苏科版八年级下册11.1 反比例函数当堂达标检测题

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这是一份苏科版八年级下册11.1 反比例函数当堂达标检测题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
若函数y=kx的图象过点(1,−1)，则函数y=kx−2的图象不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
对于函数y=2x下列说法错误的是( )
A. 图象分布在一、三象限，关于原点中心对称
B. x>2时，0C. 图象分布在一、三象限，是轴对称图形
D. y值随x增大而减小
甲、乙、丙三人直立在相同大小的平板上，平板对水平地面的压强y(Pa)与平板面积x(m2)的关系分别如图中的y=k1x，y=k2x，y=k3x，则当平板面积增加量相同时，甲、乙、丙三人所站的平板对水平地面的压强变化的关系是( )
A. 甲压强增加量>乙压强增加量>丙压强增加量
B. 甲压强减少量>乙压强减少量>丙压强减少量
C. 乙压强减少量>甲压强减少量>丙压强减少量
D. 丙压强减少量>乙压强减少量>甲压强减少量
如图，点A(m,6)，B(n,1)在反比例函数y=kx的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，点E在CD上，CD=5，△ABE的面积为10，则点E的坐标是( )
A. (3,0)
B. (4,0)
C. (5,0)
D. (6,0)
已知双曲线y=kx经过点(m,n)，(n+1,m−1)，(m2−1,n2−1)，则k的值为( )
A. 0或3B. 0或−3C. −3D. 3
如图，在反比例函数y=kx(k>0)的图象上有点P 1， P 2， P 3，… ，P，它们的横坐标依次为1，2，3，…，10分别过这些点作x轴与y轴的垂线．图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S9，若S1+S2+S3+…+S9=9，则k=( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
如图，直线y=k和双曲线y=kx相交于点P，过点P作PA0垂直于x轴，垂足为A0，x轴上的点A0，A1，A2，…An的横坐标是连续整数，过点A1，A2，…An：分别作x轴的垂线，与双曲线y=kx(k>0)及直线y=k分别交于点B1，B2，…Bn和点C1，C2，…Cn，则AnBnCnBn的值为( )
A. 1n+1B. 1n−1C. 1nD. 1−1n
对于每个x，函数y是y1=2x，y2=x+2，y3=−32x+12 这三个函数中的最小值，则函数y的最大值是( )
A. 4B. 6C. 8D. 487
二、填空题
若反比例函数y=(2k–1)x3k2−2k−1的图象在二、四象限，则k=__________．
如图，正方形的中心在原点O，且一组对边与x轴平行．点P(−3a,a)是反比例函数y=kx的图象与正方形一边的交点．若图中阴影部分的面积为18，则k的值是________．
已知：y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x=1时，y=3；x=−1时，y=1，则x=−12时，y=______．
如图，在函数y=8x(x>0)的图象上有点P1，P2，P3，…，Pn，Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，…，Pn，Pn+1分别作x轴，y轴的垂线段，构成若干个矩形．将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则S1=________，Sn=__________(用含n的代数式表示)．

如图，四边形ABCO是平行四边形，OA=2，AB=5，点C在x轴的负半轴上，将□ABCO绕点A逆时针旋转得到□ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点D在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，则k的值为______．
如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1=k1x(x>0)及y2=k2x(x>0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1−k2=______．
如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(5,12)，且与边BC交于点D.若AB=BD，则点D的坐标为．
如图，在直角坐标系中有菱形OABC，A点的坐标为(10,0)，对角线OB、AC相交于点D，双曲线y=kx(x>0)经过点D，交BC的延长线于点E，且OB⋅AC=160，则点E的坐标为____．
如图，点A1，A2依次在y=93x(x>0)的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上．若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为______．
三、解答题
如图，在△ABC中，AB=BC，AB⊥x轴，垂足为A.反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点C，交AB于点D.已知AB=4，BC=52．
(1)若OA=4，求k的值；
(2)连接OC，若BD=BC，求OC的长．
如图所示，直线y1=14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2=kx(x>0)的图象交于点C，且AB=BC．
(1)求点C的坐标和反比例函数y2的解析式；
(2)点P在x轴上，反比例函数y2图象上存在点M，使得四边形BPCM为平行四边形，求▱BPCM的面积．
阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥2ab.当且仅当a=b时，“=”成立．
证明：∵(a-b)2≥0，∴a−2ab+b≥0．
∴a+b≥2ab.当且仅当a=b时，“=”成立．
举例应用：已知x>0，求函数y=x+2x的最小值．
解：y=x+2x≥2x⋅2x=22.当且仅当x=2x，即x=2时，“=”成立．
∴当x=2时，函数取得最小值，y最小=22．
问题解决：
(1)已知x>0，求函数y=32x+x6的最小值；
(2)求代数式m2+2m+5m+1(m>−1)的最小值．
如图，直线y=ax+2与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B(0,b).将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t(t>0)个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y=(x>0)的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．

