高三数学三角函数专题 方法15：利用三角恒等变换解决三角函数问题

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方法15 利用三角恒等变换解决三角函数问题
一、单选题
1．已知锐角满足．若要得到函数的图象，则可以将函数的图象（ ）．
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】
由可得，代入化简得，即可知如何平移得到.
【解析】
由知：，即，
∴锐角，故，
又，
∴，故是将向左平移个单位长度得到，
故选：A
【小结】
由辅助角公式化简已知条件求锐角，根据的函数式，应用二倍角、诱导公式将化为正弦型函数，即可判断图象的平移方式.
2．函数，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
化简得，由可知在，处取到最大值和最小值，不妨设在处有最大值，处取到最小值，可得,，,即可求出的最小值.
【解析】
，
∴函数的最大值为3，最小值为﹣1，
又，∴在，处取到最大值和最小值，
不妨设在处有最大值，则，即，
处取到最小值，则，即，
所以，,，
所以当时，的最小值为.
【小结】
结论小结：正弦型函数最值：
① ，当， 时取最大值；
② ，当， 时取最小值.
3．若动直线与函数与的图象分别交于、两点，则的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
令，根据三角函数的图象和性质，即可得到结论．
【解析】

令
求的最大值即求函数的最大值


函数 的最大值为2
故选:C.
【小结】
本题主要考查函数最值的求解，根据辅助角公式以及三角函数的图象和性质是解决本题的关键，属于基础题．
5．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简 ，再根据三角函数的变换规则求出的解析式，最后根据正弦函数的性质求出函数的对称中心；
【解析】
解：



将向右平移个单位长度得到，

，
∴的对称中心为，
当时为.
故选：B.
6．已知函数在上恰有5个不同的零点，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据二倍角三角函数公式化简解析式，再把问题转化为在内有五个根，借助于正弦函数的性质即可求解．
【解析】
依题意，；令，即，故，
而，且，故，，要使得函数在上恰有5个零点，
则方程在上有5个实数根，故，解得.
故选：C
【小结】
思路小结：
（1）先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，转化为有解问题；
（2）根据角的范围，求出整体角的范围；
（3）利用正弦函数的图象判断得出结果.

二、多选题
7．已知函数，，则（ ）
A．
B．在区间上只有1个零点
C．的最小正周期为
D．为图象的一条对称轴
【答案】AC
【分析】
根据二倍角的余弦公式、辅助角公式，把函数的解析式化简成正弦型函数解析式的形式，再结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【解析】
.
A：因为，所以，因此本选项说法正确；
B：当时，，
当时，即当时，，因此在区间上有2个零点，因此本选项说法不正确；
C：的最小正周期为：，因此本选项说法正确；
D：当时，，显然不是最值，
因此本选项说法不正确；
故选：AC
8．已知函数，若，，使得成立，且在区间上的值域为，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】CD
【分析】
根据，，使得成立， 结合解析式，得到，求得，得到，再结合题意，列出不等式，即可求解.
【解析】
因为，，使得成立，
所以，即，
又由在区间上的值域为，
则，
综上，解得
此时，
因为在区间上的值域为，
所以，即，
当时，，
所以，即.
故选：CD.
【小结】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
9．若函数满足：对任意一个三角形，只要它的三边长都在函数的定义域内，就有函数值，，也是某个三角形的三边长，则称函数为“保三角形函数”，下面四个函数中保三角形函数有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
欲判断函数是不是“保三角形函数”，只需要任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨设，，判断，，是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可.
【解析】
解：任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，，
对于，可作为一个三角形的三边长，但，
所以不存在三角形以为三边长，故A不是“保三角形函数”；
对于，由于所以B是“保三角形函数”；
对于，，，所以C是“保三角形函数”；
对于，若,
由，
所以D不是“保三角形函数”.
故选：BC.
10．已知函数，关于下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为的周期
C．的值域为 D．的单调增区间为
【答案】BC
【分析】
根据正弦函数的性质，结合奇函数定义、周期函数的定义进行判断即可.
【解析】
A：因为，
所以不是奇函数，故本选项不正确；
B：
，
因此的周期为，所以本选项正确；
C：，
显然的值域为，所以本选项正确；
D：当且时，
函数单调递增，解得且，
化简得：或，所以本选项不正确.
故选：BC.

