高三数学三角函数专题 方法9：利用三角函数的性质求参数值

这是一份高三数学三角函数专题 方法9：利用三角函数的性质求参数值，文件包含方法9利用三角函数的性质求参数值原卷版docx、方法9利用三角函数的性质求参数值解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。

方法9 利用三角函数的性质求参数值
一、单选题
1．若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由计算出的取值范围，可得出，再由函数在区间上单调递减可得出关于的等式，由此可解得实数的值.
【解析】
，当时，，
由于函数在区间上单调递增，则，
所以，，
由于函数在区间上单调递减，所以，函数在处取得最大值，
则，又，所以，，解得.
故选：C.
【小结】
本题通过正弦型函数在区间上的单调性求参数值，解题的就是将函数在区间上的单调性转化为两个区间的包含关系，并且分析出函数的一个最大值点，进而列出关于的等式求解.
2．已知函数的最小正周期为，若，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由三角恒等变换化简解析式，结合周期求出解析式，由得出，，从而结合求出且，再由余弦函数的性质得出的最大值、的最小值，从而得出的最大值.
【解析】
函数的最小正周期为

若，则

故且
故的最大值为，的最小值为
即的最大值为，的最小值为
则的最大值为
故选：C．
3．已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意做出函数在定义域内的图像，将函数零点转化成函数与函数图像交点问题，结合图形即可求解.
【解析】
解：根据题意画出函数的图象，如图所示：

