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试卷 第一章直角三角形边角关系（试题）
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这是一份试卷 第一章直角三角形边角关系（试题），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．计算：cs245°+sin245°＝（ ）
A．B．C．D．1
2．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为（ ）
A．sinA＝3sinA′ B．sinA＝sinA′ C．3sinA＝sinA′D．不能确定
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AC＝（ ）
A．6B．5C．4D．3
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）
A．B．﹣1C．2﹣D．
第8题
第6题
第4题
第7题
5．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2＝c2，那么下列结论正确的是（ ）
A．atanA＝bB．bcsB＝cC．csinA＝aD．ctanB＝b
6．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A．2B．C．D．
7．如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．2mB．2mC．4mD．m
8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，csA＝，BE＝4，则tan∠DBE的值是（ ）
A．B．C．2D．
9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab＝6，则图中大正方形的边长为（ ）
A．5B．C．4D．3
第9题
如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况， 把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（ ）
A．3m B．m C．mD．4m
第12题
第13题
第10题
二、填空题（每小题4分，共28分）
11． cs60°的值等于 .
12．如图，有两棵树，一棵高11米，另一棵高6米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米．
13．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为 ．
14．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进20m至B处，测得仰角为60°，那么塔高为 m．（小明身高忽略不计）
．第16题
第14题
第17题
15．等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于 ．
16．如图，在平地上种树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，如果在坡度为 的山坡上种树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离约为 ．
17．如图，甲、乙两楼之间的距离为30米，从甲楼测得乙楼顶仰角为α＝30°，观测乙楼的底部俯角为β＝45°，乙楼的高h＝ 米（结果保留整数≈1.7，≈1.4）．
三、解答题（每小题6分，共18分）
18．计算：3tan30°﹣2sin60°+cs245°．
19．如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.732
20．如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群．在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围10海里内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？
四、解答题（每小题8分，共24分）
21．如图，AB是郑州航空港区某建筑工地的斜坡，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为8cm，B、C在同一水平地面上．
（1）求斜坡AB的水平宽度BC；
（2）矩形DEFG为某种建筑材料的左视图，其中DE＝5m，EF＝4m，将建筑材料沿斜坡向上运送，当BF＝7m时，求点D离地面的高（≈1.414，≈1.732，≈2.236，结果精确到0.1m）
22．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为15m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．
（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度；
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
23．计算：在一次数学社团活动课上，同学们测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE＝30°，然后往塔的方向前进100米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE＝60°，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（保留根号）
五、解答题(每小题10分，共20分)
24．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°，
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到1千米）（参考数据：＝1.4，＝1.7）
25．如图．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH＝2CH．
（1）求证：AH•AB＝AC•BC；
（2）求sinB的值；
（3）如果CD＝，求BE的值．
参考答案
-5 D B D A C 6--10 B A C B B
12 .13 13.1:1.5 14. 15.15°或75° 16. 17.47
18.解：3tan30°﹣2sin60°+cs245°
＝3×﹣2×+（）2
＝﹣+
＝．
19.解：在Rt△CDE中，
∵sin∠C＝，cs∠C＝
