4.4 对数函数-2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第一册）

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主要命题方向
1. 对数函数概念；2. 对数函数的定义域；3. 对数函数的图象；4. 对数函数性质及应用；5. 对数函数单调性的应用；6. 对数型复合函数的单调性；7. 对数型复合函数的值域；8. 对数型复合函数的奇偶性.
配套提升训练
一、单选题
1．（2019·浙江湖州�高一期中）下列各式中错误的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【解析】
A、∵y＝3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；
B、∵y＝lg0.5x，在上为减函数，∵0.4＜0.6，∴＞，故B正确；
C、∵y＝0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；
D、∵，在上为增函数，∵，∴，故D正确.
故选：C．
2．（2020·全国高三课时练习（理））“”是“函数为奇函数”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
时， ，当 时， ，函数为奇函数；当 时，，函数不是奇函数时， 不一定奇函数，当是奇函数时，由可得，所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件 ，故选B.
3．（2020·全国高三课时练习（理））设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“lga3A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
若3a>3b>3，则a>b>1，从而有lga3b>1，比如.a=13,b=3，从而3a>3b>3不成立.故选B.
4．（2020·全国高一课时练习）图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】A
【解析】
由已知中曲线是对数函数的图象，
由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，
由取，，，四个值，
故，，，的值依次为，，，，
故选：．
5．（2020·全国高一课时练习）设则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞b
C．b＞a＞cD．b＞c＞a
【答案】A
【解析】
，
.
故选：A.
6．（2020·武威第六中学高三其他（文））设函数，则满足的的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由题意，，
所以，
①当时，，即，
解得，所以；
②当时，，即，
解得，所以；
综上是，时的取值范围为.
故选：B
7．（2019·浙江高一期中）函数的单调递增区间是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增，
故选：A
8．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题意：，
且：，
据此：，
结合函数的单调性有：，
即.
本题选择C选项.
9．（2019·浙江高一期中）若，，，定义在上的奇函数满足:对任意的且都有，则的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
由题意，在上单调递减，
又，所以，
所以，故选B．
10．（2020·全国高一课时练习）函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：若函数在上为减函数,则，计算得出，所以B选项是正确的.
点睛：复合函数的单调性需遵循原则“同增异减”，即内层函数和外层函数单调性相异时，符合函数才会单减，作为对数的底，所以有，所以内层函数单减，所以外层函数必须单增，故，还需保证真数在定义域上恒大与，只需保证正数部分最小值大于即可.
二、多选题
11．（2020·浙江高一单元测试）已知，且，，若，则下列不等式可能正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】
∵，
∴若，则，即．
∴，故A正确．
，故D正确．
若，则，
∴，，故BC错误，
故选：AD
12．（2020·全国高一课时练习）函数在上是减函数，那么（ ）
A．在上递增且无最大值B．在上递减且无最小值
C．在定义域内是偶函数D．的图象关于直线对称
E.，满足在上是减函数
【答案】ADE
【解析】
由得，函数的定义域为.
设则在上为减函数，在上为增函数，
且的图象关于对称，所以的图象关于对称，D正确；
因为在上是减函数，所以，所以E正确；
由上述分析知在上递增且无最大值，A正确，B错误；
又，
所以C错误，
故选：ADE.
13．（2019·山东日照�高二期末）给出下列三个等式：，，，下列函数中至少满足一个等式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】
对A：，符合；
对B：，符合；
对C：不满足任何一个等式；
对D：，符合.
故选：ABD
14．（2019·江苏姑苏�苏州中学高一期中）对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．没有最小值
【答案】AD
【解析】
对A,B,因为,故,
又,故为偶函数.故A正确,B错误.
对C.因为.
当时,因为在为减函数,故为减函数,所以在区间为减函数.故C错误.
对D,因为当时, 为减函数.故且当时, .
故没有最小值.故D正确.
