全国版2021届高考数学二轮复习专题检测十五圆锥曲线的方程与性质文含解析

这是一份全国版2021届高考数学二轮复习专题检测十五圆锥曲线的方程与性质文含解析，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝( )
A.2 B.3
C.4 D.8
解析：选D 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\r(2p)，0)).
由题意得eq \f(p,2)＝eq \r(2p)，解得p＝0(舍去)或p＝8.故选D.
2.一个焦点为(eq \r(26)，0)且与双曲线eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.eq \f(y2,18)－eq \f(x2,8)＝1 B.eq \f(x2,18)－eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,10)＝1 D.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,10)＝1
解析：选B 设所求双曲线方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝t(t≠0)，因为一个焦点为(eq \r(26)，0)，所以|13t|＝26.又焦点在x轴上，所以t＝－2，即双曲线方程为eq \f(x2,18)－eq \f(y2,8)＝1.
3.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,24)＋eq \f(y2,25)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,24)＝1
C.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1 D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
解析：选D 设圆M的半径为r，则|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r，|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|，所以点M的轨迹是以点C1(4，0)和C2(－4，0)为焦点的椭圆，且2a＝16，a＝8，c＝4，则b2＝a2－c2＝48，所以点M的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
4.(2019·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,2)
C.eq \f(7,2) D.eq \f(9,2)
解析：选B 由F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的一个焦点，知|OF|＝3，
所以 |OP|＝|OF|＝3.
不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))＝3，,\f(xeq \\al(2,0),4)－\f(yeq \\al(2,0),5)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xeq \\al(2,0)＝\f(56,9)，,yeq \\al(2,0)＝\f(25,9)，))所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(14),3)，\f(5,3)))，
所以S△OPF＝eq \f(1,2)|OF|·y0＝eq \f(1,2)×3×eq \f(5,3)＝eq \f(5,2).
故选B.
5.(2019·石家庄市模拟(一))已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(3),2)
解析：选B ∵FP的斜率为－eq \f(b,c)，FP∥l，∴直线l的斜率为－eq \f(b,c).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),a2)＋\f(yeq \\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq \\al(2,2),a2)＋\f(yeq \\al(2,2),b2)＝1))得eq \f(yeq \\al(2,1),b2)－eq \f(yeq \\al(2,2),b2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),a2)－\f(xeq \\al(2,2),a2)))，即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2（x1＋x2）,a2（y1＋y2）).∵AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，∴－eq \f(b,c)＝－eq \f(2b2,a2)，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc，∴b＝c，∴a＝eq \r(2)c，∴椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)，故选B.
6.(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C.2 D.eq \r(5)
解析：选A 设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq \f(c,2).由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))eq \s\up12(2)＝a2，故eq \f(c,a)＝eq \r(2)，即e＝eq \r(2).故选A.
二、填空题
7.(2019·北京通州区三模改编)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________.
解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1的两条渐近线方程分别为y＝2x，y＝－2x，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p，三角形的高为eq \f(p,2)，因此eq \f(1,2)×2p×eq \f(p,2)＝2，解得p＝2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y＝2x和y＝－2x的距离相等，均为eq \f(|2－0|,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5).
答案：2 eq \f(2\r(5),5)
8.设直线l：2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x2＋eq \f(y2,4)＝1的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为eq \f(1,2)的点P的个数为________.
解析：直线l′的方程为2x＋y－2＝0，∴交点分别为椭圆顶点(1，0)和(0，2)，则|AB|＝eq \r(5)，由△PAB的面积为eq \f(1,2)，得点P到直线AB的距离为eq \f(\r(5),5)，而平面上到直线2x＋y－2＝0的距离为eq \f(\r(5),5)的点都在直线2x＋y－1＝0和2x＋y－3＝0上，而直线2x＋y－1＝0与椭圆相交，2x＋y－3＝0与椭圆相离，∴满足题意的点P有2个.
答案：2
9.已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点.若eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))<0，则y0的取值范围是________.
解析：由题意知a＝eq \r(2)，b＝1，c＝eq \r(3)，
设F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，
则eq \(MF1,\s\up7(―→))＝(－eq \r(3)－x0，－y0)，eq \(MF2,\s\up7(―→))＝(eq \r(3)－x0，－y0).
