2020年全国卷Ⅲ 理 数 高考试题 （含答案）

这是一份2020年全国卷Ⅲ 理 数 高考试题 （含答案），共9页。试卷主要包含了已知向量a，b满足，，，则等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则中元素的个数为A．2 B．3 C．4 D．62．复数的虚部是A．  B． C． D．3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A． B．C． D．4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为A．60 B．63 C．66 D．695．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：交于D，E两点，若，则C的焦点坐标为A．  B． C． D．6．已知向量a，b满足，，，则A．  B． C． D．7．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=A． B． C． D．8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A． B． C． D．9．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=A．–2 B．–1 C．1 D．210．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+11．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=A．1 B．2 C．4 D．812．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足约束条件则的最大值为__________．14．的展开式中常数项是__________（用数字作答）．15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________．16．关于函数f（x）=有如下四个命题：①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．③f（x）的图像关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次锻炼人次 空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次≤400人次>400空气质量好  空气质量不好  附：K2=，P（K2≥k）0.050    0.010     0.001 k3.841    6.635     10.828  ． 19．（12分）如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．（1）证明：点在平面内；（2）若，，，求二面角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 21．（12分）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．（1）求；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设a，b，c∈R，，．（1）证明：；（2）用表示a，b，c的最大值，证明：≥．  2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案选择题答案一、选择题1．C 2．D 3．B 4．C5．B 6．D 7．A 8．C9．D 10．D 11．A 12．A非选择题答案二、填空题13．7 14．240  15．   16．②③三、解答题17．解：（1） 猜想 由已知可得，，…….因为，所以（2）由（1）得，所以.  ①从而.② 得，所以 18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为．（3）根据所给数据，可得列联表： 人次≤400人次>400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得．由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19．解：设，，，如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．（1）连结，则，，，，，，得．因此，即四点共面，所以点在平面内．（2）由已知得，，，，，，，．设为平面的法向量，则即可取．设为平面的法向量，则同理可取．因为，所以二面角的正弦值为．20．解：（1）由题设可得，得，所以的方程为.（2）设，根据对称性可设，由题意知，由已知可得，直线BP的方程为，所以，，因为，所以，将代入的方程，解得或.由直线BP的方程得或8.所以点的坐标分别为.，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.综上，的面积为.21．解：（1）．依题意得，即.故．（2）由（1）知，.令，解得或.与的情况为：x+0–0+因为，所以当时，只有大于1的零点.因为，所以当时，f（x）只有小于–1的零点．由题设可知，当时，只有两个零点和1.当时，只有两个零点–1和.当时，有三个等点x1，x2，x3，且，，．综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则所有零点的绝对值都不大于1.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]解：（1）因为t≠1，由得，所以C与y轴的交点为（0，12）；由得t=2，所以C与x轴的交点为．故．（2）由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为，将代入，得直线AB的极坐标方程．23．[选修4—5：不等式选讲]解：（1）由题设可知，a，b均不为零，所以.（2）不妨设max{a，b，c}=a，因为，所以a>0，b<0，c<0.由，可得，故，所以.