三、解答题
11．设函数.
（1）求的最小正周期和值域；
（2）在，角､､的对边长分别为､，.若，，，求的面积.
【答案】（1），值域为
（2）
【分析】
（1）利用倍角公式降幂，辅助角公式化简即可求解.
（2）代角求值，利用余弦定理求出边，用三角形面积公式求解.
【解析】
（1）


，值域为.
（2）由已知得
，或
或
，，，
由余弦定理得，即
解得

【小结】
在解三角形的问题时，若已知两边和其中一边所对的角，求第三边时，可用余弦定理建立一个一元二次方程求解.
12．已知函数，.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）最大值为，最小值为.
【分析】
（1）先将函数恒等变换，化为，由得最小正周期为，再利用整体代换的方法，解不等式，求得单调递增区间；
（2）由（1）可知在区间上单调递减，上单调递增，即可求得在该区间的最小值为，再求出两个端点值和，经过比较可知最大值为.
【解析】
解：



（1），所以的最小正周期为.
由，
可得，
的单调递增区间为；
（2）因为在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
又，，.
所以在区间上的最大值为，最小值为-1.
【小结】
本题的关键是对所给函数进行恒等变换，得到，再利用整体代换的思想求得单调区间.
13．已知函数.
（1）求函数在区间上的值域；
（2）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用及二倍角公式和辅助角公式将函数化简整理为，再根据正弦函数的图像与性质求出函数的值域；
（2）由已知得由，得，且或，结合方程在区间上至少有两个不同的解，可得，解不等式可得解.
【解析】
（1），
令，，
由的图像知，，即，，

所以函数的值域为.
（2）
，，即
，，且或
由于方程在区间上至少有两个不同的解，
所以，解得，
所以的取值范围为.
【小结】
考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域；
（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
14．已知函数．
（1）求的单调递增区间
（2）当时，关于x的方程恰有三个不同的实数根，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用二倍角的余弦公式以及辅助角公式将函数化为，再利用正弦函数的单调递增区间整体代入即可求解.
（2）将问题转化为或共有三个不同实根，从而可得或共有三个不同交点，作出函数图象，数形结合即可求解.
【解析】
（1）
所以增区间为：，

（2）因，
所以或共有三个不同实根，
即或共有三个不同交点，
因
由图可得：且不合题意．
或且，即，

【小结】
本题考查了三角函数的性质，由方程的根求参数的取值范围，解题的关键是得出且，考查了计算能力、转化能力以及数形结合的思想.
15．已知函数，.
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期；
（3）当时，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）本题将代入中进行计算即可得出结果；
（2）本题首先可通过两角和的正弦公式将函数转化为，然后通过周期计算公式即可得出结果；
（3）本题首先可根据得出，然后通过正弦函数性质即可求出值域.
【解析】
（1），即.
（2），
故的最小正周期.
（3）因为，所以，
当，即时，；
当，即时，，
故在上的值域为.
16．已知函数的最大值为1
（1）求常数m的值；
（2）当时，求函数的单调递增区间．
【答案】（1）；（2），．
【分析】
（1）利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为，再利用三角函数的性质即可求解.
（2）利用正弦函数的性质可得，解不等式即可求解.
【解析】
（1）