(1)求a和b的值；
(2)求反比例函数的表达式及点C，D坐标；
(3)点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y=(x>0)的图象上的一个点，若△CMN是以NM为斜边的等腰直角三角形，此时点M的坐标．
数学课上，潘老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的高线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“垂美三角形”，这条边称为这个三角形的“垂美边”．
概念理解：
(1)如图①，已知∠A=90°，AB=AC，请证明等腰Rt△ABC一定是“垂美三角形”．

探索运用：
(2)已知等腰△ABC是“垂美三角形”，请求出顶角的度数．
能力提升：
(3)如图②，在直角坐标系中，点A为x轴正半轴上动点，在反比例函数y=3x的图象上是否存在点B，使△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均为“垂美边”，若存在，请求出点B的坐标．
【阅读理解】：
①对于任意正实数a、b，∵(a−b)2≥0，∴a−2ab+b≥0，∴≥2ab，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b ≥2ab(a、b均为正实数)中，若ab为定值p，则a+b≥2p，只有当a=b时，a+b有最小值．
根据上述内容，填空：若m>0，只有当m=_______时，m+4m有最小值，最小值为_____．
【探索应用】：
②如图，已知A(−2,0)，B(0,−3)，P为双曲线y=6x(x>0)上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D.求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
【实际应用】：
③已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共490元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低平均每千米的运输成本是多少元？
选做1.在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点(−2,−4)，(1,2)，(3,6)都是“理想点”，显然这样的“理想点”有有无数多个．
(1)求出函数y=x+2上的理想点
(2)若点M(3,a)是反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式;
(3)函数y=3mx−1(m为常数，m≠0)的图象上存在“理想点”吗⋅若存在，请求出“理想点”的坐标;若不存在，请说明理由．
选做2.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)和Q(x,y′)，给出如下定义：
如果y′=y (x≥0)−y (x<0)，那么称点Q为点P的“关联点”．
例如：点(5,6)的“关联点”为点(5,6)，点(−5,6)的“关联点”为点(−5,−6)．
(1)如果点A(3,−1)，B(−1,3)的“关联点”中有一个在函数y=3x的图象上，那么这个点是_____(填“点A”或“点B”)．
(2)如果点N*(m+1,2)是一次函数y=x+3图象上点N的“关联点”，求点N的坐标．
(3)如果点P在函数y=−x+4(−2答案和解析
B
解：∵函数y=kx的图象过点(1,−1)，
∴代入得：k=−1，
即y=kx−2=−x−2，
图象经过第一、三、四象限，不经第二象限，

2. D
解：A.∵2>0，∴它的图象分布在一、三象限，关于原点中心对称，正确；
B.∵x>2时，0C.∵图象分布在一、三象限，是轴对称图形，有两条对称轴，关于直线y=±x对称，正确，
D.∵在每个象限内y随着x的增大而减小，此选项错误．

3. D

解：根据反比例函数的性质可知，当x增加时，y减小，观察图像可知，丙压强减少量>乙压强减少量>甲压强减少量，

4. A
解：∵点A(m,6)，B(n,1)在反比例函数y=kx的图象上，
∴6m=n，
∵DC=5，
∴n−m=5，
解得：m=1，n=6，
∴A(1,6)，B(6,1)
把A(1,6)代入y=kx，
解得：k=6，
∴反比例函数表达式为y=6x．
设E(x,0)，则DE=x−1，CE=6−x，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
连接AE，BE，
则S△ABE=S四边形ABCD−S△ADE−S△BCE
=12(BC+AD)⋅DC−12DE⋅AD−12CE⋅BC
=12×(1+6)×5−12(x−1)×6−12(6−x)×1
=352−52x=10，
解得：x=3，
∴E(3,0)．

