高三数学三角函数专题 方法20：利用三角函数值域求范围问题

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1．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由已知条件得出，利用正弦定理结合两角差的正弦公式得出，利用为锐角三角形，求出角的取值范围，再利用三角恒等变换思想化简所求代数式，利用正弦型函数的有界性可求得的取值范围.
【解析】
由于且，可得，
由正弦定理可得，即，
，，可得，，即，
为锐角三角形，可得，解得，
所以，，
，可得，，
所以，.
故选：B.
【小结】
解三角形的问题中，求解与三角形内角的代数式的取值范围问题时，一般利用三个内角之间的关系转化为以某角为自变量的三角函数来求解，同时不要忽略了对象角的取值范围的求解.
2．已知点分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由题意可用双曲线参数表示，由是锐角三角形，令结合余弦定理即得，进而可求离心率的取值范围.
【解析】
由题意知，若如下图示，则，，
∴，，
令，则有，
是锐角三角形，有，得
∴，而可知：的范围
故选：D
【小结】
利用双曲线参数表示三角形的三边，应用余弦定理结合锐角三角形中内角余弦值范围为，双曲线离心率求离心率范围.
3．已知中，角、、所对应的边分别为、、，且，若的面积为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由三角形的面积公式可得，由余弦定理可得，利用可求得，可得出，并求得，利用三角恒等变换思想得出，结合正弦函数的基本性质可求得结果.
【解析】
由三角形的面积公式可得，可得，
，由余弦定理可得，
由，可得，解得，，
，可得，则，
所以，，
，，则，
因此，，
故选：B.
【小结】
在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
二、解答题
4．在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.
【分析】
（1）选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得，根据三角形内角性质得出且，即可求出角的值；选择条件②，根据向量的数量积公式以及三角形的面积公式，化简得出，即可求出角的值；选择条件③，根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简的出，从而可求出角的值；
（2）根据题意，利用正弦定理边角互化得出，，再根据三角形面积公式化简得出，由为锐角三角形，求出角的范围，从而得出的面积的取值范围.
【解析】
解：（1）选①，
由正弦定理得：，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴；
选②，
∴，
∴，
∵，∴，则，
∴；
选③，
得，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴.
（2）已知为锐角三角形，且，
由正弦定理得：，
∴，，
∴，
∵为锐角三角形，
∴，
∴，∴.
【小结】
本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数量积的应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间内的最值从而求出三角形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力.
5．在锐角中，角所对的边分别是a，b，c，.
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知得，利用同角三角函数基本关系式可求，结合的范围可求的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用可求，由题意可求范围，进而利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．
【解析】
解：（1）∵，结合余弦定理，可得：
，∴，∴
又∵，∴
（2）因为，，所以，所以，
所以
∵是锐角三角形，所以，解得
∴,
∴
∴,
∴
综上，的取值范围是
【小结】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
6．某高档小区有一个池塘，其形状为直角，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．
（1）若在内部取一点P，建造APC连廊供居民观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长；
（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，建造连廊供居民观赏，如图②，使得为正三角形，求连廊长的最小值．
【答案】（1）百米；（2）百米．
【分析】
（1）先在三角形PBC中利用已知条件求出PC的长度，再在三角形PAC中利用余弦定理求出PA的长度，即可求解；
（2）设出等腰三角形的边长以及角CEF，则可求出CF的长度，进而可得AF的长度，再利用角的关系求出角ADF的大小，然后在三角形ADF中利用正弦定理化简出a的表达式，再利用三角函数的最值即可求出a的最小值，进而可以求解．
【解析】
解：（1）因为P是等腰三角形PBC的顶点，且，
又，所以，，又因为，所以，
则在三角形PAC中，由余弦定理可得：
，解得，
所以连廊百米；
（2）设正三角形DEF的边长为a，，
则，，且，所以，
在三角形ADF中，由正弦定理可得：
，即，
即，化简可得，
所以（其中为锐角，且），
即边长的最小值为百米，
所以三角形DEF连廊长的最小值为百米．
【点评】
在求三角形边长以及最值的问题时，常常设出角度，将长度表示成角度的三角函数，利用三角函数的值域求最值.
7．如图，在平面四边形中，，，，是等边三角形.
（1）求（用含的式子表示）﹔
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）在中，利用正弦定理即可求解.
（2）以点为坐标原点，为轴，过垂直与为轴，建立平面直角坐标系，过点作，垂足为，从而可得，根据三角函数的性质即可求解.
【解析】
（1）在中，，，，
所以,
由正弦定理可得,
即.