，

．



（2）


设，
又，与集合取交集可得.
的单调递增区间为，
17．设a＝sinxcosx，b＝sinx+cosx.
（1）求a，b的关系式；
（2）若x∈（0，），求y＝sinxcosx+sinx+cosx的最大值.
【答案】（1）b2＝1+2a；（2）.
【分析】
（1）将b＝sinx+cosx两边平方可得结果；
（2）转化为关于的二次函数可求得结果.
【解析】
（1）∵b＝sinx+cosx，
∴b2＝（sinx+cosx）2＝1+2sinxcosx＝1+2a；
（2）由（1），
因为x∈（0，），所以.
所以y＝a+b＝，
∴b＝时，y＝sinxcosx+sinx+cosx的最大值为.
【小结】
转化为关于的二次函数求解是解题关键.
18．已知函数，.
（1）简述将函数的图象变换到函数的图象的步骤方法；
（2）求的单调递增区间、单调递减区间和的图象在轴右侧第二个最高点的坐标.
【答案】（1）答案见解析；（2）单调递增区间为，；单调递减区间，；.
【分析】
（1）将的解析式化为，然后根据三角函数的图象变换可得答案；
（2）解出不等式，可得单调区间，解出方程可得第二个最高点的坐标.
【解析】
（1）
，
第一步：图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，变为，
第二步：图象上所有点向右平移个单位长度，变为，
第三步：图象上所有点的纵坐标缩小为原来的，横坐标不变，
变为，
第四步：图象上所有点向上平移个单位长度，变为；
（2）由，，解得，，
由，，解得，，
∴的单调递增区间为，，单调递减区间，，
令()，得()，令，得，
∴的图象在轴右侧第二个最高点的坐标是
19．设函数．
（1）当时，求函数的值域；
（2）已知的内角、、所对的边分别为、、，且，，求角的值．
【答案】（1）函数的值域为；（2）．
【分析】
（1）结合三角恒等变化化简整理得，进而根据三角函数的性质求函数值域即可；
（2）由（1）得，由于，故，再结合正弦定理即可得.
【解析】
（1）
∵，∴，∴ ，∴
∴函数的值域为．
（2）∵，∴
∵，∴，
∴，即
由正弦定理，∵，∴，
∴，∵，∴．
【小结】
本题解题的关键在于结合三角恒等变换化简函数得，其中第二问题的求解要注意角的范围的讨论，避免忽视角的范围讨论出错.本题考查数学运算求解能力，是中档题.
20．已知函数.
（1）求的最小正周期和值域；
（2）若对任意，的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）最小正周期，值域为；（2）.
【分析】
（1）利用三角恒等变换进行化简，即可求得周期与值域；
（2）设，由（1）得，转化为二次不等式恒成立问题，分离参数，求取值范围.
【解析】
解：（1）

∴的为最小正周期，
值域为；
（2）记，则，
由恒成立，
知恒成立，即恒成立，
∵∴.
∵在时单调递增

∴k的取值范围是
21．已知函数，，图象上相邻两个最低点的距离为．
（1）若函数有一个零点为，求的值；
（2）若存在，使得（a）（b）（c）成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）化简函数解析式，根据周期计算，根据零点计算；
（2）求出在，上的最值，解不等式得出的范围．
【解析】
（1），
的图象上相邻两个最低点的距离为，
的最小正周期为：，故．
是的一个零点，
，，
（2），
若，，则，，
，
故在，上的最大值为，最小值为，
若存在，使得（a）（b）（c）成立，
则，
．
【小结】
本题第二问属于存在，使不等式成立，即转化为，转化为三角函数求最值.
22．已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个零点?若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，当时，；当时，.
【分析】
（1）利用三角恒等变换思想得出，令，，由题意可知对任意的，可得出，进而可解得实数的取值范围；
（2）由题意可知，函数与直线在上恰有个交点，然后对实数的取值进行分类讨论，考查实数在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.
【解析】
（1），
当时，，，则，
要使对任意恒成立，
令，则，对任意恒成立，
只需，解得，
实数的取值范围为；
（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，
函数在上恰有个零点，
即函数与直线在上恰有个交点.
当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：