函数有三个零点，等价于函数与函数有三个交点，
当直线位于直线与直线之间时，符合题意，
由图象可知：，，
所以，
故选：D.
【小结】
根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
4．如果函数的图象关于直线对称，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用余弦函数的对称轴以及整体思想可得：的表达式，进而得到的最小值．
【解析】
由题意函数的图象关于直线对称，
则有
解得 ＝kπ，k∈Z，
所以由此得|min．
故选：A．
【小结】
求正余弦函数的对称轴及对称中心一般利用整体思想求解
5．已知函数（）的图象与直线的相邻两个交点距离等于，则的图象的一条对称轴是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
首先化简函数，根据条件确定函数的周期，求，再求函数的对称轴.
【解析】
，
，由题意可知，，
，
令，解得：，
当时，.
故选：D
6．已知函数在内有且仅有1个最大值点和3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先用辅助角公式整理得到，利用的范围，求出的范围，利用已知条件列出方程组即可求出的取值范围.
【解析】
，
，
，
则的取值范围是.
故选：B.
7．、是函数的图象与轴的两个交点，且、两点间距离的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据已知条件求出函数的最小正周期，进而可得出，即可得解.
【解析】
由题意可知，函数的最小正周期满足，，因此，.
故选：B.
8．已知两点，是函数与轴的两个交点，且两点A，B间距离的最小值为，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
由已知得，解之可得选项．
【解析】
设函数的最小正周期为T，则由已知得，解得，
故选：B．
9．将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，通过平移求出平移后的函数的解析式，利用偶函数求出的值．
【解析】
函数，
将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，
因为函数是偶函数，
．
当时，．
故选：A
【小结】
结论小结：函数是偶函数时，当函数是奇函数时，
10．若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点成中心对称，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知条件求得函数的最小正周期，可求得的值，再由已知可得，结合可求得的值.
【解析】
由题意可知，函数的最小正周期满足，，，
，
由于函数的图象关于点成中心对称，则，解得，
由于，解得.
故选：A.
【小结】
结论小结：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行：
（1）函数关于直线对称；
（2）函数关于点对称.
11．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，若函数在上单调递减，则正数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】
先根据图象变换得到的解析式，根据可得此函数单调减区间的一般形式，根据其在上的单调性可求正数的范围，故可得正确的选项.
【解析】
，故，
令，故，
故存在，使得，
故即，解得，故正数的最大值为.
故选：A.
【小结】
含参数的正弦型函数，若已知其在某区间上的单调性，求参数的取值范围时，一般先求出单调区间的一般形式，再根据包含关系可求参数的取值范围.
12．已知函数在区间有三个零点、、，且，若，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用正弦函数的对称性可得出，，再由可得出的值，由此可求得函数的最小正周期.
【解析】
当时，，
函数的对称轴方程为，
令，可得，因为，可得或.
由于函数在区间有三个零点、、，且，
由对称性可得、满足，可得，
由对称性可得、满足，可得，
所以，，解得，
因此，函数的最小正周期为.
故选：C.
【小结】
本题考查正弦型函数周期的求解，解题的关键利用对称性得出，，再结合已知条件求出的值，即可得解.
13．已知函数，，为图象的一个对称中心．现给出以下四种说法：①；②；③函数在区间上单调递增；④函数的最小正周期为．则上述说法正确的序号为（ ）
A．①④ B．③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【分析】
根据，代入数据，结合的范围，即可求得的值，即可判断①的正误；根据对称中心为，代入公式，可解得的表达式，结合的范围，即可判断②的正误；根据解析式，结合x的范围，即可验证③的正误；根据正切函数的周期公式，即可判断④的正误，即可得答案.
【解析】
对于①：由知，即，结合，解得．故①正确；
对于②：因为为图象的一个对称中心，故，解得，因为，所以，故②错误；
对于③：当时，，故函数在区间上单调递增，故③正确；
对于④：因为，所以的最小正周期，故④正确．
综上，正确的序号为①③④．
故选：D．
14．已知函数（，）的图象与轴的两个交点的最短距离为.若将函数的图象向左平移个单位长度，得到的新函数图象关于中心对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得的可能取值．
【解析】
设函数，与轴的两个交点坐标为，
，，不妨设，
当时，，
若将函数的图象向左平移个单位，得到的图象．
得到的新函数图象关于中心对称，，，
则可以等于，
故选：D．
15．若、是小于180的正整数，且满足.则满足条件的数对共有（ ）
A．2对 B．6对 C．8对 D．12对
【答案】A
【分析】
根据、是小于180的正整数，确定，，结合正弦函数图像，分和两种情况讨论即可.
【解析】
解：、，所以，，结合观察正弦函数的图像，
满足的只可能以下两种情况：
（1）时，
或，
所以或.
（2）时，同样有，此时，但，
则，所以此时没有满足题意的整数对；
综合（1）（2），满足题意的有2对.
故选：A
【小结】
思路小结：一般情况下，满足的有无数对，由于本题的特殊性，，这是本题的难点.
16．已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（ ）
A．， B．，
C． D．3
【答案】C
【分析】
由题意知，当时，函数取得最大值，可求得，.再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项.
【解析】
由题意知，当时，函数取得最大值，所以，.得，.
因为在区间上递增，在上递减，所以且，
解得.因此.
故选：C.
17．已知，是函数（，）相邻的两个零点，若函数在上的最大值为1，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先利用三角函数的性质得到，再根据已知零点得到，然后根据三角函数的性质得到关于的不等式，求解即可得到结果．
【解析】
设函数的最小正周期为，由题意可得，则，所以，
所以，则．令，则，，即，
又，所以，所以．
因为函数在上的最大值为1，且，如图.
当时，，所以，
所以．
故选：C