∵eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))<0，
∴(－eq \r(3)－x0)(eq \r(3)－x0)＋yeq \\al(2,0)<0，
即xeq \\al(2,0)－3＋yeq \\al(2,0)<0.
∵点M(x0，y0)在双曲线C上，
∴eq \f(xeq \\al(2,0),2)－yeq \\al(2,0)＝1，即xeq \\al(2,0)＝2＋2yeq \\al(2,0)，
∴2＋2yeq \\al(2,0)－3＋yeq \\al(2,0)<0，∴－eq \f(\r(3),3)答案：－eq \f(\r(3),3)三、解答题
10.(2019·长春市质量监测(二))已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，|PF2|＝eq \f(1,2)，椭圆C的离心率为eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积.
解：(1)由题意知，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，|PF2|＝eq \f(b2,a)＝eq \f(1,2)，得a＝2，b＝1，所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)由条件可知F1(－eq \r(3)，0)，直线l：y＝x＋eq \r(3)，联立直线l和椭圆C的方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋\r(3)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y得5x2＋8eq \r(3)x＋8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(8\r(3),5)，x1·x2＝eq \f(8,5)，所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \f(4\r(2),5)，
所以S△AOB＝eq \f(1,2)·|y1－y2|·|OF1|＝eq \f(2\r(6),5).
11.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→))，求|AB|.
解：设直线l：y＝eq \f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)由题设得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq \f(3,2).
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq \f(5,2).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(12（t－1）,9).
从而－eq \f(12（t－1）,9)＝eq \f(5,2)，得t＝－eq \f(7,8).
所以l的方程为y＝eq \f(3,2)x－eq \f(7,8).
(2)由eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→))可得y1＝－3y2.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝eq \f(1,3).
故|AB|＝eq \f(4\r(13),3).
12.(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为4eq \r(2)，离心率为eq \f(1,3).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，直线F1M的斜率为2eq \r(6)，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求3k1＋2k2的值.
解：(1)由题意，得2b＝4eq \r(2)，eq \f(c,a)＝eq \f(1,3).
又a2－c2＝b2，∴a＝3，b＝2eq \r(2)，c＝1.
∴椭圆C的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
(2)由(1)可知A(－3，0)，B(3，0)，F1(－1，0).
据题意，直线F1M的方程为y＝2eq \r(6)(x＋1).
记直线F1M与椭圆C的另一个交点为M′.设M(x1，y1)(y1>0)，M′(x2，y2).
∵F1M∥F2N，∴根据对称性，得N(－x2，－y2).
联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8x2＋9y2＝72，,y＝2\r(6)（x＋1），))消去y，得14x2＋27x＋9＝0.
由题意知x1>x2，∴x1＝－eq \f(3,7)，x2＝－eq \f(3,2)，
k1＝eq \f(y1,x1＋3)＝eq \f(2\r(6)（x1＋1）,x1＋3)＝eq \f(4\r(6),9)，k2＝eq \f(－y2,－x2－3)＝eq \f(2\r(6)（x2＋1）,x2＋3)＝－eq \f(2\r(6),3)，
∴3k1＋2k2＝3×eq \f(4\r(6),9)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(6),3)))＝0，即3k1＋2k2的值为0.
B组——大题专攻强化练
1.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为eq \f(1,2)，其中一个顶点是抛物线x2＝－4eq \r(3)y的焦点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标.
解：(1)设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意得b＝eq \r(3)，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
解得a＝2，c＝1.
故椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，
故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝k（x－2）＋1))
得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①
因为直线l与椭圆C相切，
所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.
整理，得2k＋1＝0，
解得k＝－eq \f(1,2).
所以直线l的方程为y＝－eq \f(1,2)(x－2)＋1＝－eq \f(1,2)x＋2.将k＝－eq \f(1,2)代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
2.在直角坐标系xOy中，长为eq \r(2)＋1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动，eq \(CP,\s\up7(―→))＝eq \r(2) eq \(PD,\s\up7(―→)).记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)经过点(0，1)作直线l与曲线E相交于A，B两点，eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))，当点M在曲线E上时，求直线l的方程.
解：(1)设 C(m，0)，D(0，n)，P(x，y).