①当或时，函数与直线在上无交点；
②当或时，函数与直线在上仅有一个交点，
此时要使函数与直线在上有个交点，则；
③当或时，函数直线在上有两个交点，
此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有个交点，不符合；
④当时，函数与直线在上有个交点，
此时要使函数与直线在上恰有个交点，则.
综上所述，存在实数和正整数满足条件：
当时，；当时，.
【小结】
本题考查利用函数不等式恒成立求参数，利用函数在区间上的零点个数求参数，解本题第（2）问的关键就是要注意到函数与直线的图象在区间上的图象的交点个数，结合周期性求解.
23．已知向量，，(其中，) 函数图像的相邻两对称轴之间的距离是，且过点.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据数量积的坐标表示结合二倍角公式、辅助角公式化简得，利用周期和点可求出和；
（2）根据正弦函数的性质求出的最小值，即可求出.
【解析】
（1）


，
由题可得，即，解得，
又函数过点，则，解得，
；
（2），，
，
即在的最小值为2，
若对任意的恒成立，则，
所以.
【小结】
关键小结：本题考查根据三角恒等变换求解析式，考查不等式的恒成立问题，解题的关键是正确利用二倍角公式和辅助角公式化简，解不等式恒成立问题只需求出的最小值即可.
24．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的值域.
【答案】（1）单调递增区间为：，；单调递减区间为：，；（2）.
【分析】
（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得，进而根据正弦函数的单调性即可求解.
（2）由题意可求范围，利用正弦函数的性质即可求解其值域.
【解析】
解：（1）



，
令，，解得，，
令，，解得，，
故函数的单调递增区间为：，，
单调递减区间为：，.
（2）当时，，
可得，
可得，故函数的值域为.
25．已知向量，，函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，三内角，，的对边分别为，，，已知函数的图象经过点，，，成等差数列，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）运用向量数量积的坐标表示和三角恒等变换化简函数，再由正弦函数的单调性可得答案；
（2）由（1）可求得角，再由向量数量积运算的定义和余弦定理可求得边a.
【解析】
（1）由题得