【小结】
关键小结：本题考查根据正弦型函数的最大值求参数，解答本题的关键是，是函数的两个相邻的零点求出，再作出函数的图象，根据图象分析定义域的区间，属于中档题.
18．已知函数是定义在上的奇函数，则的一个可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由条件可得，然后可得答案.
【解析】
因为函数是定义在上的奇函数，所以
所以，即
故选：B
19．已知函数的图象既关于点中心对称，又关于直线对称，且函数在上的零点不超过2个，现有如下三个数据：①；②；③，则其中符合条件的数据个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
根据对称中心和对称轴可求出 的集合，再根据的范围和零点的个数，可确定满足条件的的值，最后选择符合条件的的个数.
【解析】
由题意得，，，两式相加得，
又因为，代入中，
得.当时，记，
令，得，
则，至多有2个实数根，
，解得，
结合，
观察可知，符合条件.
故选：B.
【小结】
三角函数的对称中心为，则.
三角函数的对称轴为，则.
20．已知点在函数（且，）的图象上，直线是函数的图象的一条对称轴．若在区间内单调，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据函数的对称轴、对称中心及单调区间确定函数周期的范围，从而得出的取值范围，得出的所有取值，然后一一验证即可.
【解析】
由题意得，，得，得，又因为在区间内单调，所以，得，得．所以．又因为，所以或3．
当时，，得，又，所以，此时直线的函数的图象的一条对称轴，且在区间内单调．所以．
当时，，得，又，所以，
此时，所以直线不是函数的图象的一条对称轴．所以，．
故选：B．
【小结】
考查根据三角函数的图像性质问题求参，难度较大，解答时要注意以下几点：
（1）三角函数图象上，对称中心与对称轴之间的距离大于或等于周期；
（2）若函数或在区间上单调，则.
21．将函数向左至少平移多少个单位，使得到的图像关于轴对称（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设函数向左平移个单位，得，根据计算出最小正数即可.
【解析】
解：设函数向左平移个单位，
得，
因为其关于轴对称，
则，
解得，
当时，取最小正数.
即将函数向左至少平移个单位，使得到的图像关于轴对称.
故选：B.
【小结】
本题考查三角函数的性质及函数图像的平移，是基础题.
22．已知函数，将的图象向左平移a（）个单位长度可以得到一个奇函数的图象，将的图象向右平移b（）个单位长度可以得到一个偶函数的图象，则的最小值等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】
先整理函数，再根据平移后函数的奇偶性得到a,b的值，即可得结果.
【解析】
解：函数，
函数的图象向左平移a个单位得到，又因为函数为奇函数，则（），整理得（）；
函数的图象向右平移b个单位得到，由于得到的函数的图象为偶函数，，；
当时，
故选：A.
【小结】
本题考查了三角函数的平移变换和奇偶性，属于中档题.

二、多选题
23．将函数的图象向右平移个单位长度，所得的图象经过点，且在上为增函数，则取值可能为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】ABD
【分析】
由图象向右平移个单位长度可得，由图象经过点可得，即得，再由在上为增函数，可得，即可求解.
【解析】
将函数的图象向右平移个单位长度可得：
因为所得的图象经过点，所以即，
所以，解得，
因为在上为增函数，所以 即，
所以时，；时，；时，；
所以取值可能为，
故选：ABD
【小结】
本题的解题关键在于整体代入法的灵活应用，涉及零点的整体代入和单调区间的整体代入才能突破难点.
24．已知函数的图像的一个对称中心为，其中，则以下结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．将函数的图像向左平移所得图像关于原点对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数在区间上有6个零点
【答案】AC
【分析】
根据条件求出，然后利用三角函数的图像和性质逐一判断即可.
【解析】
由函数的图像的一个对称中心为，得，
因为，所以，，则
所以周期，故A正确；
将函数的图像向左平移，得，
显然的图像不关于原点对称，故B错误；
当时，，所以在区间上单调递增，故C正确
由，得，解得由，，得，
因为，所以，所以函数在区间上有7个零点，故D错误
故选：AC
25．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在单调递增 D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】
由正弦函数的周期公式可判断A；代入得函数有最小值，可判断B；由得，可判断C；根据三角恒等变换可判断D.
【解析】
∵的周期为，故A正确；
∵时，，此时有最小值，图象关于对称，B正确；
∵时，，∴在上不单调，C错误；
∵，故D正确.
故选：ABD.
【小结】
本题考查正弦函数的周期性、单调性、对称性、以及最值，属于基础题.
26．函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数的最小值为
D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位
【答案】AD
【分析】
由三角函数的图象与性质可得，再由三角函数的图象与性质可判断A、B、C；由三角函数图象的变换及诱导公式可判断D.
【解析】
由函数的最大值为2可得，，
因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以函数的最小正周期满足，
所以，，
又的图象关于点对称，所以即，
所以，，
当时，，
所以函数在上单调递增，故A正确；
当时，，
所以直线不是函数图象的对称轴，故B错误；
当时，，，故C错误；
将的图象向右平移个单位可得的函数为：
，
故D正确.
故选：AD.
【小结】
解决本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，细心计算即可得解.