（2）由，是等边三角形，
所以，，由（1）知，
，
以点为坐标原点，为轴，过垂直与为轴，
建立平面直角坐标系，如图：


过点作，垂足为，
由题意可得,
所以，
，
所以，
由，，
所以，
所以，
所以
【小结】
解题的关键是建立坐标系，得出关系式，将问题转化，借助于三角函数进行求解，考查了运算能力、转化能力以及分析能力.
8．如图，在平面四边形中，，
（1）若，求
（2）若，求的最大值
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理可求的长.
（2）设，利用正弦定理和余弦定理可得关于的表达式，利用正弦型函数的性质可求其最大值.
【解析】
解：（1）因为，，
所以，
则，
在中，，，，
由正弦定理可得：，
则.
（2）设，则
在中，，，
由正弦定理可得，
则，
在中，，，，
由余弦定理可得：，
则
，
当即，
，
故的最大值为.
【小结】
解三角形中，注意三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理，知道两边及一边所对的角，可以用余弦定理，也可以用正弦定理（结合要求解的目标确定方法）.
9．在①，②，③的面积，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.(如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）
在三角形中，角所对的边分别是，且角为锐角.
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）若选①：利用同角三角函数关系和正弦定理可化简已知等式求得，进而得到；
若选②：利用正弦定理角化边求得，结合为锐角得到；
若选③：根据三角形面积公式和向量数量积定义可构造方程求得，进而得到；
（2）利用正弦定理将化为，利用两角和差正弦公式和辅助角公式化简可知，利用正弦型函数值域的求法可求得所求范围.
【解析】
（1）若选①：由得：
，
由正弦定理得：，即，，
又为锐角，.
若选②：由正弦定理得：，
，，，
又为锐角，.
若选③：，又，
，
为锐角，，，.
（2）由正弦定理得：，
，
，
，
，，，，
即的取值范围为.
【小结】
解三角形问题中，求解边长之和的范围类问题的基本思路是利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式将问题转化为三角函数值域的求解问题，利用三角函数值域的求解方法求得范围.
10．已知向量，，，其中A是的内角.
（1）求角A的大小；
（2）若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由和三角恒等变换可得答案；
（2）由和可得，然后由正弦定理可得，然后利用三角函数的知识可得答案.
【解析】
（1）因为，
即有，（），，（），
又A为的内角，所以；
（2）由，得为钝角，从而
由正弦定理，得
所以，，
则
又，所以，
则
11．在中，角、、的对边分别为、、.已知.
（1）若，求.
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
(1)已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，根据不为0求出的值，即可确定出A的度数；
(2)由第一问得到，代入原式，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据题意求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出范围.
【解析】
（1）由正弦定理得，
，
，
即，
，
，，
，；
（2）由（1）得，
，
又，
，，
，，
，，
则的取值范围.
【小结】
此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
12．已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据诱导公式、同角三角函数平方关系和正弦定理边化角，可整理已知等式求得，进而得到结果；
（2）利用正弦定理、两角和差正弦公式和辅助角公式可将转化为，由正弦型函数值域的求解方法可求得结果.
【解析】
（1）由题意得：，
，
由正弦定理得：，，
，.
（2）由正弦定理得：，,
,
，,
.
为锐角三角形，，即，解得：，
，，，
即的取值范围为.
【小结】
解三角形问题中，已知一边及其所对角，求解与另外两边长有关的取值范围问题的常用方法是利用正弦定理将边化角，将问题转化为正弦型函数值域的求解问题.
13．的内角，，对应边分别为，，，且．
（1）求的大小；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，利用余弦定理化简得，再结合余弦定理，即可求解；
（2）由（1）和为锐角三角形， 求得，利用三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【解析】
（1）因为，由余弦定理，可得，
整理得，又由，
因为，所以.
（2）因为为锐角三角形， 可得，，
因为，所以，可得，
又由
，
因为，可得，
所以的取值范围为.
【小结】
对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，结合正、余弦定理求解.
14．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用同角三角函数的基本关系及正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，再根据三角函数的性质计算可得；
【解析】
解：（1）由题意知，
即.
由正弦定理，可得.
则由余弦定理，可得.
又因为，所以.
（2）由正弦定理，，
所以，.
则的周长
.
因为，所以，所以，
所以，
所以周长的取值范围是.
【小结】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
15．在锐角中，内角所对的边分别为，已知的面积.
（1）求；
（2）作角的平分线交边于点，记和的面积分别为，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由结合整理可得，问题得解；
（2）整理可得，结合正弦定理得，由锐角三角形问题得解.
【解析】
（1），整理得，
因此，又，所以；
（2），
由正弦定理得：，
因为，，
所以.
