3.2 函数的基本性质-2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第一册）

3.2 函数的基本性质

1.判断函数的单调性；2.求函数的单调区间；3.用定义证明函数的单调性；4. 函数单调性的应用；5. 抽象函数单调性的判断与证明；6. 求函数的最值；7. 实际应用中的函数最值问题；8. 函数奇偶性的判断；9. 奇、偶函数图象的应用；10. 利用函数的奇偶性求解析式；11.函数的奇偶性与单调性综合问题

一、单选题

1．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（  ）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】

对于A，为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，为幂函数，其定义域为，是奇函数且在上为减函数，不符合题意；对于C，为反比例函数，为奇函数且在其定义域上不具备单调性，不符合题意；对于D，，其定义域为，有，为奇函数，且，在上为增函数，符合题意；故选D.

2．（2020·全国高一课时练习）函数的减区间是（    ）

A． B．

C．， D．

【答案】C

【解析】

由图象知单调减区间为，

点睛：

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接．

3．（2020·全国高一课时练习）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

由图可知，自左向右看图象是上升的是增函数，则函数的增区间是

故选：C

4．（2020·全国高一课时练习）高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；

再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.

5．（2020·全国高一课时练习）函数f(x)＝x(－1<x≤1)的奇偶性是（    ）

A．奇函数

B．偶函数

C．非奇非偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

【答案】C

【解析】

由题可知，函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数.

故选：C

6．（2020·全国高一课时练习）下列图像表示的函数中具有奇偶性的是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

选项A中的图象关于原点或轴均不对称，故排除；

选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；

选项B中的图象关于轴对称，其表示的函数是偶函数.

故选B.

7．（2020·上海高一课时练习）已知函数（其中p，q为常数）满足，则的值为（    ）

A．10 B． C． D．

【答案】C

【解析】

令，则为奇函数.

，即，，

.

故选：C

8．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数在区间上是增函数，则(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

函数为偶函数,则.

又函数在区间上是增函数.

则，即

故选：D.

9．（2019·湖南汨罗）函数是定义在上的奇函数，对任意两个正数都有，记则之间的大小关系为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

函数f（x）是定义在R上的奇函数，

且对任意两个正数x1，x2（x1＜x2），都有x2f（x1）＞x1f（x2），

即，

设g（x）= ，g（x）在（0，+∞）上是单调减函数；

又a= f（2）= ，

b=f（1）= ，

c=﹣f（﹣3）=f（3）=，

∴g（1）＞g（2）＞g（3），

即b＞a＞c．

故选：B．

10．（2019·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

是定义在上的奇函数,且当时,

当,有,

即

在上是单调递增函数,且满足

不等式在恒成立,

,恒成立

对恒成立

解得:

则实数的取值范围是:.

故选:A.

二、多选题

11．（2020·浙江高一单元测试）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（    ）

A．

B．若在上有最小值，则在上有最大值1

C．若在上为增函数，则在上为减函数

D．若时，，则时，

【答案】ABD

【解析】

由得，A正确；

当时，，则时，，，最大值为1，B正确；

若在上为增函数，则在上为增函数，C错；

若时，，则时，，，D正确．

故选：ABD．

12．（2020·山东文登 高一期末）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，若，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

因为是定义在上的奇函数，且为偶函数，

故可得，

则，故选项正确；

由上述推导可知，故错误；

又因为，故选项正确.

又因为，故错误.

故选：AD.

13．（2019·山东滨州�）如图所示是函数的图象,图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交,则以下描述正确的是(    )

A．函数的定义域为

B．函数的值域为

C．此函数在定义域内是增函数

D．对于任意的,都有唯一的自变量与之对应

【答案】BD

【解析】

对于A,由函数的图象可知,函数的定义域为,故A不正确;

对于B,由函数的图象可知,函数的值域为:,故B正确;

对于C,函数在是增函数,结合图象可知,此函数在定义域内不是增函数,故C错误;

对于D,由函数的图象可知,对于任意的,都有唯一的自变量与之对应,故D正确.

故选:BD.

14．（2019·安徽定远英华中学高一期末）符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数:，则下列命题正确的是（    ）

A． B．当时，

C．函数的定义域为，值域为 D．函数是增函数､奇函数

【答案】ABC

【解析】

对于A项，，则A正确；

对于B项，当时，，得出，则B正确；

对于C项，函数的定义域为，因为表示不超过的最大整数，所以，则C正确；

对于D项，，

，

函数既不是增函数也不是奇函数，则D错误；

故选：ABC

三、填空题

15．（2019·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）    设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.