三、解答题
27．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示.

（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）当时，求函数y＝f（x）的值域；
（3）若关于x的方程3•[f（x）]2+mf（x）﹣1＝0在上有三个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
【答案】（1）f（x）＝sin（2x+）；（2）[，1]；（3）﹣2＜m≤.
【分析】
（1）根据图象得出振幅和周期，求出ω＝2，利用特殊值求出φ的取值；
（2）利用整体代入法求解值域；
（3）根据（2）结合二次方程根的分布相关知识即可得解.
【解析】
（1）∵由函数图象可得：A＝1，周期T＝4（﹣）＝，解得：ω＝2，
又∵点（，0）在函数图象上，可得：sin（2×+φ）＝0，
∴解得：φ＝kπ，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ＝，
∴f（x）＝sin（2x+）.
（2）∵，
∴2x+∈ ，
∴sin（2x+）∈[，1]，
即函数f（x）的值域为：[，1].
（3）要使方程有三个不相等的根，需要2个根在[，1]，另一个根在[﹣，）上，
令t＝f（x），g（t）＝3t2+mt﹣1，
则有：
g（1）＝3+m﹣1＞0；
g（）＝；
g（﹣）＝；
从而解得：﹣2＜m≤-.
28．已知向量，，函数.
（1）若，当时，求的值域；
（2）若为偶函数，求方程在区间上的解.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）将化为，然后可得答案；
（2）由为偶函数可求出，然后可得答案.
【解析】
（1）
当，
由
所以的值域为
（2）若为偶函数，则恒成立
即成立，整理得
所以由得
又
29．若函数在上单调递增，求的取值范围.
【答案】
【分析】
先利用辅助角公式化简得，再利用正弦函数的性质求出的单调递增区间，即可求解.
【解析】
,
令，
解得：，
令，得
可得在单调递增，
若上单调递增，
则，
所以的取值范围是
故答案为：
【小结】
本题的关键点是解得，求出的单调递增区间，可得在单调递增，进而可得.
30．的内角的对边分别为，已知函数一条对称轴为，且．
（1）求的值；
（2）若，求的面积最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用对称轴可求得，得到解析式，利用可求得结果；
（2）利用余弦定理和基本不等式可求得最大值，代入三角形面积公式可求得结果.
【解析】
（1）是的对称轴，，解得：，
又，，，，
，，，解得：.
（2）由余弦定理得：（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号），
，即面积的最大值为.
【小结】
已知一边及一边所对角求解三角形面积最大值的问题，可利用余弦定理构造方程，利用基本不等式即可求得所需的两边之积的最大值，代入三角形面积公式即可求得结果.
31．已知函数满足下列3个条件中的2个条件：①函数的周期为π；②是函数的对称轴；③且在区间上单调；
（Ⅰ）请指出这二个条件并说明理由，求出函数的解析式；
（Ⅱ）若，求函数的最值.
【答案】（Ⅰ）①②成立，理由见解析，；（Ⅱ）的最大值为1；最小值为.
【分析】
（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.
（Ⅱ）得到，得到函数值域，即可得出最值.
【解析】
（Ⅰ）由①可得，.
由②得：，.
由③得，，

若①②成立，则，，.
若①③成立，则，，不合题意.
若②③成立，则，与③中的矛盾，所以②③不成立.
所以，只有①②成立，.
（Ⅱ）由题意得，.
所以，当时，函数取得最大值1；
当或时，函数取得最小值.
32．已知函数的最小正周期为.
（1）求的值及的值域；
（2）若，. 求的值.
【答案】（1），的值域为；（2）.
【分析】
（1）由函数的最小正周期可求得的值，求得，结合的取值范围可求得的值域；
（2）求得，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得的值.
【解析】
（1）由于函数的最小正周期为，则，
，，
，，所以，；
（2），可得，
，所以，.
【小结】
求函数在区间上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式．
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或）的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
33．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象.
（1）若为偶函数，求的值；
（2）若在上是单调函数，求φ的取值范围.
【答案】（1）0；（2）.
【分析】
（1）首先化简解析式，然后求得左移个单位后函数的解析式，根据的奇偶性求得的值，进而求得的值.
（2）根据（1）中求得的，求得的取值范围，根据的取值范围，求得的取值范围，根据在上是单调函数，以及正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.
【解析】
（1）
∵
∴
又为偶函数，则，∵，∴ .
∴ .
（2）∵，∴，
∵，∴，，
∵在上是单调函数，∴且
∴
【小结】
本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题.