【小结】
本题主要考查了三角形面积公式及正、余弦定理，关键点是利用已知和余弦定理得到，考查方程思想及转化思想，考查计算能力，属于基础题．
16．已知函数
（1）求函数的单调递增区间
（2）若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先利用三角恒等变换公式化简解析式得到，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果；
（2）由（1）先求出，由正弦定理得：，再根据锐角三角形求出B的取值范围，进而求出c的取值范围，从而得到面积的取值范围.
【解析】
（1）
由
解得：，
故函数的单调递增区间为．
（2），，
又，，，又，
在中，由正弦定理得：，得
又为锐角三角形，且，故，解得
，即
面积S的取值范围是：
【小结】
本题考查利用正弦定理求三角形边长范围的最值，解本题时要注意的事项：求角的范围时，是在为锐角三角形的前提下，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.
17．已知中，内角、、所对的边分别为、、，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若边长，求的周长最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理边角互化可得出，利用余弦定理求出的值，再结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用正弦定理结合三角函数可得，由可得，结合正弦函数的基本性质可求得的周长最大值.
【解析】
（1），根据正弦定理得，，
即，由余弦定理得.
又，所以；
（2），，，由正弦定理得，
可得：，，
，
由可得，可得.
.
因此，的周长的最大值为.
【小结】
1.解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”；
2.求三角形周长的最值也是解三角形中一种常见类型的问题，主要方法有两类：
（1）找到边与边的关系，利用余弦定理列等式，结合基本不等式求最值；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角为自变量的三角函数，利用函数思想的求最值.
18．的内角、、所对的边分别为、、，面积为.设.
（1）求角的大小；
（2）设，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用余弦定理结合三角形的面积公式可求得的值，结合可求得角的值；
（2）由正弦定理得出，，利用三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想得出，求出角的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得的取值范围.
【解析】
（1）由余弦定理得，
由，可得，所以.
因为，所以；
（2）由正弦定理得，，，
因此
.
因为，所以，所以，所以，
所以.
因此，的取值范围是.
【小结】
解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
19．从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知的内角，，的对边分别为，，，且______，求的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【分析】
分别选①②③，由正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，进而得到，化简，结合三角函数的性质，即可求解.
【解析】
若选①，因为，
由正弦定理得，
整理得，可得，
又由，则有，
又因为，所以，所以.
所以
，
因为，可得，
所以当时，有最大值.
若选②，因为，
由正弦定理知，
整理得，即.
又因为，可得，所以，即，
所以，
所以
，
因为，可得，
所以当时，有最大值.
若选③，因为，
由正弦定理知，∴.
由余弦定理知，
因为，所以，所以，
所以
，
因为，可得，
所以当时，有最大值.
【小结】
解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.
20．已知在中，.
（1）求角的大小；
（2）若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为4，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为.
【分析】
（1）先用三角形内角和定理､诱导公式､同角三角函数的基本关系化简已知等式，得到关于的方程，解方程可得的值，再结合角的范围即可求出角；
（2）由的外接圆半径为4，利用正弦定理求出，根据三角形内角和为，，得，则，可求出，设，在中根据正弦定理将边用表示，可得周长的表达式，根据三角函数的有界性可求得周长的最大值.
【解析】
解：（1）∵，∴，∴，
又，
∴，
即，解得.
又，∴.
（2）∵的外接圆半径为4，所以由正弦定理得
∵，∴，，
又与的内角平分线交于点，∴.
∴
设，则，，
在中，由正弦定理得，
得，，
∴的周长为.
∵，∴，
∴当，即时，的周长取得最大值，为，
∴周长的最大值为.
【小结】
结论小结：解决解三角形问题的关键是灵活运用正弦定理､余弦定理求边和角，如果给出的等式中既有边又有角，则可考虑利用正弦定理将已知等式转化为关于边或关于角的关系式进行求解，若给出的等式是关于边的二次式，则一般需利用余弦定理求解.
21．已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，，.
（1）求外接圆的半径；
（2）求周长的取值范围.
【答案】（1）2；（2）.
【分析】
（1）由，利用正弦定理、和差公式可得，再利用正弦定理即可得出外接圆的半径．
（2）由，可得：，．可得．，利用和差公式、三角函数的单调性即可得出．
【解析】
（1）因为
所以
所以
所以
又因为
所以
又
所以
又因为
所以
又因为
所以外接圆半径
（2）据题设知，
所以，
又，
所以
因为是锐角三角形，且
所以
解得
所以
所以
即周长的取值范围是
【小结】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
22．已知a，b，c是的内角A，B，C的对边，且的面积.
（1）记，，若.
（i）求角C，
（ii）求的值；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；或.（2）
【分析】
（1）（i）由，利用向量共线的坐标运算可得，再利用正弦定理边化角得，借助 ，即可求得角C
（ii）由，得，由余弦定理得： ，两边同除以可得，，解方程即可求解.