【答案】

【解析】

因为函数f(x)＝为奇函数，

经检验符合题意.

故答案为.

16．（2020·全国高一课时练习）已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________．

【答案】

【解析】

因为是奇函数，且定义域为，

故当时，；

则当时，.

故答案为：.

17．（2020·全国高一课时练习）已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝________.

【答案】

【解析】

由题可知：a－1+2a=0，所以

又f(x)= f(-x)，所以，

所以，则

故答案为：

四、双空题

18．（2020·上海高一课时练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则_________；________．

【答案】       

【解析】

∵是奇函数，是偶函数，∴，.

则，即.

两式相减，解得；两式相加，解得，

故答案为：；.

19．（2019·北京市第十三中学高一期中）函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．

①当时，y的取值范围是______；

②如果对任意 (b <0)，都有，那么b的最大值是______．

【答案】       

【解析】

由图象可知，当时，函数在上的最小值，

 当时，函数在上的最小值，

 所以当，函数的值域为；

 当时，函数，当时，函数，

当时，或，

又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，

所以对于任意，要使得，则，或，

则实数的最大值是．

故答案为

20．（2020·金华市曙光学校高一月考）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，，则______；不等式的解集为______.

【答案】1       

【解析】

依题意,,解得:,故函数在上单调递增,

故等价于,解得:,不等式的解集为:

故答案为:1,

21．（2020·安达市第七中学高一月考）设函数，，则函数的最小值为______；若，使得成立，则实数的取值范围是_________.

【答案】2       

【解析】

因为函数，，

易得函数在为减函数，在为增函数，所以，

即函数的最小值为,

又，使得成立，则，即，

解得：或，即实数的取值范围是或，

故答案为(1). 2    (2).

五、解答题

22．（2020·全国高一课时练习）函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性.

【答案】单调增区间为：，；单调减区间为：，

【解析】

由图可知：该函数在区间单调递减，

在区间单调递增，在区间单调递减，

在区间单调递增.

故该函数的单调增区间为：，；

该函数的单调减区间为：，.

23．（2020·全国高一课时练习）求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数.

【答案】证明见详解.

【解析】

证明：在区间上任取，

则

因为，故可得；

又因为，故可得.

故，即.

故在区间上单调递增.

24．（2020·全国高一课时练习）设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围．

【答案】

【解析】

由是奇函数，且，得．

因为在上单调递减，且在上为奇函数，

所以在上单调递减，

则，解得，所以，故实数的取值范围为．

点睛：根据函数增减性和奇偶性求解不等式，可简记为去“”法，当奇函数在对应区间单调递增时，若，则；当奇函数在对应区间单调递减时，若，则

25．（2019·浙江湖州 高一期中）函数是定义在上的奇函数，当时，.

（1）设，，求函数的值域；

（2）当时，若，求实数的值.

【答案】（1）；（2）或或

【解析】

（1）设时，则，为奇函数，且时，，

，即.，

，

当时，得关于对称，在上递增，在递减，

，，得；当时，由奇函数关于原点对称，得.

的值域为；

（2）由（1）知，，时，，

i）当时，令，解得；

ii）当时，令=3，解得

综上：或或

26．（2019·云南弥勒市一中高一期末）已知函数是奇函数，且当时，，

（1）求函数的表达式

（2）求不等式的解集

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）根据题意，函数是奇函数，则，

当时，，则，

又由函数为奇函数，则，

则，

（2）根据题意，，

当时，，此时即，解可得，此时不等式的解集为，

当时，，成立；此时不等式的解集为，

当时，，此时即，解可得，此时不等式的解集为，

综合可得：不等式的解集或．

27．（2020·浙江高一课时练习）已知定义在上的函数满足：

①对任意，，；②当时，，且 ．

（1）试判断函数的奇偶性．

（2）判断函数在上的单调性．

（3）求函数在区间上的最大值．

（4）求不等式的解集．

【答案】（1）偶函数；（2）增函数；（3）2；（4）或.

【解析】

（1）令，则，得；再令，

则，得．

对于条件，令，则，

∴．又函数的定义域关于原点对称，

∴函数为偶函数．

（2）任取，，且，则有．

又∵当时，，∴．

而， 即，

∴函数在上是增函数．

（3）∵，且，∴．

又由（1）（2）知函数在区间上是偶函数且在上是增函数，

∴函数在区间上的最大值为．

（4）∵，，

∴原不等式等价于，

又函数为偶函数，且函数在上是增函数，

∴原不等式又等价于，即或，

得或，

得或，

∴不等式的解集为或．