∴DE＝sin30°×DC＝×14＝7（m），
CE＝cs30°×DC＝×14＝7≈12.124≈12.12，
∵四边形AFED是矩形，
∴EF＝AD＝6m，AF＝DE＝7m
在Rt△ABF中，
∵∠B＝45°
∴DE＝AF＝7m，
∴BC＝BF+EF+EC≈7+6+12.12＝25.12≈25.1（m）
答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．
20.解：作CD⊥AB于D，
根据题意，AB＝30×＝20（海里），∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，
在Rt△ACD中，AD＝＝CD，
在Rt△BCD中，BD＝＝CD，
∵AB＝AD﹣BD，
∴CD﹣CD＝20（海里），
解得：CD＝10＞10，
所以不可能．
21.解：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝8m，
∴BC＝2AC＝16m．
（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．如图所示：
∵∠DGH＝∠BSH，∠DHG＝∠BHS，
∴∠GDH＝∠SBH，
∴＝，
∵DG＝EF＝4m，
∴GH＝2m，
∴DH＝＝2，BH＝BF+FH＝7+（5﹣2）＝10m，
设HS＝xm，则BS＝2xm，
∴x2+（2x）2＝102，
∴x＝2m，
∴DS＝2+2＝4≈8.9m；
答：点D离地面的高约为8.9m．
22.解：（1）根据题意得∠ADB＝∠EAD＝45°，
在Rt△ABD中，∴∠BAD＝∠ADB＝45°，
∴BD＝AB＝15（米）
答：两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度为15米；
（2）延长DC交AE于点F，根据题意可知四边形ABDF是正方形，
∴AF＝BD＝DF＝15，
在Rt△AFC中，∵∠FAC＝30°，
∴CF＝AFtan∠CAF＝15tan30°＝5，
∵DF＝15，
∴CD＝15﹣5，
答：建筑物CD的高度为（15﹣5）米．
23.解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD．
∴∠CEF＝90°．
设CE＝x米，
∵在Rt△CEF中，tan∠CFE＝，
∴EF＝＝＝x，
∵在Rt△CEG中，tan∠CGE＝，
∴GE＝＝＝x．
∵FG＝EF﹣GE＝100，
∴x﹣x＝100，
解得x＝50．
∴CD＝CE+ED＝50+1.5（米）．
答：古塔CD的高度是（50+1.5）米．
24.解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△CDB中，∵∠B＝30°，BC＝80，
∴CD＝BC＝40（千米）
在Rt△CDA中，∵∠A＝45°
∴AC＝CD＝40≈56（千米）
∴AC+BC≈56+80
＝136（千米）
答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136千米．
（2）在Rt△CDB中，∵∠B＝30°，BC＝80，
∴BD＝cs30°×BC
＝40≈68（千米）
在Rt△CDB中，∵∠A＝45°
∴CD＝AD＝40（千米），
∴AB＝AD+DB
≈68+40
＝108（千米）
∴136﹣108
＝28（千米）
答：开通隧道后，汽车从A地到B地大约少走28千米．
25.解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝CD，
∴∠CAB＝∠ACH，
∵AE⊥CD，
∴∠ACB＝∠AHC＝90°，
∴△ABC∽△CAH，
∴，
∴AH•AB＝AC•BC；
（2）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
又∵∠ACB＝90°
∴∠BCD+∠ACH＝90°
∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，即∠B＝∠CAH，
∵AH＝2CH，
由勾股定理得AC＝CH，
∴CH：AC＝1：，
∴sinB＝；
（3）∵sinB＝，
∴AC：AB＝1：，
∴AC＝2．
∵∠CAH＝∠B，
∴sin∠CAH＝sinB＝＝，
设CE＝x（x＞0），则AE＝x，则x2+22＝（x）2，
∴CE＝x＝1，AC＝2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∵AB＝2CD＝2，
∴BC＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝3．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．计算：cs245°+sin245°＝（ ）
A．B．C．D．1
2．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为（ ）
A．sinA＝3sinA′ B．sinA＝sinA′ C．3sinA＝sinA′D．不能确定
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AC＝（ ）
A．6B．5C．4D．3
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）
A．B．﹣1C．2﹣D．
第8题
第6题
第4题
第7题
5．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2＝c2，那么下列结论正确的是（ ）
A．atanA＝bB．bcsB＝cC．csinA＝aD．ctanB＝b
6．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A．2B．C．D．
7．如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．2mB．2mC．4mD．m
8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，csA＝，BE＝4，则tan∠DBE的值是（ ）
A．B．C．2D．
9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab＝6，则图中大正方形的边长为（ ）
A．5B．C．4D．3
第9题
如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况， 把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（ ）
A．3m B．m C．mD．4m
第12题
第13题
第10题
二、填空题（每小题4分，共28分）
11． cs60°的值等于 .