四、填空题
34．已知函数，对，成立，则_______.
【答案】1
【分析】
利用辅助角公式和为的形式：，根据已知可得是f(x)的图象的对称轴，进而求得，利用的关系和诱导公式求得的值.
【解析】
解：，
其中.
∵对，成立，
∴是f(x)的图象的对称轴，即,
∴，
，
故答案为：1.
【小结】
本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前提，理解的关系是基础，由对，成立，得出是f(x)的图象的对称轴是关键.
35．已知函数，若函数恰有3个零点，分别为，则的值为________.
【答案】
【分析】
令，则，通过正弦函数的对称轴方程，求出函数的对称轴方程分别为和，结合图像可知，，从而求得，，进而求得的值．
【解析】
令，则
函数恰有3零点，等价于的图像与直线恰有3个交点，即与直线恰有3个交点，设为，如图

函数，的图像取得最值有2个t值，分别为和，由正弦函数图像的对称性可得，即
，即，
故 ，
故答案为：．
【小结】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
36．设，，若对任意成立，则下列命题中正确的命题是______.（填序号）
①；②；③不具有奇偶性；④的单调增区间是；⑤可能存在经过点的直线与函数的图象不相交.
【答案】①③
【分析】
由题可知，直线与函数的图象的一条对称轴，可求得，可化简函数的解析式为.计算出的值，可判断①的正误；计算、，可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；取，利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正确，求出直线的方程，结合函数的最值可判断⑤的正误.
【解析】
由题可知，直线与函数的图象的一条对称轴，
可得，整理可得，即，.
.
对于命题①，，①正确；
对于命题②，，
，所以，，②不正确；
对于命题③，，，
则且，所以，函数不具有奇偶性，③正确；
对于命题④，当时，则，
当时，函数在区间上单调递减，④错误；
对于命题⑤，假设经过点的直线与函数的图象不相交，
则该直线与轴平行，此时该直线的方程为，则，由于，矛盾，⑤错误.
故答案为：①③.
【小结】
本题考查正弦型函数的单调性、奇偶性、三角函数值的计算，解题的关键就是从分析得出直线与函数的图象的一条对称轴，进而借助辅助角公式化简得出、的倍数关系.
37．已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】
由函数图象关于原点对称可得，再由在区间上是增函数，可得，解不等式即可.
【解析】
由函数的图象关于原点对称，得，
即，因为在区间上是减函数，
所以在区间上是增函数，
又是函数的单调递增区间，
所以，又，解得.
故答案为：
38．已知函数，若在区间上是增函数，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】
由已知得，列不等式求解．
【解析】
因为函数，且在区间上是增函数，
所以，
所以，解得.
故答案为：．
39．已知曲线关于对称，则的最小值为______.
【答案】
【分析】
由题意可得，解得：，，进而即可求解的最小值.
【解析】
解：因为曲线关于对称，所以，
可得，，解得：，，则的最小值为.
故答案为：.

五、双空题
40．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意成立，则实数的最小值为_____．此时，函数在区间上的图象与直线所围成的封闭图形的面积为______.
【答案】
【分析】
先将函数化简为，由平移得到的解析式，对任意成立，即函数的对称轴为，可求出的最小值，然后用割补的方法，可得图形的面积.
【解析】


由图象向左平移个单位长度.
则得到.
所以.
由若对任意成立，则函数的对称轴为.
得，所以，
则的最小值为；
此时，由对称性可知，如图.
即右边阴影部分的面积等于左边的面积.
所求面积即为直线以及围成矩形面积，即为.
故答案为：. ，

【小结】
本题考查三角函数图像的平移变换和对称性，属于中档题.