第1讲：选修4-42坐标系与参数方程

这是一份第1讲：选修4-42坐标系与参数方程，共8页。学案主要包含了解题思路等内容，欢迎下载使用。
考向预测
高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．
知识与技巧的梳理
1．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tan θ＝\f(y,x)（x≠0）.))
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程：
(1)直线过极点：θ＝α；
(2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcsθ＝a；
(3)直线过Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b，\f(π,2)))且平行于极轴：ρsinθ＝b．
3．圆的极坐标方程
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcsθ；
(3)当圆心位于Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r，\f(π,2)))，半径为r：ρ＝2rsinθ．
4．直线的参数方程
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)．
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段eq \(P0P,\s\up6(→))的数量．
5．圆、椭圆的参数方程
(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝x0＋rcs θ，,y＝y0＋rsin θ))(θ为参数，0≤θ≤2π)．
(2)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝acs θ，,y＝bsin θ))(θ为参数)．
热点题型
热点一 曲线的极坐标方程
【例1】(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝eq \f(π,4)(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解 (1)因为x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcs θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcs θ－4ρsin θ＋4＝0．
(2)将θ＝eq \f(π,4)代入ρ2－2ρcs θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2－3eq \r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq \r(2)，ρ2＝eq \r(2)．故ρ1－ρ2＝eq \r(2)，即|MN|＝eq \r(2)．
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为eq \f(1,2)．
探究提高 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝eq \f(y,x)(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧．
【训练1】(2017·北京东城区调研)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcs θ－eq \r(3)ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2csθ．
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；
(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两点间的距离．
解 (1)由C1：ρcs θ－eq \r(3)ρsin θ－1＝0，
∴x－eq \r(3)y－1＝0，表示一条直线．由C2：ρ＝2cs θ，得ρ2＝2ρcs θ．
∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1，
∴C2是圆心为(1，0)，半径r＝1的圆．
(2)由(1)知，点(1，0)在直线x－eq \r(3)y－1＝0上，因此直线C1过圆C2的圆心．
∴两交点A，B的连线段是圆C2的直径，
因此两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2．
热点二 参数方程及其应用
【例2】(2014·全国Ⅰ卷)已知曲线C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，直线l：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解 (1)曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝3sin θ))(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0．
(2)曲线C上任意一点P(2cs θ，3sin θ)到l的距离为d＝eq \f(\r(5),5)|4cs θ＋3sin θ－6|．
则|PA|＝eq \f(d,sin 30°)＝eq \f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝eq \f(4,3)．
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为eq \f(22\r(5),5)；
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为eq \f(2\r(5),5)．
探究提高 1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．
2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．
【训练2】(2017·郴州三模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝2＋2sin θ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|·|PN|的值．
解 (1)直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)，
消去参数t，得x＋y－1＝0．
曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝2＋2sin θ))(θ为参数)，
利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0．
令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ．
(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0)．
把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3eq \r(2)t＋1＝0，
∴t1＋t2＝3eq \r(2)，t1t2＝1．
由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．
（45分钟）
限时训练
经典常规题
1．(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcs θ＝4．
(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
2．(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为eq \r(17)，求a．
高频易错题
1．(2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs α，,y＝sin α))(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2eq \r(2)．
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
2．(2017·哈尔滨模拟)已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs θ，,y＝2sin θ))(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝4．
(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若射线θ＝eq \f(π,3)与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ＝eq \f(11π,6)与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积．
精准预测题
1．(2017·新乡三模)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cs θ，曲线M的直角坐标方程为x－2y＋2＝0(x>0)．
(1)以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程；
(2)设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和．
2．(2017·乐山二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs θ，,y＝tsin θ))(t为参数，0≤θ0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq \f(4,cs θ)．
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cs θ(ρ>0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cs α，于是△OAB的面积
S＝eq \f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cs α·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))－\f(\r(3),2)))≤2＋eq \r(3)．
当α＝－eq \f(π,12)时，S取得最大值2＋eq \r(3)．
所以△OAB面积的最大值为2＋eq \r(3)．
2．【解题思路】 (1)曲线C利用消参，直线l代入消元化为普通方程，联立即可．(2)利用点到直线距离公式，曲线C直接用参数方程，用三角函数求其最值．
【答案】解 (1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0．
曲线C的标准方程是eq \f(x2,9)＋y2＝1，
联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(21,25)，,y＝\f(24,25).))
则C与l交点坐标是(3，0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,25)，\f(24,25)))．
(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0．
设曲线C上点P(3cs θ，sin θ)．
则P到l距离d＝eq \f(|3cs θ＋4sin θ－4－a|,\r(17))＝eq \f(|5sin（θ＋φ）－4－a|,\r(17))，
其中tan φ＝eq \f(3,4)．
又点C到直线l距离的最大值为eq \r(17)．
∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17．
若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8．
若a0），,y＝kx))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,2k－1)，,y＝\f(2k,2k－1).))
故曲线M的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,2k－1)，,y＝\f(2k,2k－1)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k为参数，且k>\f(1,2)))．
(2)由ρ＝4cs θ，得ρ2＝4ρcs θ，∴x2＋y2＝4x．
将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,2k－1)，,y＝\f(2k,2k－1)))代入x2＋y2＝4x整理得k2－4k＋3＝0，
∴k1＋k2＝4．
故直线OA与直线OB的斜率之和为4．
2．【解题思路】 (1)利用点到直线的距离公式列方程可得．(2)联立直线的参数方程和圆的直角坐标方程可得t的一元二次方程，利用韦达定理求eq \f(1,|PA|)＋eq \f(1,|PB|)．
【答案】解 (1)由直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs θ，,y＝tsin θ))(t为参数，0≤θ