12．如图，有两棵树，一棵高11米，另一棵高6米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米．
13．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为 ．
14．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进20m至B处，测得仰角为60°，那么塔高为 m．（小明身高忽略不计）
．第16题
第14题
第17题
15．等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于 ．
16．如图，在平地上种树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，如果在坡度为 的山坡上种树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离约为 ．
17．如图，甲、乙两楼之间的距离为30米，从甲楼测得乙楼顶仰角为α＝30°，观测乙楼的底部俯角为β＝45°，乙楼的高h＝ 米（结果保留整数≈1.7，≈1.4）．
三、解答题（每小题6分，共18分）
18．计算：3tan30°﹣2sin60°+cs245°．
19．如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.732
20．如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群．在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围10海里内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？
四、解答题（每小题8分，共24分）
21．如图，AB是郑州航空港区某建筑工地的斜坡，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为8cm，B、C在同一水平地面上．
（1）求斜坡AB的水平宽度BC；
（2）矩形DEFG为某种建筑材料的左视图，其中DE＝5m，EF＝4m，将建筑材料沿斜坡向上运送，当BF＝7m时，求点D离地面的高（≈1.414，≈1.732，≈2.236，结果精确到0.1m）
22．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为15m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．
（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度；
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
23．计算：在一次数学社团活动课上，同学们测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE＝30°，然后往塔的方向前进100米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE＝60°，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（保留根号）
五、解答题(每小题10分，共20分)
24．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°，
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到1千米）（参考数据：＝1.4，＝1.7）
25．如图．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH＝2CH．
（1）求证：AH•AB＝AC•BC；
（2）求sinB的值；
（3）如果CD＝，求BE的值．
参考答案
-5 D B D A C 6--10 B A C B B
12 .13 13.1:1.5 14. 15.15°或75° 16. 17.47
18.解：3tan30°﹣2sin60°+cs245°
＝3×﹣2×+（）2
＝﹣+
＝．
19.解：在Rt△CDE中，
∵sin∠C＝，cs∠C＝
∴DE＝sin30°×DC＝×14＝7（m），
CE＝cs30°×DC＝×14＝7≈12.124≈12.12，
∵四边形AFED是矩形，
∴EF＝AD＝6m，AF＝DE＝7m
在Rt△ABF中，
∵∠B＝45°
∴DE＝AF＝7m，
∴BC＝BF+EF+EC≈7+6+12.12＝25.12≈25.1（m）
答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．
20.解：作CD⊥AB于D，
根据题意，AB＝30×＝20（海里），∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，
在Rt△ACD中，AD＝＝CD，
在Rt△BCD中，BD＝＝CD，
∵AB＝AD﹣BD，
∴CD﹣CD＝20（海里），
解得：CD＝10＞10，
所以不可能．
21.解：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝8m，
∴BC＝2AC＝16m．
（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．如图所示：
∵∠DGH＝∠BSH，∠DHG＝∠BHS，
∴∠GDH＝∠SBH，
∴＝，
∵DG＝EF＝4m，
∴GH＝2m，
∴DH＝＝2，BH＝BF+FH＝7+（5﹣2）＝10m，
设HS＝xm，则BS＝2xm，
∴x2+（2x）2＝102，
∴x＝2m，
∴DS＝2+2＝4≈8.9m；
答：点D离地面的高约为8.9m．
22.解：（1）根据题意得∠ADB＝∠EAD＝45°，
在Rt△ABD中，∴∠BAD＝∠ADB＝45°，
∴BD＝AB＝15（米）
答：两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度为15米；
（2）延长DC交AE于点F，根据题意可知四边形ABDF是正方形，
∴AF＝BD＝DF＝15，
在Rt△AFC中，∵∠FAC＝30°，
∴CF＝AFtan∠CAF＝15tan30°＝5，
∵DF＝15，
∴CD＝15﹣5，
答：建筑物CD的高度为（15﹣5）米．
23.解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD．
∴∠CEF＝90°．
设CE＝x米，
∵在Rt△CEF中，tan∠CFE＝，
∴EF＝＝＝x，
∵在Rt△CEG中，tan∠CGE＝，
∴GE＝＝＝x．
∵FG＝EF﹣GE＝100，
∴x﹣x＝100，
解得x＝50．
∴CD＝CE+ED＝50+1.5（米）．
答：古塔CD的高度是（50+1.5）米．
24.解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△CDB中，∵∠B＝30°，BC＝80，
∴CD＝BC＝40（千米）
在Rt△CDA中，∵∠A＝45°
∴AC＝CD＝40≈56（千米）
∴AC+BC≈56+80
＝136（千米）
答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136千米．
（2）在Rt△CDB中，∵∠B＝30°，BC＝80，
∴BD＝cs30°×BC
＝40≈68（千米）
在Rt△CDB中，∵∠A＝45°
∴CD＝AD＝40（千米），
∴AB＝AD+DB
≈68+40
＝108（千米）
∴136﹣108
＝28（千米）
答：开通隧道后，汽车从A地到B地大约少走28千米．
25.解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝CD，
∴∠CAB＝∠ACH，
∵AE⊥CD，
∴∠ACB＝∠AHC＝90°，
∴△ABC∽△CAH，
∴，
∴AH•AB＝AC•BC；
（2）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
又∵∠ACB＝90°
∴∠BCD+∠ACH＝90°
∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，即∠B＝∠CAH，
∵AH＝2CH，
由勾股定理得AC＝CH，
∴CH：AC＝1：，
∴sinB＝；
（3）∵sinB＝，
∴AC：AB＝1：，
∴AC＝2．
∵∠CAH＝∠B，
∴sin∠CAH＝sinB＝＝，
设CE＝x（x＞0），则AE＝x，则x2+22＝（x）2，
∴CE＝x＝1，AC＝2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∵AB＝2CD＝2，
∴BC＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝3．
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