5. D
解：由题意：mn=(n+1)(m−1)mn=(m2−1)(n2−1)(n+1)(m−1)=(m2−1)(n2−1)，
由上可得：mn=mn+m−n−1，可得m−n=1．
由(n+1)(m−1)=(m2−1)(n2−1)，可得1=(m+1)(n−1)，即1=mn−m+n−1，
mn=1+1+m−n=1+1+1+1=3，
即k=mn=3．

6. C
解：当x=1时，P1的纵坐标为k，
当x=2时，P2的纵坐标k2，
当x=3时，P3的纵坐标k3，
当x=4时，P4的纵坐标k4，
当x=5时，P5的纵坐标k5，
…，
由反比例函数的几何意义可知：S1+S2+S3+…+S9=k[1−12+12+13−13+14−14+…+110−110]
=K·(1−110)=910K.
∵S1+S2+S3+…+S9=9，
∴910K=9．
解得：k=10．

7. C
解：∵A1，A2，…An为连续整数，
又∵直线y=k和双曲线y=kx相交于点P的横坐标为1，
∴从A0开始，为1，2，3…，n+1，代入y=kx，得yn=kn+1，
即AnBn=kn+1，CnBn=k−kn+1，AnBn÷CnBn=kn+1÷(k−kn+1)=1n．

8. B
解：分别联立y1、y2，y1、y3，y2、y3，可知y1、y2的交点A2,4;y1、y3的交点B247,487;y2、y3的交点C4,6，
∴当x⩽2时，y最小=4，
当2当247当x>4时，y最小>6，

9. 0
解：根据题意，3k2−2k−1=−1，2k−1<0，
解得k=0或k=23且k<12，
∴k=0．

10. −6

解：∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的14，
故正方形的面积为18×4=72．
设正方形的边长为b，则b2=72，
解得b=62，
∵正方形的中心在原点O，
∴直线AB的解析式为：x=−32，
如图：
∵点P(−3a,a)在直线AB上，
∴−3a=−32，解得a=2，
∴P−32,2，
∵点P在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，
∴k=−32×2=−6．

11. −32

解：∵，y1与x2成正比例，y2与x成反比例．
∴设y1=k1x2，y2=k2x
∴y=y1+y2=k1x2+k2x，
∴x=1时，y=3，可得：3=k1+k2；①
x=−1时，y=1，可得：1=k1+k2−1=k1−k2，②
由①和②联立解得k1=2，k2=1
∴y=2x2+1x
∴当x=−12时，y=−32，

12. 4;8n(n+1)
解：∵P1(2,82)，P2(4,84)，P3(6,86)，
∴S1=2×(82−84)=4，
S2=2×(84−86)
S3=2×(86−88)，
所以Sn=2×(82n−82(n+1)=8n−8n+1=8n(n+1)．

13. 934

解：如图所示：过点D作DM⊥x轴于点M，
由题意可得：∠BAO=∠OAF，AO=AF，AB//OC，
则∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF，
故∠AOF=60°=∠DOM，
∵OD=AD−OA=AB−OA=5−2=3，
∴MO=32，MD=332，
∴D(−32,−332)，
∴k=−32×(−332)=934．

14. 6

解：∵反比例函数y1=k1x(x>0)及y2=k2x(x>0)的图象均在第一象限内，
∴k1>0，k2>0．
∵AP⊥x轴，
∴S△OAP=12k1，S△OBP=12k2．
∴S△OAB=S△OAP−S△OBP=12(k1−k2)=3，
解得：k1−k2=6．

15. (8,152)
解：如图，连接AD并延长，交x轴于E，
由A(5,12)，可得AO=52+122=13，
∴BC=13，
∵AB//CE，AB=BD，
∴∠CED=∠BAD=∠ADB=∠CDE，
∴CD=CE，
∴AB+CE=BD+CD=13，即OC+CE=13，
∴OE=13，
∴E(13,0)，
由A(5,12)，E(13,0)，可得AE的解析式为y=−32x+392，
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(5,12)，
∴k=12×5=60，
∴反比例函数的解析式为y=60x，
解方程组y=−32x+392y=60x,
可得x=5y=12或x=8y=152,
∴点D的坐标为(8,152).