，
∴当单调增时，则，，

，
∴的单调增区间为.
（2）由题得，即：，
由题可知，∴，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴，
，
又∵，∴有，∴.
【小结】
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
26．已知函数.
（1）求函数的最小正周期，及函数在区间上的最大值和最小值.
（2）若，，求的值.
【答案】（1），最大值为0，最小值为；（2）.
【分析】
（1）由二倍角公式和两角差正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解；
（2）由（1）知，，求得的范围后求得，然后利用两角和的余弦公式求得．
【解析】
（1），
故的最小正周期为，
当，，，
∴，
，
∴的最大值为0，最小值为.
（2）
，
∵，，，
∴，
故.
【小结】
本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查正弦函数的性质．解题方法是利用三角恒等变换公式化函数的一个角的一个三角函数形式（一次的）：，然后利用正弦函数的性质求解的性质．三角函数求值时要注意已知角和未知角之间的关系，以确定先用什么公式及选用公式的顺序计算．
27．已知函数已知函数．
（1）求函数的最小值及取最小值时的x的集合；
（2）求函数在上的单调增区间．
【答案】（1）最小值，；（2），．
【分析】
（1）化简，令,，进而求解即可；
（2）令,，结果与求交集即可.
【解析】
（1）由题
故当,，即,时，取得最小值，且
所以函数的最小值是，此时x的集合为；
（2）由（1）令,，则,,
所以在上单调递增,
当时,单调增区间为；当时,单调增区间为；
所以在中的单调增区间为和
【小结】
函数的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由求增区间;由求减区间.
28．已知函数，将的图像向左平移个单位后得到的图像，且在区间内的最大值为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数在区间上的单调性．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在上单调递增，在，上单调递减.
【分析】
（Ⅰ）由题设根据三角恒等变换化简，再利用图象的平移得函数，由函数的最大值求得，从而得函数的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由正弦型函数的单调区间可求得答案.
【解析】
解：（Ⅰ）由题设得，
，
因为当时，，
所以由已知得，即时，，解得，
故所求函数的解析式为；
（Ⅱ）由（Ⅰ），
解不等式，，得，，
所以函数在区间，上单调递增，在区间，单调递减．
当时，，就是，相对区间，所以函数在上单调递增，在，上单调递减.
【小结】
对于三角函数左右平移时，注意平移的对象是，不是.如本题中将函数的图像向左平移个单位后得到的图像，，而就是错误的.
29．已知函数，其中．
（1）若，是否存在实数使得函数为偶函数，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）若为函数的对称轴，求函数的单调增区间．
【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）时，单调增区间是，，时，单调增区间是，．
【分析】
（1）利用函数奇偶性的定义可得答案；
（2）由条件结合辅助角公式可得，化简可得，，然后分、两种情况讨论.
【解析】
（1）当时，
若存在实数使得函数为偶函数，则恒成立，
即恒成立，
整理得恒成立，所以，与矛盾，
故不存在；
（2）结合三角函数的性质知，三角函数在对称轴处取最值，
又由辅助角公式知的最值为，
所以，
两边平方，得，所以，
即，所以，
所以，
当时，令，，
解得，，
所以单调增区间是，，
当时，令，，
解得，，
所以单调增区间是，．
30．已知函数的周期为，其中；
（1）求的值，并写出函数的解析式；
（2）设的三边，，依次成等比数列，角的取值范围为集合，则当时求函数的值域.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式求的值，进而写出函数的解析式；
（2）利用余弦定理结合基本不等式求出的范围，再根据为三角形的内角求出的范围，得出的定义域，从而求出的值域.
【解析】
解：（1）

；
由，解得，
所以函数的解析式为；
（2）因为,
所以，当且仅当时取“”；
又为三角形内角，所以，即,所以,
所以，所以，
即函数的值域是.
【小结】
运用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形式，利用余弦定理和基本不等式将三角形的边的关系转化为角的范围.
31．已知函数.
（1）求的最小正周期和单调减区间；
（2）求证：当时，.
【答案】（1）最小正周期，单调减区间为，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用两角差余弦公式、正弦倍角公式及辅助角公式可得，即可求最小正周期，整体代入求单调减区间；
（2）由得，即可得的值域，进而判断是否成立.
【解析】
解：（1），
∴的最小正周期.
令，，解得，，
∴单调减区间为，.
（2）由，知：，则有的值域为，
∴，即当时，得证.
【小结】

（1）利用三角恒等变换：两角和差公式、辅助角公式化简三角函数式，并确定函数性质.
（2）根据（1）的三角函数解析式结合已知定义域范围确定值域，判断函数不等式是否成立.
32．已知函数．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得函数的图象，求函数在得的值域．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）先将函数解析式整理，得到，由题中条件，结合三角恒等变换，即可得出结果；
（Ⅱ）先根据三角函数的伸缩变换，得到的解析式，再结合正弦函数的性质，即可求出结果.
【解析】
解：（Ⅰ）
，
因为，所以，
即，所以，所以；
（Ⅱ）图象上所有点横坐标变为原来的倍得到函数的图象，
所以的解析式为，
因为，所以，则，
所以
故在上的值域为.
33．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位得到函数图象，求函数的单调增区间.
【答案】（1）最小正周期；（2）单调增区间是.
【分析】
（1）利用三角恒等思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；
（2）利用三角函数图象变换法则得出，然后解不等式，即可求得函数的单调递增区间.
【解析】
（1），
所以函数的最小正周期为；
（2）将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，
再向左移动个单位得，
由，解得.
函数的单调增区间是.
【小结】
求解正弦函数的基本性质问题，首先要利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，求解该函数的基本性质问题应对应正弦函数的基本性质.