f(1)＝1，所以f(2 019)＋f(2 020)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1，故选B.
8.(2019·湖北武汉3月联考)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是( )
A.(－∞，0] B.[0，1)
C.[1，＋∞) D.[－1，0]
解析：选B 由题意知g(x)＝x2f(x－1)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，x＞1，,0，x＝1，,－x2，x＜1，))画出函数g(x)的图象(图略)，由图可得函数g(x)的单调递减区间为[0，1).故选B.
9.(2019·湖北省部分重点中学4月联考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，x≥0，,\f(1,x)，x＜0，))g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象大致是( )
解析：选D 先画出函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，x≥0，,\f(1,x)，x＜0))的图象，如图(1)所示，再根据函数f(x)与－f(－x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f(－x)的图象，即g(x)的图象，如图(2)所示，故选D.
10.(2019·湖北武汉部分重点中学3月联考)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(1)＝－1，若f(2x－1)≥－1，则x的取值范围为( )
A.(－∞，－1] B.[1，＋∞)
C.[0，1] D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：选C 由题意，得f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(1)＝－1，所以f(2x－1)≥f(1)，则|2x－1|≤1，解得0≤x≤1.故选C.
11.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3（a－3）x＋2，x≤1，,－4a－ln x，x＞1，))对于任意的x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，3] B.(－∞，3)
C.(3，＋∞) D.[1，3)
解析：选D 由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0，得函数f(x)为R上的单调递减函数，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－3＜0，,3（a－3）＋2≥－4a，))解得1≤a＜3.故选D.
12.已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )
A.有最小值－1，最大值1
B.有最大值1，无最小值
C.有最小值－1，无最大值
D.有最大值－1，无最小值
解析：选C 作出函数g(x)＝1－x2和函数|f(x)|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h(x)的图象如图②所示，由图象得函数h(x)有最小值－1，无最大值.

二、填空题
13.(2019·山东济宁期末改编)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln x＋b，x＞1，,ex－2，x≤1，))若f(e)＝－3f(0)，则b＝________，函数f(x)的值域为________________.
解析：由f(e)＝－3f(0)得1＋b＝－3×(－1)，即b＝2，即函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln x＋2，x＞1，,ex－2，x≤1.))当x＞1时，y＝ln x＋2＞2；当x≤1时，y＝ex－2∈(－2，e－2].故函数f(x)的值域为(－2，e－2]∪(2，＋∞).
答案：2 (－2，e－2]∪(2，＋∞)
14.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________.
解析：设x>0，则－x<0.
∵ 当x<0时，f(x)＝－eax，∴ f(－x)＝－e－ax.
∵ f(x)是奇函数，∴ f(x)＝－f(－x)＝e－ax，
∴ f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a.
又∵ f(ln 2)＝8，∴ 2－a＝8，∴ a＝－3.
答案：－3
15.已知定义在R上的偶函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝lga(x＋1)(a>0，且a≠1)，则当－1解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝lga2.
因为－1所以lgaeq \f(1,a)①当a>1时，原不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)<2，,a>2，))解得a>2；
②当02，,a<2，))解得0答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)
16.(2019·河北保定两校3月联考)对于函数y＝f(x)，若存在x0，使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”.已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x＜0，,kx＋2，x≥0，))若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k的取值范围为________.
解析：由“优美点”的定义，可知若点(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的“优美点”，则点(－x0，－f(x0))也在曲线y＝f(x)上.如图，作出函数y＝x2＋2x(x＜0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为y＝－x2＋2x(x＞0).
设过定点(0，2)的直线y＝k1x＋2与曲线y＝f(x)＝－x2＋2x(x＞0)切于点A(x1，f(x1))，则k1＝y′|eq \a\vs4\al(x＝x1)＝－2x1＋2＝eq \f(－xeq \\al(2,1)＋2x1－2,x1－0)，解得x1＝eq \r(2)或x1＝－eq \r(2)(舍去)，所以k1＝－2eq \r(2)＋2.
由图可知，若曲线y＝f(x)存在“优美点”，则k≤2－2eq \r(2).
答案：(－∞，2－2eq \r(2)]
B组——“5＋3”提速练
1.设y＝f(x)是R上的奇函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上递减，f(2)＝0，则f(x)＞0的解集是( )
A.(－∞，－2) B.(0，2)
C.(－∞，－2)∪(0，2) D.(－2，0)∪(0，2)
解析：选C 根据题意，函数f(x)是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，
则函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(－2)＝－f(2)＝0.