16. (4,8)
解：过点C作CF⊥x轴于点F，如下图所示：
∵OB⋅AC=160，A点的坐标为(10,0)，OA=AB=BC=OA=10，
∴OA⋅CF=12OB⋅AC═12×160=80，
∴CF=8，
在Rt△OCF中，
∵OC=10，CF=8，
∴OF=OC2−CF2=102−82=6，
∴C(6,8)，
∵点D是线段AC的中点，
∴D点坐标为(10+62,82)，即(8,4)，
∵双曲线y=kx(x>0)经过D点，
∴4=k8，即k=32，
∴双曲线的解析式为：y=32x(x>0)，
∵CF=8，
∴直线CB的解析式为y=8，
∴y=8y=32x
解得：x=4y=8，
∴E点坐标为(4,8)，

17. (62,0)

解：作A1C⊥OB1，垂足为C，
∵△A1OB1为等边三角形，
∴∠A1OB1=60°，
∴A1C=3OC，
设A1的坐标为(m,3m)，
∵点A1在y=93x(x>0)的图象上，
∴m⋅3m=93，解得m=3，
∴OC=3，
∴OB1=6，
作A2D⊥B1B2，垂足为D．
设B1D=a，
则OD=6+a，A2D=3a，
∴A2(6+a,3a)．
∵A2(6+a,3a)在反比例函数的图象上，
∴代入y=93x，得(6+a)⋅3a=93，
化简得a2+6a−9=0
解得：a=−3±32．
∵a>0，
∴a=−3+32．
∴B1B2=−6+62，
∴OB2=OB1+B1B2=62，
所以点B2的坐标为(62,0)．

18. 解：(1)作CE⊥AB，垂足为E，
∵AC=BC，AB=4，
∴AE=BE=2．
在Rt△BCE中，BC=52，BE=2，
∴CE=32，
∵OA=4，
∴C点的坐标为：(52,2)，
∵点C在y=kx的图象上，
∴k=5，
(2)设A点的坐标为(m,0)，
∵BD=BC=52，
∴AD=32，
∴D，C两点的坐标分别为：(m,32)，(m−32,2)．
∵点C，D都在y=kx的图象上，
∴32m=2(m−32)，
∴m=6，
∴C点的坐标为：(92,2)，
作CF⊥x轴，垂足为F，
∴OF=92，CF=2，
在Rt△OFC中，
OC2=OF2+CF2，
∴OC=972．

19. 解：(1)∵直线y1=14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A(−4,0)，B(0,1)，
过C作CD⊥x轴于D，
∵AB=BC，BO//CD，
∴点O是AD中点，BO是△ACD中位线，
∴CD=2OB，
∴D(4,0)，C(4,2)，
∵点C(4,2)反比例函数y2=kx(x>0)的图象上，
∴k=8，
∴反比例函数y2的解析式y2=8x；
(2)连结MP与BC交于G，
∵四边形BPCM为平行四边形，
∴G为BC、MP的中点，
由BG=CG，则G(2,32)，
设M(m,8m)，P(n,0)，
由MG=PG，
∴8m=3，m=83，n=43，即P(43,0)，
S△APC=12AP•CD=12×163×2=163，S△BPC= S△APC −S△APB= 83，
∴▱BPCM的面积=2 S△BPC=163．

20. 解：(1)∵x>0，
∴y=32x+x6≥232x⋅x6=1，当且仅当32x=x6时，即x=3时，“=”成立，
∴当x=3时，函数取得最小值，y最小=1；
(2)∵m>−1，
∴m2+2m+5m+1=(m+1)2+4m+1=(m+1)+4m+1≥2(m+1)⋅4m+1=4，
当且仅当m+1=4m+1时，即m=1时，“=”成立，
∴当m=1时，函数取得最小值，y最小=4．

21. 解：(1)将点A(1,0)代入y=ax+2，得0=a+2．
∴a=−2．
∴直线的解析式为y=−2x+2．
将x=0代入上式，得y=2．
∴b=2．
(2)由(1)知，b=2，∴B(0,2)，
由平移可得：点C(2,t)、D(1,2+t)．
将点C(2,t)、D(1,2+t)分别代入y=kx，得t=k22+t=k1
∴k=4t=2．
∴反比例函数的解析式为y=4x，点C(2,2)、点D(1,4)．
如图1，连接BC、AD．
∵B(0,2)、C(2,2)，
∴BC//x轴，BC=2．
∵A(1,0)、D(1,4)，
∴AD⊥x轴，AD=4．
∴BC⊥AD．
∴S四边形ABDC=12×BC×AD=12×2×4=4．
(3)①当∠NCM=90°、CM=CN时，
如图2，过点C作直线l//x轴，交y轴于点G.过点M作MF⊥直线l于点F，交x轴于点H.过点N作NE⊥直线l于点E．
设点N(m,0)(其中m>0)，则ON=m，CE=2−m．
∵∠MCN=90°，
∴∠MCF+∠NCE=90°．
∵NE⊥直线l于点E，
∴∠ENC+∠NCE=90°．
∴∠MCF=∠ENC．
又∵∠MFC=∠NEC=90°，CN=CM，
∴△NEC≌△CFM．
∴CF=EN=2，FM=CE=2−m．
∴FG=CG+CF=2+2=4．
∴xM=4．
将x=4代入y=4x，得y=1．
∴点M(4,1)。