故选：AD
三、填空题
15．（2019·六盘水市第二中学高一期中（理））函数的定义域是__________．
【答案】
【解析】
由题意可得，即，解得且.
因此，函数的定义域是.
故答案为：.
16．（2020·安徽蚌埠�高三其他（文））已知函数，则_______.
【答案】
【解析】
．
故答案为：－1
17．（2020·湖南天心�长郡中学高三其他（文））设函数则满足的的取值范围是_______________.
【答案】
【解析】
时，，，，∴，
时，，，，所以，
综上，原不等式的解集为．
故答案为：．
四、双空题
18．（2019·浙江湖州�高一期中）函数的定义域为______，最小值为______.
【答案】
【解析】
由题意得，解得，所以函数的定义域为，
令，所以在递减，且.
因此函数的值域为，最小值为.
故答案为：；
19．（2020·上海高三专题练习）已知函数，若它的定义域为，则a_________，若它的值域为，则a__________．
【答案】
【解析】
函数的定义域为，则恒成立，故，
即；
函数为，则是函数值域的子集，
则，即.
故答案为：；.
20．（2020·上海高一课时练习）若，则的取值范围是___________；若，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
在定义域内是增函数
由，可得
解得：
，则的取值范围是：
在定义域内是减函数
由，可得
解得：
，则的取值范围是：
故答案为：；．
21．（2018·浙江嘉兴�高三月考）已知，则_________，若，则_________.
【答案】； 或.
【解析】
，
，
当时，若，则，求得；
当时，若，则，求得.
故答案为：；或.
五、解答题
22．（2020·全国高一课时练习）画出下列函数的图象：
（1）y＝lg|x－1|．（2）．
【答案】图象见解析
【解析】
（1）设，
所以是偶函数，图象关于轴对称，
图象是由向右平移个单位得到，
所以图象关于对称，
当时，，
图象是图象向右平移个单位得到，
再画出其关于对称部分，
即可得出图象，如下图所示：
（2）由函数，则满足，解得，即函数的定义为，
先画得对数函数的图象，将函数的图象向右平移1个单位，
得到函数，再将函数下方的图象关于轴对称，
即可得到函数的图象，如图所示：
23．（2020·全国高一课时练习）已知f(x)＝lg2(1－x)＋lg2(x＋3)，求f(x)的定义域、值城．
【答案】定义域为，值域为.
【解析】
由函数有意义得，解得，
所以函数的定义域为.
因为
，，
又因为在上递增，在上递减，所以，
所以.
所以函数的值域为.
24．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）已知
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证明；
(3)求使的的取值范围．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．
(2)f(－x)＝lga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．
(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得0若00，则0<<1，解得－1判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数） .
25.（2019·浙江高一期中）已知函数．
（Ⅰ）若，求函数的定义域和值域；
（Ⅱ）若函数的定义域为，值域为，求实数的值．
【答案】（Ⅰ）定义域为，值域为；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）若，则，由，得到
，得到，故定义域为．
令，则
当时，符合．
当时，上述方程要有解，则，得到或，
又，所以，
所以，则值域为．
（Ⅱ）由于函数的定义域为，则恒成立，则，即，令，由于的值域为，则，而
，则由解得 ，故和是方程即的两个根，则，得到，符合题意．所以．
26．（2020·开鲁县第一中学高二期末（文））设,且.
（1）求的值及的定义域；
（2）求在区间上的最大值．
【答案】（1），定义域为；（2）2
【解析】
（1）,解得.
故,
则,解得,
故的定义域为.
（2）函数,定义域为,,
由函数在上单调递增,函数在上单调递增,在上单调递减,可得函数在上单调递增,在上单调递减.
故在区间上的最大值为.
27．（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））已知函数.
(1)当时,求；
(2)求解关于的不等式；
(3)若恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）当时，
（2）由得：
或
当时，解不等式可得：或
当时，解不等式可得：或
综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为
（3）由得：
或
①当时，，
或，解得：
②当时，，
或，解得：
综上所述：的取值范围为