当x＞0时，若f(x)＞0，即f(x)＞f(2)，必有0＜x＜2，
当x＜0时，若f(x)＞0，即f(x)＞f(－2)，必有x＜－2，
即f(x)＞0的解集是(－∞，－2)∪(0，2).
2.(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝eq \f(2x3,2x＋2－x)在[－6，6]的图象大致为( )
解析：选B ∵ y＝f(x)＝eq \f(2x3,2x＋2－x)，x∈[－6，6]，
∴ f(－x)＝eq \f(2（－x）3,2－x＋2x)＝－eq \f(2x3,2－x＋2x)＝－f(x)，
∴ f(x)是奇函数，排除选项C.
当x＝4时，y＝eq \f(2×43,24＋2－4)＝eq \f(128,16＋\f(1,16))＝eq \f(128×16,257)≈7.97∈(7，8)，排除选项A、D.故选B.
3.已知函数f(x)为偶函数，且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，若g(3)＝2，则f(－2)＝( )
A.－2 B.2
C.－3 D.3
解析：选D 因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(3)＝2，所以f(2)＝3，因为函数f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝3，故选D.
4.(2019·重庆4月调研)已知函数f(x)＝2x＋lg3 eq \f(2＋x,2－x)，若不等式feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)))>3成立，则实数m的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(－∞，1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析：选D 由eq \f(2＋x,2－x)>0，得－23成立等价于不等式feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)))＞f(1)成立，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2＜\f(1,m)＜2，,\f(1,m)＞1，))
解得eq \f(1,2)5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数，给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)；④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是( )
A.①②③④ B.①③④
C.①④ D.④
解析：选C 对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；
对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；
对于函数h(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.
6.已知函数f(x)的图象关于点(－3，2)对称，则函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象的对称中心为________.
解析：函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f(x)的图象关于点(－3，2)对称，所以函数h(x)的图象的对称中心为(－4，－1).
答案：(－4，－1)
7.设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（x－1），x≥0，,－f（－x），x<0，))则满足f(x)＋f(x－1)<2的x的取值范围是________.
解析：当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－x(－x－1)]＝－x(x＋1)，
①若x<0，则x－1<－1，
由f(x)＋f(x－1)<2得－x(x＋1)－(x－1)x<2，
即－2x2<2，即x2>－1，此时恒成立，此时x<0.
②若x≥1，则x－1≥0，
由f(x)＋f(x－1)<2得x(x－1)＋(x－1)(x－2)<2，即x2－2x<0，即0③若0≤x<1，则x－1<0，
则由f(x)＋f(x－1)<2得x(x－1)－(x－1)x<2，
即0<2，此时不等式恒成立，此时0≤x<1，
综上x<2，即不等式的解集为(－∞，2).
答案：(－∞，2)
8.若函数y＝f(x)满足：对于y＝f(x)图象上任意一点P(x1，f(x1))，总存在点P′(x2，f(x2))也在y＝f(x)图象上，使得x1x2＋f(x1)f(x2)＝0成立，称函数y＝f(x)是“特殊对点函数”.给出下列五个函数：
①y＝x－1；②y＝ex－2；③y＝ln x；④y＝eq \r(1－x2)(其中e为自然对数底数).其中是“特殊对点函数”的序号是________.(写出所有正确的序号)
解析：由P(x1，f(x1))，P′(x2，f(x2))满足x1x2＋f(x1)·f(x2)＝0，知eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(OP′,\s\up7(―→))＝0，即eq \(OP,\s\up7(―→))⊥eq \(OP′,\s\up7(―→)).
①y＝x－1.当P(1，1)时，由图象知满足eq \(OP,\s\up7(―→))⊥eq \(OP′,\s\up7(―→))的点P′(x2，f(x2))不在y＝x－1上，故①y＝x－1不是“特殊对点函数”；
②y＝ex－2.作出函数y＝ex－2的图象，由图象知，满足eq \(OP,\s\up7(―→))⊥eq \(OP′,\s\up7(―→))的点P′(x2，f(x2))都在y＝f(x)图象上，则②是“特殊对点函数”；
③y＝ln x.当P(1，0)时，满足eq \(OP,\s\up7(―→))⊥eq \(OP′,\s\up7(―→))的点不在y＝ln x上，故③y＝ln x不是“特殊对点函数”；
④y＝eq \r(1－x2).作出函数y＝eq \r(1－x2)的图象，
由图象知，满足eq \(OP,\s\up7(―→))⊥eq \(OP′,\s\up7(―→))的点P′(x2，f(x2))都在y＝f(x)图象上，则④是“特殊对点函数”.
答案：②④