22. (1)证明：如图，过点A作AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴D是BC中点，
∵∠BAC=90° ，
∴AD=12BC，
∴等腰Rt△ABC一定是“垂美”三角形；
(2)解：①如图，若AB=AC，BC是“垂美边”，
则AD=BD=DC，且AD⊥BC，
∴∠B=∠C=45°，
即∠BAC=90°；
②如图，若BA=BC，BC是“垂美边”，
则BC=2AD=AB，且AD⊥BC，
∴∠B=30°；
③如图，若CA=CB，BC是“垂美边”，
则BC=2AD=AC，且AD⊥BC，
∴∠ACD=30°
∴∠ACB=150°，
综上所述，顶角为30°，90°或150°；
(3)解：如图，作AD⊥OB，BE⊥OA，
∵OA，OB均为“垂美边”，
∴OA=2BE，OB=2AD，
∵12×OA×BE=12×OB×AD，
∴OA=OB，
结合(2)可知，△OAB一定是顶角为30°或150°的等腰三角形，
联立y=3xy=33x，
解得B1(3,1)，B2(−3,−1)．

23. ①2，4；
②解：设P(x,6x)，
则C(x,0)，D(0,6x)，CA=x+2，DB=6x+3，
∴S四边形ABCD=12CA×DB=12(x+2)×(6x+3)，
化简得：S四边形ABCD=32(x+4x)+6，
∵x>0，4x>0，
∴x+4x≥2x×4x=4，
只有当x=4x，即x=2时，等号成立，
∴S≥32×4+6=12，
∴S四边形ABCD有最小值12，
此时，P(2,3)，C(2,0)，D(0,3)，
∴AB=BC=CD=DA=13，
∴四边形ABCD是菱形；
③解：设该汽车平均每千米的运输成本为y，
根据题意可知y=490+1.6x+0.001x2x=490x+0.001x+1.6，
要想y最小，则490x+0.001x最小，
∵x>0，490x>0，
∴490x+0.001x≥20.001x×490x=1.4，
只有当0.001x=490x，即x=700时，等号成立，
∴y≥1.4+1.6=3，
∴当x=700时，汽车平均每千米的运输成本最低，最低平均每千米的运输成本是3元．

24. 选做1
解：(1)根据“理想点”，有2x=x+2，得x=2，y=4，
∴函数y=x+2上的理想点(2,4)
(2)∵点M(3,a)是反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)图象上的“理想点”，
∴a=6，
∵点M(3,6)在反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)图象上，
∴k=3×6=18，
∴反比例函数的解析式为y=18x．
(2)假设函数y=3mx−1(m为常数，m≠0)的图象上存在“理想点”(x,2x)，
则有3mx−1=2x，
整理得：(3m−2)x=1，
当3m−2≠0，即m≠23时，解得：x=13m−2，
当3m−2=0，即m=23时，x无解，
综上所述，当m≠23时，函数图象上存在“理想点”，为(13m−2,23m−2)；
当m=23时，函数图象上不存在“理想点”．
选做2、(1)点B；(2)N(−5,−2)；(3)−8⩽y′⩽4
解：(1)B；
(2)如果点N*(m+1,2)是一次函数y=x+3图象上，
点N(−1,2)的“关联点”(−1,−2)，
点N的坐标是(−1,−2)；
(3)如果点P在函数y=−x+4(−2当−2即y′的取值范围是−6当0≤x≤12，−8≤y≤4，此时“关联点”Q的纵坐标y′=y，
即y′的取值范围是−8≤y≤4，
所以−8≤y<4，
所以“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是−8≤y′<4