（2）由，得，由余弦定理得： ，两边同除以可得，，分离取值范围已知的量：
由，则，即，解不等式即可得到答案.
【解析】
（1）（i），，，
，即
利用正弦定理得：，
即，化简得
又，，
又，
（ii）由，得，即，化简得
由余弦定理得：，
即，两边同除以可得，
令，得，解得
所以的值为或
（2）由，得，即
由余弦定理得：，
即，两边同除以可得，
令，得， 即
由，则，即，
解不等式得：
所以的取值范围为：
【小结】
在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
23．近年来国家大力加强生态环境保护，某山区违建拆除以后，当地政府为了警示教育后人，决定在一处空地上建立一个如图所示的综合教育基地，其中ABC为正三角形，在ACD中，DC＝2百米，DA＝1百米，建成后BCD将作为人们观看警示教育区域，ABD作为环境保护知识普及学习区域．
（1）当∠ADC＝时，求环境保护知识普及学习区域的面积(单位：百米)；
（2）设∠ADC＝θ，则当θ多大时，观看警示教育区域的面积(单位：百米)最大．
【答案】（1）百米2；（2）．
【分析】
（1）求出百米，百米，即得环境保护知识普及学习区域的面积；
（2）设，求出，再求出，即得解.
【解析】
（1）在中，，
所以百米，
所以，所以，从而，
因为为正三角形，所以百米，
百米2，
（2）设，则在中，由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为为正三角形，所以，又百米，
所以
，
所以当即时，取得最大值百米2，
综上可得，当观看警示教育区域的面积最大.
【小结】
关键小结：解答本题的关键是求出的函数解析式，其中用到了正弦定理和余弦定理求三角函数.遇到解三角形的问题，要熟练运用正弦定理余弦定理完成解题目标.
24．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理即可求解.
（2）利用正弦定理可得，再根据两角差的正弦公式以及辅助角公式即可求解.
【解析】
（1）由三角形面积公式得：
（2）在中，由正弦定理得，又，
所以，，
故，
因为故，所以，，
故的取值范围是.
25．在中，角所过的边分别为，且，．
（1）求面积的最大值；
（2）若为锐角三角形，求周长的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据条件利用余弦定理求出，再由基本不等式求出，即可求出面积最大值；
（2）由正弦定理可得，根据三角函数的性质可求出取值范围.
【解析】
解（1），
，
，即，，
，
当且仅当时等号成立，，
，即，；
（3）由正弦定理可知，
，
为锐角三角形，且，
，
，即的取值范围为.
【小结】
关键小结：第一问关键是利用基本不等式求出；第二问需要利用正弦定理化边为角得到，再结合三角函数性质求解.
26．设函数.
（1）求的最小正周期和值域；
（2）在锐角中，设角，，的对边长分别为，，．若，，求周长的取值范围．
【答案】（1）；；（2）.
【分析】
（1）根据二倍角公式和两角和的余弦公式化简得，再根据周期公式可得周期，根据余弦函数的值域可得值域；
（2）由，得，根据正弦定理将用表示，用两角和的正弦公式将周长表示为的三角函数，利用锐角三角形求出的范围，利用三角函数的图象求出周长的取值范围.
【解析】
（1）因为
所以的最小正周期为.
因为，
所以.
所以，函数的值域为.
（2）由，得.
因为为锐角，所以，所以，即.
因为，所以.
由正弦定理，得，，
所以
.
因为为锐角三角形，所以，，
即，解得.
所以，所以，即.
所以周长的取值范围为区间.
【小结】
利用正弦定理将边化角，利用三角函数的图象求取值范围是解题关键，属于中档题.
27．设的内角的对边分别为，已知且，.
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由向量垂直有，结合其坐标表示可得，应用余弦定理即可求角；
（2）应用正弦定理有，进而得到，根据三角形内角和性质及周长公式即可求周长的取值范围.
【解析】
(1)∵，
∴
∴，即，
∴.
∵B∈(0,π)，
∴.
（2）由正弦定理，得，又因为
所以
又因为，所以
所以
所以△ABC周长的取值范围
【小结】
本题综合考查了向量垂直的坐标表示、正余弦定理的应用，注意观察正弦定理中边角互化、余弦公式形式的辨析，以及应用三角恒等变换化简三角函数式并结合三角形的内角性质求周长范围.
28．在中，，，分别是角，，所对的边，已知，，且.
（1）求角的大小；
（2）求周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由题意得出，从而求得的值；
（1）由正弦定理表示出，，利用三角恒等变换与三角形内角和定理，即可求出的取值范围．
【解析】
解：（1）由，，且，
得，
；
又，
；
（2）由（1）知，，则，
，，，；
，
又，，
，，
，
周长的取值范围．
【小结】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.