由eq \(CP,\s\up7(―→))＝eq \r(2) eq \(PD,\s\up7(―→))，得(x－m，y)＝eq \r(2)(－x，n－y)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－m＝－\r(2)x，,y＝\r(2)（n－y），))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝（\r(2)＋1）x，,n＝\f(\r(2)＋1,\r(2))y，))
由|eq \(CD,\s\up7(―→))|＝eq \r(2)＋1，得m2＋n2＝(eq \r(2)＋1)2，
所以(eq \r(2)＋1)2x2＋eq \f(（\r(2)＋1）2,2)y2＝(eq \r(2)＋1)2，
整理，得曲线E的方程为x2＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))，
知点M的坐标为(x1＋x2，y1＋y2).
易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(2k,k2＋2)，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝eq \f(4,k2＋2).
由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋eq \f(（y1＋y2）2,2)＝1，
即eq \f(4k2,（k2＋2）2)＋eq \f(8,（k2＋2）2)＝1，解得k2＝2.
此时直线l的方程为y＝±eq \r(2)x＋1.
3.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq \f(1,3)，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点Q(0，2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若x轴上的一点E满足|AE|＝|BE|，试求出点E的横坐标的取值范围.
解：(1)由已知得eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，2c＝2，
所以c＝1，a＝3，b2＝a2－c2＝8.所以椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
(2)根据题意可设直线l的方程为y＝kx＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为G(x0，y0).
设点E(m，0)，使得|AE|＝|BE|，则EG⊥AB.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,\f(x2,9)＋\f(y2,8)＝1))得(8＋9k2)x2＋36kx－36＝0，
x1＋x2＝－eq \f(36k,9k2＋8)，所以x0＝eq \f(－18k,9k2＋8)，y0＝kx0＋2＝eq \f(16,9k2＋8)，
因为EG⊥AB，所以kEG＝－eq \f(1,k)，即eq \f(\f(16,9k2＋8)－0,\f(－18k,9k2＋8)－m)＝－eq \f(1,k)，
所以m＝eq \f(－2k,9k2＋8)＝eq \f(－2,9k＋\f(8,k))，
当k>0时，9k＋eq \f(8,k)≥2eq \r(9×8)＝12eq \r(2)，所以－eq \f(\r(2),12)≤m<0；
当k<0时，9k＋eq \f(8,k)≤－12eq \r(2)，所以0综上所述，点E的横坐标的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),12)，0))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),12))).
4.如图，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|＝eq \f(\r(5),2)|BF|.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,17)，\f(2,17)))在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程.
解：(1)由已知|AB|＝eq \f(\r(5),2)|BF|，
得 eq \r(a2＋b2)＝eq \f(\r(5),2)a，
即4a2＋4b2＝5a2，4a2＋4(a2－c2)＝5a2，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).
(2)由(1)知a2＝4b2，
所以椭圆C的方程可化为eq \f(x2,4b2)＋eq \f(y2,b2)＝1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由eq \f(xeq \\al(2,1),4b2)＋eq \f(yeq \\al(2,1),b2)＝1，eq \f(xeq \\al(2,2),4b2)＋eq \f(yeq \\al(2,2),b2)＝1，
可得eq \f(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2),4b2)＋eq \f(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2),b2)＝0，
即eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,4b2)＋eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,b2)＝0，
即eq \f(－\f(32,17)（x1－x2）,4)＋eq \f(4,17)(y1－y2)＝0，从而kPQ＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2，所以直线l的方程为y－eq \f(2,17)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,17)))))，
即2x－y＋2＝0.
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＋2＝0，,\f(x2,4b2)＋\f(y2,b2)＝1))消去y，得17x2＋32x＋16－4b2＝0.
则Δ＝322＋16×17×(b2－4)>0⇔b>eq \f(2\r(17),17)，
x1＋x2＝－eq \f(32,17)，x1x2＝eq \f(16－4b2,17).
因为OP⊥OQ，eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(OQ,\s\up7(―→))＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，
5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0，
从而eq \f(5（16－4b2）,17)－eq \f(128,17)＋4＝0，解得b＝1，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
综上，直线l的方程为2x－y＋2＝0，
椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.